Esercizio sulla relatività
Mi servirebbe aiuto per risolvere un problema sulla relatività ristretta (è abbastanza urgente).
Nel 2060 Anna, studentessa del futuro Liceo Leonardo, dalle finestre di casa vede transitare un treno alla velocità, oggi inimmaginabile, di v = 0,85c, dove c è la velocità della luce. Sul treno Giulio sta distrattamente guardando fuori dal finestrino e vede un aeroplano che si muove parallelamente al treno, ma nel verso opposto. Giulio stima che l’aeroplano si stia muovendo a u′ = 0,60c rispetto al treno.
• Qual è la velocità, u, dell’aeroplano rispetto ad Anna?
Anna osserva che al tempo t = 0s l’aeroplano sta passando esattamente sopra la scuola “liceo Leonardo” e dopo 65µs transita sopra di lei.
• Quando dista per Anna casa sua dalla scuola?
Giulio però non è d’accordo con il risultato trovato da Anna. Secondo lui la casa di Anna dista dal liceo molto meno.
• Quanto misura la distanza casa-scuola per Giulio?
I passeggeri dell’aeroplano scuotono la testa: non sono per nulla d’accordo. Secondo loro sia Anna sia Giulio stanno sbagliando.
• Quanto misura la distanza casa-scuola per loro?
• Quanto tempo impiegherà l’aereo a percorrere questa distanza dal loro punto di vista?
Per la prima risposta ho utilizzato la formula inversa della composizione delle velocità per trovare la velocità dell’aereo dal punto di vista di Anna.
Poi per la seconda domanda, avendo la velocità dell’aereo nel sistema di riferimento di Anna e il tempo che l’aereo impiega per percorrere la distanza scuola-casa, ho utilizzato la formula inversa della velocità per trovare la distanza, cioè d=v*t.
Per la terza domanda ho utilizzato le trasformazioni di Lorentz ponendo le coordinate della scuola (d;0s) e della casa (0m;65*10^-6s). Quindi trovando le coordinate delle due x della casa e della scuola e facendo la differenza ho trovato la distanza dal punto di vista di Giulio.
Per la quarta domanda ho fatto la stessa cosa usando però nelle formula di Lorentz la velocità dell’aereo rispetto ad Anna. Poi per la quinta domanda ho utilizzato le trasformazioni di Lorentz per trovare le due t, rispettivamente della casa e della scuola, per poi fare la differenza e quindi arrivare al tempo che l’aereo impiega per percorrere la distanza dal punto di vista dei passeggeri.
Non so se il modo in cui l’ho risolto è giusto perché i risultati sono un po’ strani.
Nel 2060 Anna, studentessa del futuro Liceo Leonardo, dalle finestre di casa vede transitare un treno alla velocità, oggi inimmaginabile, di v = 0,85c, dove c è la velocità della luce. Sul treno Giulio sta distrattamente guardando fuori dal finestrino e vede un aeroplano che si muove parallelamente al treno, ma nel verso opposto. Giulio stima che l’aeroplano si stia muovendo a u′ = 0,60c rispetto al treno.
• Qual è la velocità, u, dell’aeroplano rispetto ad Anna?
Anna osserva che al tempo t = 0s l’aeroplano sta passando esattamente sopra la scuola “liceo Leonardo” e dopo 65µs transita sopra di lei.
• Quando dista per Anna casa sua dalla scuola?
Giulio però non è d’accordo con il risultato trovato da Anna. Secondo lui la casa di Anna dista dal liceo molto meno.
• Quanto misura la distanza casa-scuola per Giulio?
I passeggeri dell’aeroplano scuotono la testa: non sono per nulla d’accordo. Secondo loro sia Anna sia Giulio stanno sbagliando.
• Quanto misura la distanza casa-scuola per loro?
• Quanto tempo impiegherà l’aereo a percorrere questa distanza dal loro punto di vista?
Per la prima risposta ho utilizzato la formula inversa della composizione delle velocità per trovare la velocità dell’aereo dal punto di vista di Anna.
Poi per la seconda domanda, avendo la velocità dell’aereo nel sistema di riferimento di Anna e il tempo che l’aereo impiega per percorrere la distanza scuola-casa, ho utilizzato la formula inversa della velocità per trovare la distanza, cioè d=v*t.
Per la terza domanda ho utilizzato le trasformazioni di Lorentz ponendo le coordinate della scuola (d;0s) e della casa (0m;65*10^-6s). Quindi trovando le coordinate delle due x della casa e della scuola e facendo la differenza ho trovato la distanza dal punto di vista di Giulio.
Per la quarta domanda ho fatto la stessa cosa usando però nelle formula di Lorentz la velocità dell’aereo rispetto ad Anna. Poi per la quinta domanda ho utilizzato le trasformazioni di Lorentz per trovare le due t, rispettivamente della casa e della scuola, per poi fare la differenza e quindi arrivare al tempo che l’aereo impiega per percorrere la distanza dal punto di vista dei passeggeri.
Non so se il modo in cui l’ho risolto è giusto perché i risultati sono un po’ strani.
Risposte
Ciao.
Il Regolamento impone che tu esponga i tuoi tentativi di risoluzione (vedere in particolare l'articolo 1.2 ).
Inoltre, il tenore del tuo messaggio mi spinge a credere che sia meglio, per te e per chiunque sia intenzionato a risponderti, dare prima un'occhiata a questo.
Il Regolamento impone che tu esponga i tuoi tentativi di risoluzione (vedere in particolare l'articolo 1.2 ).
Inoltre, il tenore del tuo messaggio mi spinge a credere che sia meglio, per te e per chiunque sia intenzionato a risponderti, dare prima un'occhiata a questo.
@Palliit
ma questo potrebbe essere un tema d' esame di maturità? Sono cosí avanti oggi, al liceo ?
ma questo potrebbe essere un tema d' esame di maturità? Sono cosí avanti oggi, al liceo ?
@Five: sì, certamente. Da qualche anno il programma si è allargato, si fa anche fisica moderna (quella del XX secolo).
Dopo un altro giorno di collasso del sistema....
@Maria 01
ho visto che ieri alle 12 hai modificato la tua prima risposta, aggiungendo le tue idee per la soluzione , dopo l’intervento del moderatore. Ritengo che queste idee possano essere considerate alla stregua di tentativi di risoluzione, salvo avviso contrario di Palliit, ma non so fino a che punto posso aiutarti, tenuto anche conto dell’avviso relativo ai prossimi esami, per cui si può discutere dei problemi postati ma non proprio dare le soluzioni... Comunque sia, non credo di contravvenire alle disposizioni, se ti do qualche dritta. E allora proseguo. Il moderatore valuterà se quello che scrivo è troppo.
1) Mi sono fatto un diagramma di Minkowski della situazione, prendendo come riferimento di quiete il riferimento del treno in cui si trova Giulio. Il disegno è questo :
Come vedi, rispetto al treno sia Anna che l’aereo si muovono verso sinistra, Anna con velocità di modulo $v$ e l’aereo con velocità di modulo $u’$ , quindi la soluzione si ottiene mediante la composizione relativistica delle velocità nel verso giusto ; si poteva vedere anche disegnando il diagramma riferito al riferimento di Anna come rif di quiete : la linea di universo dell’aereo sta in mezzo alle l.u. di Giulio e Anna. Io trovo , in modulo :$u=0.51c$ .
Non devi preoccuparti del fatto che ho messo i tre assi temporali nella stessa origine, l’ho fatto solo per evidenziare come sono messi gli angoli tra loro , e come sai gli angoli sono uguali all’ $arctanv$, essendo v una velocità relativa qualsiasi. Se ti procura incomprensione, lascia perdere questo.
Sostanzialmente va bene quello che hai fatto tu, come prima risposta.
2) va bene l’idea per trovare la distanza della scuola da casa di Anna.
3) la distanza secondo Giulio puoi trovarla con le trasformazioni di Lorentz , ma non mi è chiaro come hai fatto. Più semplicemente , Giulio vede la distanza prima calcolata “contratta” del fattore $gamma$ che “esiste” tra Giulio ed Anna : $L_c = L/\gamma$ .
4) come sopra detto al punto 3) ; calcola il fattore $gamma$ usando la velocità relativa tra aereo e Anna, e contrai la lunghezza propria (quella trovata da Anna) con la stessa formuletta.
5) per trovare il tempo di volo stimato dai passeggeri dell’aereo, puoi sempre usare le TL , ma è la strada più brigosa, e anche qui il tuo procedimento non mi è chiaro. È sufficiente dividere la lunghezza contratta trovata al punto 4 per la velocità relativa tra aereo e Anna.
Mi spiace di non poter fare di più , forse ho scritto già troppo. Comunque il punto fondamentale è il primo. Sta’ attenta alle unità di misura, a volte i numeri strani vengono per errori su queste , Tieni presente che $c = (0,30m)/(ns)$ .
@Maria 01
ho visto che ieri alle 12 hai modificato la tua prima risposta, aggiungendo le tue idee per la soluzione , dopo l’intervento del moderatore. Ritengo che queste idee possano essere considerate alla stregua di tentativi di risoluzione, salvo avviso contrario di Palliit, ma non so fino a che punto posso aiutarti, tenuto anche conto dell’avviso relativo ai prossimi esami, per cui si può discutere dei problemi postati ma non proprio dare le soluzioni... Comunque sia, non credo di contravvenire alle disposizioni, se ti do qualche dritta. E allora proseguo. Il moderatore valuterà se quello che scrivo è troppo.
1) Mi sono fatto un diagramma di Minkowski della situazione, prendendo come riferimento di quiete il riferimento del treno in cui si trova Giulio. Il disegno è questo :
Come vedi, rispetto al treno sia Anna che l’aereo si muovono verso sinistra, Anna con velocità di modulo $v$ e l’aereo con velocità di modulo $u’$ , quindi la soluzione si ottiene mediante la composizione relativistica delle velocità nel verso giusto ; si poteva vedere anche disegnando il diagramma riferito al riferimento di Anna come rif di quiete : la linea di universo dell’aereo sta in mezzo alle l.u. di Giulio e Anna. Io trovo , in modulo :$u=0.51c$ .
Non devi preoccuparti del fatto che ho messo i tre assi temporali nella stessa origine, l’ho fatto solo per evidenziare come sono messi gli angoli tra loro , e come sai gli angoli sono uguali all’ $arctanv$, essendo v una velocità relativa qualsiasi. Se ti procura incomprensione, lascia perdere questo.
Sostanzialmente va bene quello che hai fatto tu, come prima risposta.
2) va bene l’idea per trovare la distanza della scuola da casa di Anna.
3) la distanza secondo Giulio puoi trovarla con le trasformazioni di Lorentz , ma non mi è chiaro come hai fatto. Più semplicemente , Giulio vede la distanza prima calcolata “contratta” del fattore $gamma$ che “esiste” tra Giulio ed Anna : $L_c = L/\gamma$ .
4) come sopra detto al punto 3) ; calcola il fattore $gamma$ usando la velocità relativa tra aereo e Anna, e contrai la lunghezza propria (quella trovata da Anna) con la stessa formuletta.
5) per trovare il tempo di volo stimato dai passeggeri dell’aereo, puoi sempre usare le TL , ma è la strada più brigosa, e anche qui il tuo procedimento non mi è chiaro. È sufficiente dividere la lunghezza contratta trovata al punto 4 per la velocità relativa tra aereo e Anna.
Mi spiace di non poter fare di più , forse ho scritto già troppo. Comunque il punto fondamentale è il primo. Sta’ attenta alle unità di misura, a volte i numeri strani vengono per errori su queste , Tieni presente che $c = (0,30m)/(ns)$ .
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