Esercizio sull'oscillatore armonico
Salve a tutti, a breve dovrò dare un esame di onde e oscillazioni all'università degli studi di milano. Vorrei capire come fare questo esercizio, preso da un tema d'esame recente. Ho provato in diversi modi a risolverlo, ma non ci sono riuscito.
1. Una massa M = 10.00 kg è collegata a due molle contrapposte e compie un moto oscillatorio smorzato
con periodo T = 3.14 s. Sapendo che: i) le costanti elastiche k1 e k2 delle due molle sono legate dalla relazione k2= 3 k1, ii) all’istante t=0 la velocità della massa è v(0) = 4,0 m/s e l’energia totale del sistema è E(0) = 80 J, iii) l’ampiezza dell’oscillazione dopo 10 secondi vale A(10s)=50 cm, determinare
a) le costanti elastiche k1e k2 delle due molle [k1= 10 N/m, k2= 30 N/m]
b) l’equazione del moto, indicando il valore di tutti i parametri presenti [γ=0.14 s-1, ω~ω0=2 rad/s]
c) la legge oraria, indicando il valore di tutti i parametri presenti [x(t) = A(0) e-γt sin( ω t) , A(0)=2.00 m ] d) la velocità della massa oscillante al tempo t=10s. [v(t) = 0.4 m/s]
Tra parentesi quadra sono riportati i risultati. Ho provato dapprima a ricavare la velocità angolare, per poi calcolare la costante elastica ma niente. Successivamente, ho applicato la seconda legge della dinamica, ponendo la forza elastica uguale alla m*a. Purtroppo, non ho idea di come risolverlo...
Grazie in anticipo, buona serata!
1. Una massa M = 10.00 kg è collegata a due molle contrapposte e compie un moto oscillatorio smorzato
con periodo T = 3.14 s. Sapendo che: i) le costanti elastiche k1 e k2 delle due molle sono legate dalla relazione k2= 3 k1, ii) all’istante t=0 la velocità della massa è v(0) = 4,0 m/s e l’energia totale del sistema è E(0) = 80 J, iii) l’ampiezza dell’oscillazione dopo 10 secondi vale A(10s)=50 cm, determinare
a) le costanti elastiche k1e k2 delle due molle [k1= 10 N/m, k2= 30 N/m]
b) l’equazione del moto, indicando il valore di tutti i parametri presenti [γ=0.14 s-1, ω~ω0=2 rad/s]
c) la legge oraria, indicando il valore di tutti i parametri presenti [x(t) = A(0) e-γt sin( ω t) , A(0)=2.00 m ] d) la velocità della massa oscillante al tempo t=10s. [v(t) = 0.4 m/s]
Tra parentesi quadra sono riportati i risultati. Ho provato dapprima a ricavare la velocità angolare, per poi calcolare la costante elastica ma niente. Successivamente, ho applicato la seconda legge della dinamica, ponendo la forza elastica uguale alla m*a. Purtroppo, non ho idea di come risolverlo...
Grazie in anticipo, buona serata!
Risposte
il sistema è un parallelo di molle. quindi possiamo calcolare la costante elastica equivalente come $k=k_1+k_2 = 4k_1$.
premesso questo sappiamo che $(omega_0) ^2 =((2pi)/(T))^2=k/M$ da cui
a) $k_1=10 N/m$ e $k_2=30 N/m$
b) l'equazione del moto di un oscillatore armonico smorzato è $ddotx +2gamma dotx +(omega_0)^2 x=0$
dove $omega_0 = sqrt(k/M)=2 (rad)/s$
ci viene poi detto che $E(0)=k/2 A^2(0)= 80J$ da cui ricaviamo $A(0)= 2m$
con questo nuovo dato posso scrivere $A(10)=0.5=2e^(-10 gamma)$ ottenendo $gamma = 0.14 s^(-1)$
c) la legge oraria è $x(t)=A(0)e^(- gamma t)cos(omega t +phi)$ con $omega =sqrt((omega_0)^2 -gamma^2)~~ omega_0$
la fase la ricavo invece conoscendo la posizione al tempo zero: $cos phi = 1 rArr phi =0$
d) infine deriviamo la legge oraria per trovare l'espressione della velocità in funzione del tempo: $v(t)=-A(0)e^(-gamma t)[gamma cos(omega t)+omega sin(omega t)]$ da cui $v(10)=- 0.4 m/s$
premesso questo sappiamo che $(omega_0) ^2 =((2pi)/(T))^2=k/M$ da cui
a) $k_1=10 N/m$ e $k_2=30 N/m$
b) l'equazione del moto di un oscillatore armonico smorzato è $ddotx +2gamma dotx +(omega_0)^2 x=0$
dove $omega_0 = sqrt(k/M)=2 (rad)/s$
ci viene poi detto che $E(0)=k/2 A^2(0)= 80J$ da cui ricaviamo $A(0)= 2m$
con questo nuovo dato posso scrivere $A(10)=0.5=2e^(-10 gamma)$ ottenendo $gamma = 0.14 s^(-1)$
c) la legge oraria è $x(t)=A(0)e^(- gamma t)cos(omega t +phi)$ con $omega =sqrt((omega_0)^2 -gamma^2)~~ omega_0$
la fase la ricavo invece conoscendo la posizione al tempo zero: $cos phi = 1 rArr phi =0$
d) infine deriviamo la legge oraria per trovare l'espressione della velocità in funzione del tempo: $v(t)=-A(0)e^(-gamma t)[gamma cos(omega t)+omega sin(omega t)]$ da cui $v(10)=- 0.4 m/s$
Tutto molto chiaro!! Il mio problema è che non avevo sommato le due costanti... ora ho capito! Grazie mille!!
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