Esercizio teorema di gauss

[itisscience]

uno strato spesso indefinito è uniformemente carico con densità di carica di volume ϱ. lo spessore dello strato è d. calcolare il campo elettrico in funzione della distanza x dal piano mediano dello strato.

ho dubbi su come prendere la superficie gaussiana interna allo strato per calcolare dapprima il campo elettrico interno.
io l'avevo infatti presa come un cilindro 'in piedi', cioè con asse coincidente con l'asse y, e non 'orizzontale' ossia con asse coincidente con asse x.
non capisco perchè io debba prenderlo in quest'ultimo modo.

[Brufus1]

io credo di non aver capito cosa intendi con x e y visto che il problema è tridimensionale e dunque esiste anche un asse z. Nello scenario in cui il solido in questione sia un parallelepipedo avente altezza di misura finita "d" orientata come l'asse z mentre la superficie di base orientata come x e y di misura infinita io credo che tu possa prendere il cilindro come avevi pensato. Per questioni di simmetria il campo elettrico è uniforme e orientato come l'asse z al di fuori del paralleleppedo, mentre all'interno il modulo di E diminuirà al diminuire dell'altezza del cilndro virtuale che consideri. Ovviamente il flusso sul mantello laterale è nullo, quindi come al solito il flusso totale si riduce alle due basi del cilindro.

[itisscience]

probabilmente ho capito come devo prendere la superficie gaussiana nei diversi casi, vorrei solo una conferma:
nella formula del teorema di gauss compare il termine $ 1/epsilon_0int_()^() rho(r') dτ' $ ma a volte ho difficoltà a capire che formula applicare.
nel caso io prendessi un cilindro con asse coincidente con l'asse z come superficie gaussiana, di raggio R e altezza h, e volessi calcolare il campo elettrico a distanza b dall'asse, la variabile di integrazione sarà r'
io avrei scritto $ 1/epsilon_0int_(0)^(b) rho(r') pir'^2hdr' $ dove $ pir'^2h $ è il volume del cilindro, invece il libro riporta l'area del cerchio: $ 1/epsilon_0int_(0)^(b) rho(r') pir'^2dr' $

[Brufus1]

io non ho capito il problema. Il teorema di gauss si utilizza quando vuoi scoprire il valore del campo elettrico in un certo punto dello spazio potendo sfruttare particolari simmetrie geometriche e di densità di carica che rendono particolarmente agevole il calcolo del flusso.

$ \Phi (\vec E) = \frac{Q_(INT)}{\epsilon_0}$

ora se tu volessi calcolare a mano il flusso dovresti usare un integrale di superficie cioè:

$\Phi (\vec E) = int_\Sigma (\vec E \cdot \vec n) d\sigma$

mentre volendoti calcolare la carica totale interna dovresti usare un integrale di volume

$Q_(INT) = int_\Omega \rho (x,y,z) dxdydz$

dove ovviamente potresti sviluppare entrambi gli integrali con i cambi di coordinate che ritieni più opportuni.
Ora quello che non capisco è cosa tu voglia calcolare. Quale simmetria vuoi sfruttare? L'integrale che hai scritto che tipo di integrale è? Scritto così sembra un banale integrale di Riemann ma ovviamente suppongo che sia uno dei due integrali sopra menzionati che tu hai buttato là dopo aver saltato molti passaggi.

[Brufus1]

Supponiamo che il tuo libro volesse calcolare l'integrale di volume $\int_\Omega f(x,y,z)dxdydz$ in coordinate sferiche , proprio perchè magari considera la regione $\Omega$ una sfera piuttosto che un cilindro.

avremmo:

$Q= \int_\Omega f(x,y,z)dxdydz = \int_0^(2\pi) (\int_0^R (\int_0^\pi f(\rho,\theta,\phi) \rho^2 (\sin\phi) d\phi)d\rho)d\theta=2\pi(\int_0^Rf(\rho) \rho^2 (\int_0^\pi (\sin\phi) d\phi)d\rho)=4\pi int_0^Rf(\rho) \rho^2d\rho=4 int_0^Rf(\rho)\pi \rho^2d\rho$

che assomiglia parecchio al calcolo che riporta il libro.

Sei sicuro che il tuo libro consideri $\Omega$ un cilindro? Oppure sei sicuro che il tuo libro non abbia fatto il calcolo in coordinate cilindriche e poi abbia trasportato fuori l'integrale $h$ semplificandola con l'espressione del flusso a sinistra?