Esercizio sulla Dinamica

[marco.atzori.1983]

Un blocco di massa $M = 10 \kg$, inizialmente in quiete, scivola verso il basso su di un piano inclinato formante un angolo $\alpha = 30^{\circ}$ con l'orizzontale. Se il piano è scabro ($\mu = 0.5$) calcolare quale deve essere la forza $\vec{F}$, diretta come la verticale e verso l'alto, che è necessaria applicare al blocco perché esso da un certo punto in poi, si muova con velocità costante. Se la velocità costante deve essere $v = 2 \frac{m}{s}$, dire a quale distanza $l_{1}$ dalla sommità del piano deve essere applicata la forza $\vec{F}$. In quanto tempo verrà percorso il tratto $l_{2} = 4 m$ fino al termine del piano inclinato (lunghezza del piano $l = l_{1} + l_{2}$)?



[1] Calcolo di $\vec{F}$

Forza di attrito dinamico che si oppone allo scivolamento: $F_{D} = \mu_{D} \cdot F_{N} = \mu_{D} \cdot mg \cos \alpha$
Componente orizzontale della forza peso che favorisce lo scivolamento : $P_{x} = P \sin \alpha = mg \sin \alpha$
La risultante delle forze sarà quindi
$F_{ris} = P_{x} - F_{D} = (mg \sin \alpha) - (\mu_{D} \cdot mg \cos \alpha) = mg(\sin \alpha - \mu_{D} \cos \alpha)$
$F_{ris} = 10 \kg \cdot 9.8 \frac{m}{\s^{2}} (0.5 - 0.43) = 98 N \cdot 0.07$
La forza da applicare affinché il corpo si muova con moto rettilineo uniforme sarà
$\vec{F} = 6.86 N$

[2] Calcolo di $l_{1}$

Energia cinetica finale: $K_{f} = \frac{1}{2} mv_{f}^{2}$
Energia cinetica iniziale: $K_{i} = \frac{1}{2} mv_{i}^{2} = \frac{1}{2} m \cdot 0 \frac{m^{2}}{\s^{2}} = 0$
Lavoro compiuto da $\vec{F}$: $L = \vec{F} \cos \alpha \cdot l_{1}$
da cui, sostituendo
$K_{f} = K_{i} + L$
$\frac{1}{2} mv_{f}^{2} = \vec{F} \cos \alpha \cdot l_{1}$
$l_{1} = \frac{\frac{1}{2} mv_{f}^{2}}{\vec{F} \cos \alpha} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 10 \kg \cdot 4 \frac{m^{2}}{\s^{2}}}{6.86 N \cos \alpha} = 3.34 m$

[3] Calcolo di $t$
$v = \frac{l_{2}}{t}$
$t = \frac{l_{2}}{v} = \frac{4 m}{2 \frac{m}{s}} = 2 \s$

Sapreste dirmi se ho fatto tutto giusto? Se c'è qualcosa di sbagliato, mi aiutereste?

Grazie in anticipo

[mgrau]

Ok, va bene proporre la propria soluzione, come da regolamento, ma mettiti un po' nei panni di chi legge. C'è una filza di simboli, molti non hanno corrispondenza nella figura, uno deve prima risolvere l'indovinello di capire cosa significa cosa, insomma sarebbe più simpatico se oltre a snocciolare formule ci mettessi in mezzo qualche parolina di commento.
Così - almeno io - faccio veramente troppa fatica

[marco.atzori.1983]

Edited. Se c'è qualcosa che non è ancora chiaro fammelo sapere

[mgrau]

Bene, tutto chiaro. Allora:
1) Hai trovato la forza risultante , parallela al piano. Ma quella che applichi, per avere un moto uniforme, è verticale, non parallela al piano. E' una forza che ha il solo effetto di diminuire il peso. Allora, siccome la forza risultante è proporzionale al peso, l'unico modo di azzerarla è di annullare il peso, cioè di applicare una forza uguale e opposta al peso
2) Ok, ma direi che non occorreva scomodare la dinamica. E' un problema di cinematica. Conosci l'accelerazione $0,07g$ e la velocità finale, ricavi il tempo necessario, e da qui lo spazio percorso. Inoltre hai fatto un errore nel calcolo del lavoro della forza: Questa è parallela allo spostamento, non ci va il termine $cos alpha$
3) ok, anche se il problema mi sembra un po' troppo banale

[marco.atzori.1983]

Quindi, per il punto 2

Conoscendo l'accelerazione, calcolo il tempo necessario per percorrere il tratto $l_{1}$

\(\displaystyle F = ma \Longrightarrow a = \frac{7}{100}g \)

$v = v_0 + at_{1}$

\(\displaystyle 2 \frac{m}{s} = 0 \frac{m}{s} + \frac{7}{100}g \cdot t_{1} \)

\(\displaystyle t_{1} = \frac{2 \frac{m}{s}}{ \frac{7}{100}g} \simeq 3 s \)

Conoscendo $t_{1}$, calcolo il tratto $l_{1}$

$l_{1} = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$

$l_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{100}g \cdot 9 s^{2}$

\(\displaystyle l_{1} \simeq 3 m \)

Giusto?

[mgrau]

giusto