Esercizio sulla gravitazione
Ho provato a fare questo esercizio, ma non mi trovo con il risultato, potete darci uno sguardo?
Un satellite artificiale di massa $m=200Kg$ in rotazione attorno alla terra su un'orbita circolare a distanza $d=500km$ dal suolo viene spostato su un'altra orbita circolare a distanza $2d$ dal suolo.
Si calcoli il lavoro $L$ necessario per effettuare questo spostamento.
$G=6,67*10^-11 N(m^2)/kg$
$r_t=6370Km$
$D=5520 (Kg)/m^3$ (densità media della terra)
mio svolgimento
$W=deltaE=E_p,2-E_p,1= -G*m_s*m_t*((-1/r_b)+(1/r_a))=G*m_s*m_t*((1/r_b)-(1/r_a))$
$=6,67*10^-11*200*6*10^24*((1/(6370+500))-(1/7370))*10^-3$
ho fatto anche il disegno con le relative orbite
ho messo sulla prima orbita il punto $B$ tale che detto $O$ il centro della terra $OB=r_t+d$ mentre detto $A$ il punto sulla seconda orbita diventa $OA=r_t+2d$. Ho converito i $km$ in $m$.
alla fine mi viene: $7,9*10^8 J$
con il risultato mi trovo l'ordine di grandezza, ma come risultato c'è $3,95*10^8 J$ come se il mio risultato dovesse essere diviso per $2$, la mia domanda è: qual è l'errore?
Un satellite artificiale di massa $m=200Kg$ in rotazione attorno alla terra su un'orbita circolare a distanza $d=500km$ dal suolo viene spostato su un'altra orbita circolare a distanza $2d$ dal suolo.
Si calcoli il lavoro $L$ necessario per effettuare questo spostamento.
$G=6,67*10^-11 N(m^2)/kg$
$r_t=6370Km$
$D=5520 (Kg)/m^3$ (densità media della terra)
mio svolgimento
$W=deltaE=E_p,2-E_p,1= -G*m_s*m_t*((-1/r_b)+(1/r_a))=G*m_s*m_t*((1/r_b)-(1/r_a))$
$=6,67*10^-11*200*6*10^24*((1/(6370+500))-(1/7370))*10^-3$
ho fatto anche il disegno con le relative orbite
ho messo sulla prima orbita il punto $B$ tale che detto $O$ il centro della terra $OB=r_t+d$ mentre detto $A$ il punto sulla seconda orbita diventa $OA=r_t+2d$. Ho converito i $km$ in $m$.
alla fine mi viene: $7,9*10^8 J$
con il risultato mi trovo l'ordine di grandezza, ma come risultato c'è $3,95*10^8 J$ come se il mio risultato dovesse essere diviso per $2$, la mia domanda è: qual è l'errore?
Risposte
Perche' e' privo della parte dell'energia cinetica che poi deve essere uguagliata alla potenziale.Cioe' ti devi troavare i valori
di $v_0$ e $v_f$
di $v_0$ e $v_f$
Il satellite non è fermo, ma orbita intorno alla terra 
quindi devi considerare anche la variazione di energia cinetica oltre alla variazione di energia potenziale, e a occhio (non ho terminato i conti) direi che viene
EDIT: sono stato preceduto
quindi devi considerare anche la variazione di energia cinetica oltre alla variazione di energia potenziale, e a occhio (non ho terminato i conti) direi che viene EDIT: sono stato preceduto
Scusate il ritardo della mia risposta.
A quello che ho scritto io dovrei sommare anche la variazione di energia cinetica?
Sarebbe:
$(1/2)*m_s*(v_f)^2-(1/2)*m_s*(v_0)^2$
ma per trovare $v_f$ e $v_0$
devo applicare questa formula:
$(G*m_s*m_t)/(r_a)^2=((m_s)*(V_0)^2)/(r_a)$
così per $r_b$ in relazione a $V_f$?
A quello che ho scritto io dovrei sommare anche la variazione di energia cinetica?
Sarebbe:
$(1/2)*m_s*(v_f)^2-(1/2)*m_s*(v_0)^2$
ma per trovare $v_f$ e $v_0$
devo applicare questa formula:
$(G*m_s*m_t)/(r_a)^2=((m_s)*(V_0)^2)/(r_a)$
così per $r_b$ in relazione a $V_f$?
bingo
Posto tutti i calcoli per finire l'esercizio, credo di trovarmi.
I calcoli si fanno alla fine, cosi da non riportarmi ogni volta calcoli numerici
$(1/2)*m_s*(v_f)^2-(1/2)*m_s*(v_0)^2$
$(G*m_s*m_t)/(r_a)^2=m_s*((V_0)^2)/(r_a)$
$ (G*m_s*m_t)/(r_b)^2=m_s*((V_f)^2)/(r_b)$
da cui viene:
$ (G*m_t)/(r_a)=(V_0)^2$
$(G*m_t)/(r_b)=*(V_f)^2$
sostituendo si ha che l'energia cinetica vale:
$(1/2)*m_s*G*((m_t)/(r_b))-(1/2)*m_s*G*((m_t)/(r_a))$
ora il lavoro deve essere:
$W=G*m_s*m_t*((1/r_b)-(1/r_a))-(1/2)*G*m_s*m_t*((1/r_b)-(1/r_a))=$
$=(1/2)*G*m_s*m_t*((1/r_b)-(1/r_a))=3,94*10^8 J$
dunque all'energia potenziale si 'sottrae' l'energia cinetica, altrimenti $1/2$ non puù venire.
o sbaglio?
I calcoli si fanno alla fine, cosi da non riportarmi ogni volta calcoli numerici
$(1/2)*m_s*(v_f)^2-(1/2)*m_s*(v_0)^2$
$(G*m_s*m_t)/(r_a)^2=m_s*((V_0)^2)/(r_a)$
$ (G*m_s*m_t)/(r_b)^2=m_s*((V_f)^2)/(r_b)$
da cui viene:
$ (G*m_t)/(r_a)=(V_0)^2$
$(G*m_t)/(r_b)=*(V_f)^2$
sostituendo si ha che l'energia cinetica vale:
$(1/2)*m_s*G*((m_t)/(r_b))-(1/2)*m_s*G*((m_t)/(r_a))$
ora il lavoro deve essere:
$W=G*m_s*m_t*((1/r_b)-(1/r_a))-(1/2)*G*m_s*m_t*((1/r_b)-(1/r_a))=$
$=(1/2)*G*m_s*m_t*((1/r_b)-(1/r_a))=3,94*10^8 J$
dunque all'energia potenziale si 'sottrae' l'energia cinetica, altrimenti $1/2$ non puù venire.
o sbaglio?
[tex]E_a = E_b + W[/tex]
dove con [tex]E[/tex] ho indicato l'energia meccanica totale, e con [tex]W[/tex] il lavoro delle forze non conservative
indicando con [tex]U[/tex] l'energia potenziale, e con [tex]K[/tex] l'energia cinetica: [tex]U_a + K_a = U_b + K_b + W[/tex]
essendo [tex]U = -G\dfrac{m_s m_t}{r}[/tex] e [tex]K=\dfrac{1}{2}m_sv^2=\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r}[/tex] si ha:
[tex]-G\dfrac{m_s m_t}{r_a}+\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_a} = -G\dfrac{m_s m_t}{r_b}+\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_b} + W[/tex]
[tex]-\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_a} = -\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_b} + W[/tex]
[tex]W = \dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_b} -\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_a}[/tex] etc etc
Quindi come vedi tecnicamente l'energia cinetica si somma al potenziale, il quale però è negativo, quindi questa somma algebrica risulta di fatto in una sottrazione...
dove con [tex]E[/tex] ho indicato l'energia meccanica totale, e con [tex]W[/tex] il lavoro delle forze non conservative
indicando con [tex]U[/tex] l'energia potenziale, e con [tex]K[/tex] l'energia cinetica: [tex]U_a + K_a = U_b + K_b + W[/tex]
essendo [tex]U = -G\dfrac{m_s m_t}{r}[/tex] e [tex]K=\dfrac{1}{2}m_sv^2=\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r}[/tex] si ha:
[tex]-G\dfrac{m_s m_t}{r_a}+\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_a} = -G\dfrac{m_s m_t}{r_b}+\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_b} + W[/tex]
[tex]-\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_a} = -\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_b} + W[/tex]
[tex]W = \dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_b} -\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_a}[/tex] etc etc
Quindi come vedi tecnicamente l'energia cinetica si somma al potenziale, il quale però è negativo, quindi questa somma algebrica risulta di fatto in una sottrazione...
"Whisky84":
[tex]E_a = E_b + W[/tex]
dove con [tex]E[/tex] ho indicato l'energia meccanica totale, e con [tex]W[/tex] il lavoro delle forze non conservative
indicando con [tex]U[/tex] l'energia potenziale, e con [tex]K[/tex] l'energia cinetica: [tex]U_a + K_a = U_b + K_b + W[/tex]
essendo [tex]U = -G\dfrac{m_s m_t}{r}[/tex] e [tex]K=\dfrac{1}{2}m_sv^2=\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r}[/tex] si ha:
[tex]-G\dfrac{m_s m_t}{r_a}+\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_a} = -G\dfrac{m_s m_t}{r_b}+\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_b} + W[/tex]
[tex]-\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_a} = -\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_b} + W[/tex]
[tex]W = \dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_b} -\dfrac{1}{2}G\dfrac{m_sm_t}{r_a}[/tex] etc etc
Quindi come vedi tecnicamente l'energia cinetica si somma al potenziale, il quale però è negativo, quindi questa somma algebrica risulta di fatto in una sottrazione...
Ecco, ci troviamo allora
Grazie per gli appunti.
prego e buono studio
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