Esercizio sulla variazione di campo magnetico
L'esercizio è il seguente:
Nella figura (vedi allegato) è rappresentato un campo magnetico uniforme B confinato in un volume cilindrico di raggio R. L'intensità di B decresce costantemente nel tempo in ragione di 10.7 mT/s. A che accelerazione istantanea (modulo, direzione e verso) è sottoposto un protone che si trova in a, b e c, rispettivamente? Si assuma r = 4.82cm.
Il ragionamento che ho fatto:
Dato che c'è un campo magnetico che varia di intensità nel tempo, varia anche il flusso del campo magnetico, e perciò si genera una f.e.m. indotta (per la legge di Faraday). Della f.e.m. però non so che farmene, allora ho pensato che, se si genera f.e.m., si deve essere generato anche un campo elettrico indotto tale che:
\( \oint_{} \overrightarrow{E} * d\overrightarrow{s} = - d\Phi / dt \)
L'integrale di linea (il membro di sinistra) diventa \( 2\pi rE \) mentre il membro di destra -A * dB / dt
Risolvendo, mi viene E = -0.258 C/N
Ora, io non ho i risultati di questo esercizio e sono molto in dubbio sul ragionamento fatto e sui calcoli, quindi mi piacerebbe sapere se fino a qua ho fatto bene.
Grazie in anticipo a chi mi darà qualche consiglio!
Nella figura (vedi allegato) è rappresentato un campo magnetico uniforme B confinato in un volume cilindrico di raggio R. L'intensità di B decresce costantemente nel tempo in ragione di 10.7 mT/s. A che accelerazione istantanea (modulo, direzione e verso) è sottoposto un protone che si trova in a, b e c, rispettivamente? Si assuma r = 4.82cm.
Il ragionamento che ho fatto:
Dato che c'è un campo magnetico che varia di intensità nel tempo, varia anche il flusso del campo magnetico, e perciò si genera una f.e.m. indotta (per la legge di Faraday). Della f.e.m. però non so che farmene, allora ho pensato che, se si genera f.e.m., si deve essere generato anche un campo elettrico indotto tale che:
\( \oint_{} \overrightarrow{E} * d\overrightarrow{s} = - d\Phi / dt \)
L'integrale di linea (il membro di sinistra) diventa \( 2\pi rE \) mentre il membro di destra -A * dB / dt
Risolvendo, mi viene E = -0.258 C/N
Ora, io non ho i risultati di questo esercizio e sono molto in dubbio sul ragionamento fatto e sui calcoli, quindi mi piacerebbe sapere se fino a qua ho fatto bene.
Grazie in anticipo a chi mi darà qualche consiglio!
Risposte
Non ti so rispondere, ma mi associo nel chiedere lumi su questo problema, che mi è sempre apparso molto oscuro.
Mi spiego: se nello spazio interessato alla variazione di B è presente un circuito conduttore, non c'è problema: la variazione del flusso concatenato con il circuito produce una fem lungo il circuito.
Quindi, in ogni punto del circuito si può individuare un campo E con direzione tangente al circuito? Già questo sembra strano: se cambiamo forma al circuito, cambia anche la direzione di E? Che quindi non dipende solo dalla variazione di B, ma anche dalla forma del circuito?
Più concretamente, se prendiamo una spira circolare, che passa per un punto P, la possiamo collocare in infiniti modi, facendola ruotare intorno a P, e otteniamo così un campo E orientato come ci pare? Non ci posso credere.
Oppure, se il circuito non c'è proprio? Ce lo dobbiamo immaginare? E con quale forma?
Nel caso del tuo problema,immagino che si invocheranno questioni di simmetria per dire che le linee del campo E sono circolari concentriche coll'asse del cilindro. Ma se il campo B sta in una regione di forma qualsiasi? O addirittura di estensione indefinita? Che forma hanno le linee di E? Circolare? Con centro dove? Mah
Alla fine dei conti, le equazioni di Maxwell dicono solo che il ROTORE di E dipende dalla variazione di B: ma dal rotore si può ricavare il campo? Non mi pare proprio.
Ho un po' l'impressione che queste oscurità derivino da una trattazione non relativistica del campo elettromagnetico.
Mi piacerebbe che qualcuno più esperto ci illuminasse.
Mi spiego: se nello spazio interessato alla variazione di B è presente un circuito conduttore, non c'è problema: la variazione del flusso concatenato con il circuito produce una fem lungo il circuito.
Quindi, in ogni punto del circuito si può individuare un campo E con direzione tangente al circuito? Già questo sembra strano: se cambiamo forma al circuito, cambia anche la direzione di E? Che quindi non dipende solo dalla variazione di B, ma anche dalla forma del circuito?
Più concretamente, se prendiamo una spira circolare, che passa per un punto P, la possiamo collocare in infiniti modi, facendola ruotare intorno a P, e otteniamo così un campo E orientato come ci pare? Non ci posso credere.
Oppure, se il circuito non c'è proprio? Ce lo dobbiamo immaginare? E con quale forma?
Nel caso del tuo problema,immagino che si invocheranno questioni di simmetria per dire che le linee del campo E sono circolari concentriche coll'asse del cilindro. Ma se il campo B sta in una regione di forma qualsiasi? O addirittura di estensione indefinita? Che forma hanno le linee di E? Circolare? Con centro dove? Mah
Alla fine dei conti, le equazioni di Maxwell dicono solo che il ROTORE di E dipende dalla variazione di B: ma dal rotore si può ricavare il campo? Non mi pare proprio.
Ho un po' l'impressione che queste oscurità derivino da una trattazione non relativistica del campo elettromagnetico.
Mi piacerebbe che qualcuno più esperto ci illuminasse.
Nell'attesa di un Esperto, ti do la mia più che modestissima opinione:
Non vedo perché sia necessaria la presenza di un circuito indotto, se non per complicare il problema con la sua "reazione magnetica".
Non è detto che sia tangente, dipenderà dal circuito.
Come detto, a mio parere, se supponiamo la "reazione" del circuito trascurabile, magari grazie al suo elevato valore resistivo, cambiando forma al circuito il campo non andrà a cambiare sensibilmente .
E infatti, nelle suddette ipotesi E non cambierà ne come orientamento ne come intensità.
Puoi pure immaginartelo, ma non è necessario che un circuito reale sia presente, pensa per esempio ad una propagazione elettromagnetica.
Proprio così, è solo grazie alla simmetria cilindrica che possiamo andare a determinare il campo elettrico.
Questa si che è una domanda difficile, diciamo che basterebbe già una sezione quadrata del solenoide per metterci nei guai nella determinazione del campo, che comunque manterrebbe in quel caso linee di forza circolari in prossimità dell'asse e linee di forza quasi quadrate in prossimità del contorno quadrato interno del solenoide e richiederà per persone sane di mente l'uso di un programma agli elementi finiti (per esempio il gratuito FEMM), per ricavarne la geometria.
Forse conoscendo anche la divergenza qualcosa di più si potrebbe dire.
Beh, la trattazione relativistica la lascio davvero a qualcun altro.
"mgrau":
... se nello spazio interessato alla variazione di B è presente un circuito conduttore, non c'è problema: la variazione del flusso concatenato con il circuito produce una fem lungo il circuito.
Non vedo perché sia necessaria la presenza di un circuito indotto, se non per complicare il problema con la sua "reazione magnetica".
"mgrau":
... in ogni punto del circuito si può individuare un campo E con direzione tangente al circuito?
Non è detto che sia tangente, dipenderà dal circuito.
"mgrau":
... Già questo sembra strano: se cambiamo forma al circuito, cambia anche la direzione di E? Che quindi non dipende solo dalla variazione di B, ma anche dalla forma del circuito?
Come detto, a mio parere, se supponiamo la "reazione" del circuito trascurabile, magari grazie al suo elevato valore resistivo, cambiando forma al circuito il campo non andrà a cambiare sensibilmente .
"mgrau":
...Più concretamente, se prendiamo una spira circolare, che passa per un punto P, la possiamo collocare in infiniti modi, facendola ruotare intorno a P, e otteniamo così un campo E orientato come ci pare? Non ci posso credere.
E infatti, nelle suddette ipotesi E non cambierà ne come orientamento ne come intensità.
"mgrau":
... Oppure, se il circuito non c'è proprio? Ce lo dobbiamo immaginare? E con quale forma ?
Puoi pure immaginartelo, ma non è necessario che un circuito reale sia presente, pensa per esempio ad una propagazione elettromagnetica.
"mgrau":
... Nel caso del tuo problema,immagino che si invocheranno questioni di simmetria per dire che le linee del campo E sono circolari concentriche coll'asse del cilindro.
Proprio così, è solo grazie alla simmetria cilindrica che possiamo andare a determinare il campo elettrico.
"mgrau":
... Ma se il campo B sta in una regione di forma qualsiasi? O addirittura di estensione indefinita? Che forma hanno le linee di E? Circolare?
Questa si che è una domanda difficile, diciamo che basterebbe già una sezione quadrata del solenoide per metterci nei guai nella determinazione del campo, che comunque manterrebbe in quel caso linee di forza circolari in prossimità dell'asse e linee di forza quasi quadrate in prossimità del contorno quadrato interno del solenoide e richiederà per persone sane di mente l'uso di un programma agli elementi finiti (per esempio il gratuito FEMM), per ricavarne la geometria.
"mgrau":
... le equazioni di Maxwell dicono solo che il ROTORE di E dipende dalla variazione di B: ma dal rotore si può ricavare il campo? Non mi pare proprio.
Forse conoscendo anche la divergenza qualcosa di più si potrebbe dire.
"mgrau":
... Ho un po' l'impressione che queste oscurità derivino da una trattazione non relativistica del campo elettromagnetico.
Beh, la trattazione relativistica la lascio davvero a qualcun altro.
Ve bene, RenzoDf. In effetti quello che dici toglie gran parte delle stranezze.
Mi rimane però la questione di come si fa a trovare il campo elettrico. Se dalla legge di Faraday quel che possiamo ricavare è solo la circuitazione di E lungo una linea chiusa, che sia un circuito reale o una linea immaginaria, poi il valore di E come lo si trova? Dici che ci sono programmi che lo fanno, ma come lo fanno? Io non riesco a vedere la strada, neanche in linea di principio
Mi rimane però la questione di come si fa a trovare il campo elettrico. Se dalla legge di Faraday quel che possiamo ricavare è solo la circuitazione di E lungo una linea chiusa, che sia un circuito reale o una linea immaginaria, poi il valore di E come lo si trova? Dici che ci sono programmi che lo fanno, ma come lo fanno? Io non riesco a vedere la strada, neanche in linea di principio
Soprattutto l'esercizio che ho proposto è di un vecchio esame di Fisica, nel quale non si può ovviamente usare un programma per calcolare il campo elettrico. Se qualcuno conoscesse il procedimento da seguire mi farebbe un grandissimo favore. Grazie ancora!
"riccardo_g":
Soprattutto l'esercizio che ho proposto è di un vecchio esame di Fisica, nel quale non si può ovviamente usare un programma per calcolare il campo elettrico.
Ovviamente, era un discorso generale, cercavo solo di rispondere alle domande di mgrau.
"riccardo_g":
Se qualcuno conoscesse il procedimento da seguire mi farebbe un grandissimo favore.
Pensavo che da quelle risposte fosse evidente che il tuo metodo è corretto (i calcoli non li ho contollati).
"mgrau":
... non riesco a vedere la strada, neanche in linea di principio
Beh, in linea di principio si può per esempio usare il teorema di Helmholtz.
Dall'appendice B del Griffiths "Introduction to Electrodynamics" ->
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
che assume una forma semplificata se, come nel nostro caso, siamo in presenza di una divergenza nulla.
Grazie della segnalazione. Non mi pare , quando ai miei tempi ho dato Fisica II, di aver mai sentito parlare del teorema di Helmholtz.
C'è da dire non capita spesso di vedere problemi con campi magnetici variabili in cui si chieda il campo elettrico anzichè la corrente o la fem su un circuito materiale.
C'è da dire non capita spesso di vedere problemi con campi magnetici variabili in cui si chieda il campo elettrico anzichè la corrente o la fem su un circuito materiale.
"mgrau":
... non capita spesso di vedere problemi con campi magnetici variabili in cui si chieda il campo elettrico anzichè la corrente o la fem su un circuito materiale.
Hai ragione, ma a volte la determinazione della fem sul circuito richiede di passare dal campo elettrico, vedi per esempio il seguente problema con circuito triangolare
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
che propongo a riccardo_g, per esercitarsi con qualcosa di leggermente più complesso.
BTW Visto che non si vede bene $i(t)=I_0(1-e^{-t/\tau})$.
Intanto vorrei ringraziare tutti per la pazienza. Ci sono ancora alcuni punti dubbi...
Ammettendo che i calcoli siano giusti, l'intensità del campo elettrico a distanza r è 0.258 N/C. Ma quali sono direzione e verso?
Inoltre devo calcolare anche il campo elettrico al centro del cilindro: in questo caso r = 0 e quindi E = 0? Cioè, al centro del cilindro, nonostante vi sia una variazione di campo magnetico, non è presente un campo elettrico?
Pensavo che da quelle risposte fosse evidente che il tuo metodo è corretto (i calcoli non li ho contollati).
Ammettendo che i calcoli siano giusti, l'intensità del campo elettrico a distanza r è 0.258 N/C. Ma quali sono direzione e verso?
Inoltre devo calcolare anche il campo elettrico al centro del cilindro: in questo caso r = 0 e quindi E = 0? Cioè, al centro del cilindro, nonostante vi sia una variazione di campo magnetico, non è presente un campo elettrico?
Le linee del campo sono circolari, quindi la direzione è tangente. Per il verso, legge di Lenz, mano destra, ecc.
Al centro, E = 0
Al centro, E = 0
@RenzoDf Però, ancora non mi è chiaro: nei libri è pieno di esempi con piani infiniti, fili infiniti, solenoidi infiniti: ma un caso con un piano infinito su cui è presente un campo B, perpendicolare, uniforme e variabile nel tempo non l'ho mai visto. C'è qualche motivo speciale? E nel caso, che campo elettrico viene fuori? E' un caso degenere?
Grazie, mi era completamente sfuggito il fatto che le linee di un campo elettrico indotto fossero circolari! Quindi, se non sbaglio, per la legge di Lenz il campo ha verso orario (in modo che si generi un campo magnetico che si oppone alla diminuzione del flusso).
Quindi, ricapitolando:
1) Il protone in A risente di un campo elettrico tangente alla circonferenza di raggio r e diretto verso sinistra. Quindi la sua accelerazione sarà: a = qE/m con stessa direzione e verso del campo elettrico.
2) Il protone in C uguale a quello in A, solo che il verso è a destra.
3) Il protone in B, essendo soggetto ad un campo elettrico nullo, ha forza risultante nulla e quindi accelerazione nulla.
Grazie @RenzoDF per l'esercizio che mi hai proposto, cercherò di svolgerlo stasera.
Quindi, ricapitolando:
1) Il protone in A risente di un campo elettrico tangente alla circonferenza di raggio r e diretto verso sinistra. Quindi la sua accelerazione sarà: a = qE/m con stessa direzione e verso del campo elettrico.
2) Il protone in C uguale a quello in A, solo che il verso è a destra.
3) Il protone in B, essendo soggetto ad un campo elettrico nullo, ha forza risultante nulla e quindi accelerazione nulla.
Grazie @RenzoDF per l'esercizio che mi hai proposto, cercherò di svolgerlo stasera.
"RenzoDF":
Dall'appendice B del Griffiths "Introduction to Electrodynamics"
Mitico!
Comunque, neanche io lo conoscevo quel teorema, buono a sapersi
"mgrau":
... nei libri è pieno di esempi con piani infiniti, fili infiniti, solenoidi infiniti: ma un caso con un piano infinito su cui è presente un campo B, perpendicolare, uniforme e variabile nel tempo non l'ho mai visto.
Infiniti non ne ho mai visti nemmeno io, ma nel caso ce ne fosse uno con quella geometria, dove andrebbero a richiudersi le linee di forza?
Di semipiani invece se ne trovano, prova a pensare alla classica lastra conduttrice infinita interessata da una densità di corrente costante.
Il problema delle geometrie infinite in presenza di sorgenti (in questo caso correnti) funzioni del tempo va però a creare dei seri problemi in quanto perdiamo la possibilità di usare le semplificazioni valide per la quasi-magnetostatica; prova per esempio a determinare il campo elettrico indotto, da un filo infinito percorso da una generica i(t), ad una generica distanza r dal filo.
"RenzoDF":
Di semipiani invece se ne trovano, prova a pensare alla classica lastra conduttrice infinita interessata da una densità di corrente costante.
prova per esempio a determinare il campo elettrico indotto, da un filo infinito percorso da una generica i(t), ad una generica distanza r dal filo.
Riusciresti a mettere qualche link per esempi di questo genere?
"mgrau":
... Riusciresti a mettere qualche link per esempi di questo genere?
Purtroppo non ho il tempo per andarli a cercare, ma anche qui su Matematicamente ce ne dovrebbero essere, ma mi aspettavo una tua soluzione per quei due casi.
Ho trovato questo problema
http://www.fisica.unisa.it/fisica.ingeg ... io_n.6.pdf
che è un piano non un semipiano, però la corrente è costante, niente campo elettrico.
poi questo,
http://www2.dfa.unict.it/home/barbera/i ... cizi-1.pdf
filo infinito percorso da corrente variabile, dove però si chiede la fem in una spira, non il campo elettrico.
Alla fine, i miei dubbi riguardano proprio questo punto: se conosciamo la fem su una spira, possiamo risalire al campo elettrico, o no? Sotto quali ipotesi?
Per esempio, se la spira è quadrata, il filo parallelo a due lati, penso si possa dire che la fem dovuta ai lati perpendicolari si annulla perchè sono due valori uguali e opposti; si può anche dire che entrambi i termini sono nulli? Ci dovrei pensare.
restano i due lati paralleli, dove la fem ha verso opposto ma essendo diverse le distanze la somma non è nulla. Si può concludere che il campo E dev'essere parallelo al filo?
http://www.fisica.unisa.it/fisica.ingeg ... io_n.6.pdf
che è un piano non un semipiano, però la corrente è costante, niente campo elettrico.
poi questo,
http://www2.dfa.unict.it/home/barbera/i ... cizi-1.pdf
filo infinito percorso da corrente variabile, dove però si chiede la fem in una spira, non il campo elettrico.
Alla fine, i miei dubbi riguardano proprio questo punto: se conosciamo la fem su una spira, possiamo risalire al campo elettrico, o no? Sotto quali ipotesi?
Per esempio, se la spira è quadrata, il filo parallelo a due lati, penso si possa dire che la fem dovuta ai lati perpendicolari si annulla perchè sono due valori uguali e opposti; si può anche dire che entrambi i termini sono nulli? Ci dovrei pensare.
restano i due lati paralleli, dove la fem ha verso opposto ma essendo diverse le distanze la somma non è nulla. Si può concludere che il campo E dev'essere parallelo al filo?
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