Esercizio sulla variazione della velocità angolare
Una ruota per lavorare la ceramica ruota attorno ad un asse verticale passante per il suo centro con una frequenza pari a 2 giri al secondo. La ruota può essere condiserata un disco uniforme di massa 3Kg e diametro 0,4 m. Sul disco vengono posti orizzontalmente 3kg di piombo in forma di un asta lungo 20 cm. L'asta di piombo è posta in modo che il suo centro ed il centro del disco coincidano.
Calcolare il momento di inerzia e velocità angolare del sistema dopo che il piombo viene aggiunto.
Il momento di inerzia l'ho calcolato ed è pari a 0,07 kg*m^2.
La velocità pensavo di calcolarla uguagliando il Lavoro alla variazione di energia cinetica ma non so come calcolare il lavoro?
Calcolare il momento di inerzia e velocità angolare del sistema dopo che il piombo viene aggiunto.
Il momento di inerzia l'ho calcolato ed è pari a 0,07 kg*m^2.
La velocità pensavo di calcolarla uguagliando il Lavoro alla variazione di energia cinetica ma non so come calcolare il lavoro?
Risposte
No, devi uguagliare i momenti angolari prima e dopo:
$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$
$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$
A questo ci avevo pensato ma dipendendo dalle masse, se la massa prima e dopo cambia aggiungendo il piombo, come posso uguagliarli?
"0m8r4":
Il momento di inerzia l'ho calcolato ed è pari a $0,07 kg*m^2$.
Prima o dopo l'aggiunta del piombo? E sei sicuro dei calcoli?
"mgrau":
[quote="0m8r4"]
Il momento di inerzia l'ho calcolato ed è pari a $0,07 kg*m^2$.
Prima o dopo l'aggiunta del piombo? E sei sicuro dei calcoli?[/quote]
Dopo il piombo, calcolato così:
I=1/2*3kg*(0,2 m)^2+1/12*3kg*(0,2 m)^2
Infatti cambia la massa, e di conseguenza cambia la velocità angolare. La massa che aggiungi ha un peso, ma questa forza peso che momento ha, rispetto a un punto dell’asse di rotazione, per esempio il centro del disco? Questo momento di forza esterna è in grado di causare variazione del momento angolare del sistema? Se aggiungi massa al disco, poggiandola sopra anche fuori centro, aumenti il momento di inerzia rispetto all’asse, ma il momento angolare rimane ....?
Il calcolo numerico non l’ho guardato, interessa il concetto.
Il calcolo numerico non l’ho guardato, interessa il concetto.
"Five":
Infatti cambia la massa, e di conseguenza cambia la velocità angolare. La massa che aggiungi ha un peso, ma questa forza peso che momento ha, rispetto a un punto dell’asse di rotazione, per esempio il centro del disco? Questo momento di forza esterna è in grado di causare variazione del momento angolare del sistema? Se aggiungi massa al disco, poggiandola sopra anche fuori centro, aumenti il momento di inerzia rispetto all’asse, ma il momento angolare rimane ....?
Il calcolo numerico non l’ho guardato, interessa il concetto.
Se il centro della massa coincide con il centro del disco, quindi con l'asse di rotazione, il momento della forza peso è nullo perchè è nullo il braccio.
Il momento angolare dipende dal raggio, se la massa è nel centro il raggio è nullo, quindi non cambia il momento angolare.
Se aggiungo massa al disco fuori centro, perchè rimane costante il momento angolare se questo dipende dal raggio?
"0m8r4":
Dopo il piombo, calcolato così:
I=1/2*3kg*(0,2 m)^2+1/12*3kg*(0,2 m)^2
Giusto, mi ero confuso sulla posizione del piombo.
Il peso non c'entra, non genera nessun momento lungo l'asse z.
Il momento angolare si conserva anche se cambi la massa. Comunque puoi pensare le cose in questo modo: prima hai il disco che ruota e l'asta di piombo ferma; poi, appoggi l'asta sul disco e tutto va in rotazione insieme. In questo modo la massa è invariata.
"0m8r4":
Se il centro della massa coincide con il centro del disco, quindi con l'asse di rotazione, il momento della forza peso è nullo perchè è nullo il braccio.
Il momento angolare dipende dal raggio, se la massa è nel centro il raggio è nullo, quindi non cambia il momento angolare.
Se aggiungo massa al disco fuori centro, perchè rimane costante il momento angolare se questo dipende dal raggio?
Il punto importante da capire è il seguente. Hai un disco ad asse verticale fisso, che ruota a velocità costante. Esso ha un certo momento angolare rispetto all’asse di rotazione. Poggia sul disco una certa massa, anche a distanza $r\ne 0 $ dal centro. Supponi per semplicità che la massa sia puntiforme, e che non si sposti sul disco rispetto al punto in cui lo hai poggiato. La forza peso di questa massa è parallela all’asse di rotazione , il suo momento rispetto al centro : $vecM = vecr\times\vec(mg)$ è perpendicolare al piano verticale che contiene l’asse e passa per il punto. Perciò $vecM$ ha componente nulla rispetto all’asse di rotazione. E se ha componente nulla , non può variare il momento angolare del sistema rispetto all’asse del disco.
Ma il momento angolare rispetto all’asse del disco, scritto in forma scalare , è dato da : $L = I *omega$. Aumentando $I$ con l’aggiunta della massa, la velocità angolare deve diminuire.
"Five":
Il punto importante da capire è il seguente. Hai un disco ad asse verticale fisso, che ruota a velocità costante. Esso ha un certo momento angolare rispetto all’asse di rotazione. Poggia sul disco una certa massa, anche a distanza $r\ne 0 $ dal centro. Supponi per semplicità che la massa sia puntiforme, e che non si sposti sul disco rispetto al punto in cui lo hai poggiato. La forza peso di questa massa è parallela all’asse di rotazione , il suo momento rispetto al centro : $vecM = vecr\times\vec(mg)$ è perpendicolare al piano verticale che contiene l’asse e passa per il punto. Perciò $vecM$ ha componente nulla rispetto all’asse di rotazione. E se ha componente nulla , non può variare il momento angolare del sistema rispetto all’asse del disco.
Ma il momento angolare rispetto all’asse del disco, scritto in forma scalare , è dato da : $L = I *omega$. Aumentando $I$ con l’aggiunta della massa, la velocità angolare deve diminuire.
Quindi se applico la regola della mano destra, il vettore M è tangente alla circonferenza di raggio r, giusto?
Il vettore $vecM$ ha direzione orizzontale, essendo il risultato del prodotto vettoriale detto . Non ha senso dire che è tangente alla circonferenza di raggio $r$. Un vettore momento non ha un punto di applicazione definito.
"Five":
No, devi uguagliare i momenti angolari prima e dopo:
$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$
Tornando a questo, il momento angolare prima è:
I=1/2*3kg*(0,2 m)^2= 0.06
Il momento angolare dopo:
I=1/2*3kg*(0,2 m)^2+1/12*3kg*(0,2 m)^2
la velocità angolare iniziale è:
w=2*pigreco*f = 2*3.14*12.57 rad/s = 78,94 rad/s
Velocità angolare finale: 0,06*78,94/0,07=67,67 rad/s che non è la soluzione corretta.
Cosa sbaglio?
Sbagli il calcolo della velocità angolare iniziale : $omega = 2*pi*f = 2*3.14* 2 = 12.566 s^-1$
Hai moltiplicato 2 volte per $2pi$.
$f = 2 (giri)/s$
Inoltre, per la precisione, $I$ è momento di inerzia, non momento angolare.
Hai moltiplicato 2 volte per $2pi$.
$f = 2 (giri)/s$
Inoltre, per la precisione, $I$ è momento di inerzia, non momento angolare.
Si si, momento d'inerzia...però con la zoluzione non ci siamo, le potenziali soluzioni sono:
0.17 s/rad
0.47 rad/s
0.22 rad/s
0.27 rad/s
0.17 s/rad
0.47 rad/s
0.22 rad/s
0.27 rad/s
"0m8r4":
Si si, momento d'inerzia...però con la soluzione non ci siamo, le potenziali soluzioni sono:
0.17 rad/s
0.47 rad/s
0.22 rad/s
0.27 rad/s
Queste soluzioni non stanno nè in cielo nè in terra...
Se il disco fa 2 giri al secondo, la velocità angolare iniziale è $4pi = 12.56 (rad)/s$.
Aggiungendo il piombo, il momento d'inerzia aumenta di un fattore $7/6$ e la velocità angolare diminuisce dello stesso fattore, e diventa $10.77 (rad)/s$
Le soluzioni proposte sono sbagliate , se i dati sono corretti. Ti ho già scritto il valore di $omega$ e come si calcola, possibile mai...? Sei sicuro il disco faccia 2 giri al secondo?
Grazie mille, lo farò presente 
Si si, ho riletto la traccia, tra l'altro prima di chiedervi una mano ci sono stato 3 ore su questo esercizio proprio perchè non mi tornava il risultato...
Il risultato 0.17 sarebbe compatibile con una velocità di 2 giri al minuto... peccato che un tornio da vasaio giri molto più svelto di così
Allora potrebbe essere quello l'errore, magari nello svolgere i calcoli per proporre le soluzioni hanno considerato giri/min..
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