Esercizio teorico di termodinamica

[lordb]

Ciao a tutti non riesco a risovere questo esercizio.

"Una certa quantità di un gas perfetto si trova nello stato caratterizzato da una pressione $p$ e da una temperatura $T1$. Se la pressione rimane costante quale valore deve assumere la temperatura perche la densità $rho1$ del gas si dimezzi?"

Allora, se la pressione rimane costante vuol dire che devo utilizzare una trasformazione isobara: la prima legge di Gay-Lussàc.

Alla temperatura iniziale $T1$ corrisponde un volume iniziale $V1$, e quindi una densità $rho$$1$ data da $m/(V1)$.

Quindi: $V1=V0(1+alpha T1)$ , perciò $rho1=m/(V0(1+alpha T1))$.

Io devo trovare $T2$, tale che $rho2=1/2rho1$ dove $rho2=m/(V0(1+alpha T2))$.

Quindi:

$m/(V0(1+alpha T2))=1/2*m/(V0(1+alpha T1)$

$V0(1+alpha T2)=2*V0(1+alpha T1)$

$1+alpha T2=2+2alphaT1$

$alpha T2=1+2alphaT1$

$T2=1/alpha+2T1$

Dove sbaglio ? Grazie in anticipo (la soluzione sarebbe $T2=2 T1$)

[eugenio.amitrano]

Forse devi considerare il gas ideale....

La densità dimezza per cui il volume raddoppia
Densità iniziale: $rho_1 = m / V_1$ (1)
Densità finale: $rho_2 = m / V_2$ (2)
La densità iniziale è il doppio di quella finale: $rho_1 = 2*rho_2$
Sostituendo nella (1) otteniamo: $2*rho_2=m / V_1$
Sostituendo la (2) otteniamo: $2*m / V_2 = m / V_1$
Infine, semplificando $m$ risulta che il volume raddoppia $V_2 = 2 * V_1$

La pressione secondo la legge dei gas ideali è $p=(n*R*T)/V$ da $p*V=n*R*T$

Quindi
1) $p_1=(n*R*T_1)/V_1$
2) $p_2=(n*R*T_2)/V_2$

uguali i primi membri $p_1 = p_2$, sono uguali anche i secondi membri:
$(n*R*T_1)/V_1=(n*R*T_2)/V_2$

semplificando $n*R$ otteniamo: $T_1/V_1=T_2/V_2$ (legge di charles / legge isobara per un gas ideale)
quindi $T_2=T_1*V_2/V_1$
essendo $V_2 = 2 * V_1$
allora $T_2=T_1*(2*V_1)/V_1$
semplificando ancora $V_1$
otteniamo alla fine $T_2=2*T_1$

[lordb]

Grazie mille per l'aiuto .

Sapresti dirmi dove io ho sbagliato concettualmente, perchè fino a questo punto:

$m/(V0(1+alpha T2))=1/2*m/(V0(1+alpha T1)$ ovvero $rho2=1/2rho1$ i miei calcoli sono come i tuoi.

Per quale motivo utilizzare la prima legge di Gay-Lussàc (valida per trasformazioni isobare) non è corretto in questo caso?

Io non ho fatto altro che esplicitare nella formula i due Volumi $V1$ e $V2$.

[eugenio.amitrano]

Non hai utilizzato la formula per le temperature assolute....
Utilizzando la legge per le temperature assolute (in Kelvin) la formula giusta è

$rho = m / (V_0*alpha*T)$
Usa questa e vedi che ti trovi ugualmente $T_2 = 2 * T_1$

[lordb]

Infinitamente grazie