Esercizio sulla Dinamica dei Sistemi
Buongiorno ragazzi,
non riesco a risolvere le ultime richieste del seguente problema:
Problema
Il sistema meccanico in figura è costituito da tre corpi di dimensioni trascurabili collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile passante tra due carrucole di masse e dimensioni trascurabili. Le carrucole sono fissate al soffitto a distanza \(\displaystyle d=1m \) tra loro. Nella posizione di equilibrio il filo forma l'angolo \(\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}\) nel punto in cui è appeso il corpo centrale di massa \(\displaystyle M \) che è equidistante dalle carrucole. Si calcoli la massa \(\displaystyle M \) se la massa di ciascun corpo laterale è \(\displaystyle m=100g \). Il corpo centrale viene sollevato alla quota \(\displaystyle AB \) delle carrucole dopodichè è lasciato libero di cadere. Trascurando ogni possibile attrito, si calcoli: l'accelerazione del corpo centrale nell'istante in cui viene rilasciato, la distanza massima dalla quota \(\displaystyle AB \) a cui arriva il corpo centrale e la velocità massima del corpo centrale durante il moto.
Sono riuscito a capire che dovrei utilizzare il principio di conservazione dell'energia meccanica ma non ho capito come impostare l'uguaglianza tra l'energia meccanica iniziale e l'energia meccanica finale, qualcuno mi potrebbe aiutare?
Grazie!
Risposte
Che calcoli o tentativi di risoluzione hai già fatto?
"ingres":
Che calcoli o tentativi di risoluzione hai già fatto?
Come dicevo ho sfruttato il principio di conservazione dell'energia meccanica in questo modo:
\(\displaystyle Em_{iniziale} = Mgh = Em_{finale} = Mg(h-x) + 2mgx \)
dove il livello "zero" dell'energia potenziale lo ho posto coincidente con la quota iniziale dei due blocchetti di massa \(\displaystyle m \).
Ho chiamato poi \(\displaystyle x \) lo spazio verticale verso il basso percorso dalla massa \(\displaystyle M \) che ho supposto essere uguale allo spostamento verticale verso l'alto delle masse \(\displaystyle m \) dalla quota iniziale.
\(\displaystyle h \) dovrebbe essere l'altezza di quel triangolo, ovvero \(\displaystyle \frac{1}{2} \). Ma così arrivo ad un'equazione errata, come puoi vedere. Hai qualche idea?
Prova a prendere come riferimento AB (poco importa se le ordinate verranno negative, tanto interessano i delta).
Supponi una quota arbitraria iniziale delle due masse m e quindi guarda di quanto sono discese nel momento in cui la massa M è sollevata alla quota AB (attenzione: non sono discese di d/2!), in modo da poter scrivere correttamente l'energia iniziale (questo passaggio non è fondamentale perchè interessano i delta, ma dovrebbe aiutarti a ragionare sui valori dello spostamento delle m rispetto allo spostamento di M).
Quindi supponi che la massa M sia discesa di x e riscrivi correttamente il valore dell'energia potenziale in tale punto tenendo bene conto della geometria e del fatto che i fili sono inestensibili. Quindi non devi ipotizzare delle quote delle masse m, ma devono risultare dal calcolo una volta assegnato x.
Hai i risultati di questo esercizio?
Supponi una quota arbitraria iniziale delle due masse m e quindi guarda di quanto sono discese nel momento in cui la massa M è sollevata alla quota AB (attenzione: non sono discese di d/2!), in modo da poter scrivere correttamente l'energia iniziale (questo passaggio non è fondamentale perchè interessano i delta, ma dovrebbe aiutarti a ragionare sui valori dello spostamento delle m rispetto allo spostamento di M).
Quindi supponi che la massa M sia discesa di x e riscrivi correttamente il valore dell'energia potenziale in tale punto tenendo bene conto della geometria e del fatto che i fili sono inestensibili. Quindi non devi ipotizzare delle quote delle masse m, ma devono risultare dal calcolo una volta assegnato x.
Hai i risultati di questo esercizio?
"ingres":
Prova a prendere come riferimento AB (poco importa se le ordinate verranno negative, tanto interessano i delta).
Supponi una quota arbitraria iniziale delle due masse m e quindi guarda di quanto sono discese nel momento in cui la massa M è sollevata alla quota AB (attenzione: non sono discese di d/2!), in modo da poter scrivere correttamente l'energia iniziale (questo passaggio non è fondamentale perchè interessano i delta, ma dovrebbe aiutarti a ragionare sui valori dello spostamento delle m rispetto allo spostamento di M).
Quindi supponi che la massa M sia discesa di x e riscrivi correttamente il valore dell'energia potenziale in tale punto tenendo bene conto della geometria e del fatto che i fili sono inestensibili. Quindi non devi ipotizzare delle quote delle masse m, ma devono risultare dal calcolo una volta assegnato x.
Hai i risultati di questo esercizio?
Va bene, provo a risolverlo come mi hai detto. L'altezza massima dovrebbe essere 1.41m risetto alla quota AB.
Si può anche "quasi" fare studiando le equazioni della dinamica del sistema.
Per il corpo centrale si arriva ad una equazione differenziale che, espressa in termini di variabili adimensionali di supporto \(\tilde{z} = z \frac{2}{d}\), \(\tilde{t} = t \sqrt{\frac{2g}{d}}\) assume la forma:
\[
\begin{array}{lcl}
\frac{d^2\tilde{z}}{d\tilde{t}^2}&=&1 - \tilde{z} \sqrt{\frac{2}{1+\tilde{z}^2}} \\
\tilde{z}(0)&=&0\\
\frac{d\tilde{z}}{d\tilde{t}}(0)&=&0\\
\end{array}
\]
avendo scelto come origine dell'asse z appunto la quota delle carrucole. Il problema è che risolverla non è - diciamo - immediato https://www.wolframalpha.com/input?i=DS ... +z%2C+t%5D
ma la risoluzione numerica dà proprio il risultato desiderato.
Per quanto riguarda la soluzione con la conservazione dell'energia, la mia prima impressione è che ci sia una "fregatura" dietro l'angolo ...
HINT alla fregatura: come dedurresti il teorema di conservazione dell'energia meccanica per il sistema in esame?
Per il corpo centrale si arriva ad una equazione differenziale che, espressa in termini di variabili adimensionali di supporto \(\tilde{z} = z \frac{2}{d}\), \(\tilde{t} = t \sqrt{\frac{2g}{d}}\) assume la forma:
\[
\begin{array}{lcl}
\frac{d^2\tilde{z}}{d\tilde{t}^2}&=&1 - \tilde{z} \sqrt{\frac{2}{1+\tilde{z}^2}} \\
\tilde{z}(0)&=&0\\
\frac{d\tilde{z}}{d\tilde{t}}(0)&=&0\\
\end{array}
\]
avendo scelto come origine dell'asse z appunto la quota delle carrucole. Il problema è che risolverla non è - diciamo - immediato https://www.wolframalpha.com/input?i=DS ... +z%2C+t%5D
ma la risoluzione numerica dà proprio il risultato desiderato.
Per quanto riguarda la soluzione con la conservazione dell'energia, la mia prima impressione è che ci sia una "fregatura" dietro l'angolo ...
HINT alla fregatura: come dedurresti il teorema di conservazione dell'energia meccanica per il sistema in esame?
Ciao Lampo1089
Non c'è nessuna "fregatura"
.
Di sotto metto la soluzione per il calcolo della distanza massima con considerazioni energetiche, ma invito Fermat3423 a guardarla solo dopo che ha provato a risolvere da solo.
Non c'è nessuna "fregatura"
. Di sotto metto la soluzione per il calcolo della distanza massima con considerazioni energetiche, ma invito Fermat3423 a guardarla solo dopo che ha provato a risolvere da solo.
Giusto per capire, ma da cosa deduci che:
non conoscendo la massima distanza raggiunta e di conseguenza che secondo e terzo termine danno somma nulla?
Ovviamente il risultato è corretto, ma c'è questo piccolo passaggio che di primo acchito cade un po' "dal cielo"
nel punto di distanza massima la velocità si annulla e quanto sopra dovrà essere uguale ad E
non conoscendo la massima distanza raggiunta e di conseguenza che secondo e terzo termine danno somma nulla?
Ovviamente il risultato è corretto, ma c'è questo piccolo passaggio che di primo acchito cade un po' "dal cielo"
Matematicamente se il punto è un massimo per x(t) allora in quel punto dx/dt=0, ovvero v=0 e quindi rimane solo l'energia potenziale. Uguagliando a $E_i$, quest'ultima grandezza compare in ambo i membri quindi, semplificando, rimangono solo i termini di variazione che dovranno essere nulli.
Però questa spiegazione nasconde l'aspetto più propriamente fisico. Quello di cui stiamo parlando è un punto di inversione del moto. In pratica il sistema è una massa equivalente con una specie di "molla" non lineare (se ci poniamo come zero nel punto di equilibrio l'equazione del moto diventa del tipo $ddotz+f(z)=0$) che in realtà rappresenta l'energia potenziale gravitazionale.
Il punto cercato è quello per cui la molla (energia potenziale) è estesa al massimo e quindi la velocità si annulla e la forza di richiamo è anch'essa massima. Il sistema a questo punto tornerà indietro fino a x=0 e quindi riprenderà di nuovo a scendere, oscillando indefinitamente (in modo asimmetrico) attorno al punto di equilibrio.
La risoluzione numerica delle equazioni del moto conferma infatti questo andamento oscillatorio.
Nota: tra l'altro conoscendo l'espressione dell'energia potenziale e i punti di inversione del moto non sarebbe neanche difficile ricavare analiticamente il periodo del moto.
Però questa spiegazione nasconde l'aspetto più propriamente fisico. Quello di cui stiamo parlando è un punto di inversione del moto. In pratica il sistema è una massa equivalente con una specie di "molla" non lineare (se ci poniamo come zero nel punto di equilibrio l'equazione del moto diventa del tipo $ddotz+f(z)=0$) che in realtà rappresenta l'energia potenziale gravitazionale.
Il punto cercato è quello per cui la molla (energia potenziale) è estesa al massimo e quindi la velocità si annulla e la forza di richiamo è anch'essa massima. Il sistema a questo punto tornerà indietro fino a x=0 e quindi riprenderà di nuovo a scendere, oscillando indefinitamente (in modo asimmetrico) attorno al punto di equilibrio.
La risoluzione numerica delle equazioni del moto conferma infatti questo andamento oscillatorio.
Nota: tra l'altro conoscendo l'espressione dell'energia potenziale e i punti di inversione del moto non sarebbe neanche difficile ricavare analiticamente il periodo del moto.
Corretto, chissà dove avevo la testa
Ritornando alla "fregatura": ma è sempre vero che possiamo dimenticarci delle forze interne nella conservazione dell'energia? Perché non sono state tirate in ballo? O è questo sistema ad avere qualcosa di particolare
?
(risposta: sì, ha qualcosa di "particolare" e di conseguenza di quelle ce ne possiamo fregare)
Ritornando alla "fregatura": ma è sempre vero che possiamo dimenticarci delle forze interne nella conservazione dell'energia? Perché non sono state tirate in ballo? O è questo sistema ad avere qualcosa di particolare
?(risposta: sì, ha qualcosa di "particolare" e di conseguenza di quelle ce ne possiamo fregare)
Sicuramente ci sono altri che possono dare una risposta più articolata, ma comunque provo a risponderti.
In realtà possiamo dire che in questo caso la coordinata x è l'unica coordinata libera del sistema di masse (e quindi funge da coordinata lagrangiana), per cui quando scriviamo le posizioni e le velocità delle 3 masse in funzione solo di tale coordinata è perché stiamo già tenendo conto dei vincoli e forze interne al sistema.
La conservazione dell'energia in funzione di tale coordinata è, in questi casi, l'integrale primo delle equazioni del moto (si può verificare che integrando le equazioni del moto si riottiene l'espressione completa della conservazione dell'energia meccanica).
Quindi non è un caso che possiamo fare a meno di descrivere le forze interne e i vincoli: è insito nella natura di come scriviamo le equazioni.
Come esempio semplice basta considerare il pendolo, in cui l'equazione della conservazione dell'energia si riottiene facilmente dalle equazioni del moto scritte in funzione dell'angolo e viceversa. Nello studio non consideriamo la tensione della fune perché sappiamo che il suo effetto è quello di costringere il pendolo a percorrere una traiettoria circolare ed è il motivo per cui prendiamo direttamente come variabile l'angolo e non le posizioni x e y del pendolo.
In realtà possiamo dire che in questo caso la coordinata x è l'unica coordinata libera del sistema di masse (e quindi funge da coordinata lagrangiana), per cui quando scriviamo le posizioni e le velocità delle 3 masse in funzione solo di tale coordinata è perché stiamo già tenendo conto dei vincoli e forze interne al sistema.
La conservazione dell'energia in funzione di tale coordinata è, in questi casi, l'integrale primo delle equazioni del moto (si può verificare che integrando le equazioni del moto si riottiene l'espressione completa della conservazione dell'energia meccanica).
Quindi non è un caso che possiamo fare a meno di descrivere le forze interne e i vincoli: è insito nella natura di come scriviamo le equazioni.
Come esempio semplice basta considerare il pendolo, in cui l'equazione della conservazione dell'energia si riottiene facilmente dalle equazioni del moto scritte in funzione dell'angolo e viceversa. Nello studio non consideriamo la tensione della fune perché sappiamo che il suo effetto è quello di costringere il pendolo a percorrere una traiettoria circolare ed è il motivo per cui prendiamo direttamente come variabile l'angolo e non le posizioni x e y del pendolo.
"ingres":
Ciao Lampo1089
Non c'è nessuna "fregatura"
Di sotto metto la soluzione per il calcolo della distanza massima con considerazioni energetiche, ma invito Fermat3423 a guardarla solo dopo che ha provato a risolvere da solo.
Ho provato a risolverlo da solo utilizzando i tuoi consigli e ho scritto questa equazione che deriva chiaramente dal principio di conservazione dell'energia meccanica:
$E_i = -2mg(\frac{d}{2}+\frac{d}{\sqrt{2}}) = -Mgx - 2mg [(\frac{d}{2}+\frac{d}{\sqrt{2}})-sqrt(d^2/4+x^2 )] = E_f$
e dunque:
$Mgx = 2mgsqrt(d^2/4+x^2 ) $
non riesco a capire perché nella tua equazione compare quel $d/2$, mi potresti aiutare? Grazie.
Quando la massa M è a livello AB la lunghezza di filo tra carrucola e massa M vale $d/2$. Quando la massa M è discesa di x la lunghezza del filo tra carrucola e massa M vale $sqrt(d^2/4+x^2)$.
Quindi la massa m deve essere salita della differenza tra le due lunghezze.
Quindi la massa m deve essere salita della differenza tra le due lunghezze.
"ingres":
Quando la massa M è a livello AB la lunghezza di filo tra carrucola e massa M vale $d/2$. Quando la massa M è discesa di x la lunghezza del filo tra carrucola e massa M vale $sqrt(d^2/4+x^2)$.
Quindi la massa m deve essere salita della differenza tra le due lunghezze.
Perfetto, grazie. Nota l'energia potenziale, derivando rispetto ad x e trovando il minimo di questa funzione mi trovo il punto dove l'energia cinetica, quindi la velocità è massima, poichè la somma tra energia potenziale e cinetica è costante, giusto?
SI
Peraltro il punto in questione dovrebbe essere anche quello per cui l'accelerazione è nulla (perchè la velocità è massima) ovvero quello per cui la somma delle forze è zero ovvero il punto di equilibrio iniziale (x=d/2).
Non ho fatto i conti ma prova a controllare se il discorso fila.
Peraltro il punto in questione dovrebbe essere anche quello per cui l'accelerazione è nulla (perchè la velocità è massima) ovvero quello per cui la somma delle forze è zero ovvero il punto di equilibrio iniziale (x=d/2).
Non ho fatto i conti ma prova a controllare se il discorso fila.
"ingres":
SI
Peraltro il punto in questione dovrebbe essere anche quello per cui l'accelerazione è nulla (perchè la velocità è massima) ovvero quello per cui la somma delle forze è zero ovvero il punto di equilibrio iniziale (x=d/2).
Non ho fatto i conti ma prova a controllare se il discorso fila.
Sì, mi trovo anch'io con il ragionamento. Ti ringrazio per il tuo prezioso aiuto!
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