Esercizio sulla cinematica (moto unidimensionale)
Un oggetto è lanciato verticalmente verso il basso in maniera tale che abbia una velocità di 19.6 m/s quando raggiunge la metà della sua altezza massima . Qual'è la sua altezza massima ?
*a breve modifico le formule utilizzando i codici*
Io pensavo di risolverlo con un sistema a 3 equazioni 3 incognite..!
Metto a sistema
$Δx=1/2 (v+v_0)*t $
$Δx=v_0t+1/2 at^2 $
$v=v_0 + at $
Il problema è che andando a sostituire per eliminare 2 incognite in modo tale da averne una sola alla fine mi tornano risultati ovvi e inutili come il sistema
$Δx =vt-1/2 at^2 $
$tv=Δx+1/2 at^2 $
ossia tv=tv ... sto sbagliando qualcosa ? No perchè non ho molti dati a disposizione però pensavo di potermela cavare così visto che le tre incognite sono Δx (ciò che voglio ottenere ossia metà dell'altezza per cui dopo moltiplicherò per 2 ottenendo l'altezza massima),t e v_0 ( non penso parta a velocità nulla visto che è lanciato) . Δx compare in due formule ossia
$Δx=1/2 (v+v_0)*t $
$Δx=v_0t+1/2 at^2 $
dove ci sono altre 2 incognite così mi sono ricordato che quando ho più incognite posso farcela se ho lo stesso numero di equazioni però le cose non mi tornano come invece è successo fin'ora .. temo che v=v_0 + at
non possa essere utilizzata (forse ha solo 2 incognite e non tre! ) . Ad esempio io mi sono trovato sempre a che fare con questo tipo : http://www.ripmat.it/mate/a/ai/aibba.html
Ci sono 3 equazioni ognuna aventi 3 incognite in comune .Io adesso ho 3 equazioni di cui due hanno 3 incognite in comune mentre la terza ne ha solo due ! Se non ci avete capito niente (o non vi va di leggere) aiutatemi almeno a risolvere l'esercizio mostrandomi la via (per favore!!! )
*a breve modifico le formule utilizzando i codici*
Io pensavo di risolverlo con un sistema a 3 equazioni 3 incognite..!
Metto a sistema
$Δx=1/2 (v+v_0)*t $
$Δx=v_0t+1/2 at^2 $
$v=v_0 + at $
Il problema è che andando a sostituire per eliminare 2 incognite in modo tale da averne una sola alla fine mi tornano risultati ovvi e inutili come il sistema
$Δx =vt-1/2 at^2 $
$tv=Δx+1/2 at^2 $
ossia tv=tv ... sto sbagliando qualcosa ? No perchè non ho molti dati a disposizione però pensavo di potermela cavare così visto che le tre incognite sono Δx (ciò che voglio ottenere ossia metà dell'altezza per cui dopo moltiplicherò per 2 ottenendo l'altezza massima),t e v_0 ( non penso parta a velocità nulla visto che è lanciato) . Δx compare in due formule ossia
$Δx=1/2 (v+v_0)*t $
$Δx=v_0t+1/2 at^2 $
dove ci sono altre 2 incognite così mi sono ricordato che quando ho più incognite posso farcela se ho lo stesso numero di equazioni però le cose non mi tornano come invece è successo fin'ora .. temo che v=v_0 + at
non possa essere utilizzata (forse ha solo 2 incognite e non tre! ) . Ad esempio io mi sono trovato sempre a che fare con questo tipo : http://www.ripmat.it/mate/a/ai/aibba.html
Ci sono 3 equazioni ognuna aventi 3 incognite in comune .Io adesso ho 3 equazioni di cui due hanno 3 incognite in comune mentre la terza ne ha solo due ! Se non ci avete capito niente (o non vi va di leggere) aiutatemi almeno a risolvere l'esercizio mostrandomi la via (per favore!!! )
Risposte
Messo i codici (:
Prendi ogni mio suggerimento con delle enormi pinze, visto che sto ricominciando a studiare adesso, ma...
hai provato a usare la formula
$ V_f^2=V_i^2+2gh $ ?
Potrebbe aiutare? Almeno non ci sarebbe da tener conto del tempo...
hai provato a usare la formula
$ V_f^2=V_i^2+2gh $ ?
Potrebbe aiutare? Almeno non ci sarebbe da tener conto del tempo...
Il problema credo sia la cattiva interpretazione della problematica. Le incognite sono 2: $v_0$(velocità iniziale di lancio), $h$(altezza da cui è stata lanciata). Il problema è quello vedere il massimo valore di $h$ compatibile con il dato della velocità a metà altezza $v_{1/2}$. In pratica si arriva ad una relazione tra $h$ e $v_0$ e variando quest'ultimo vedere il valore massimo di $h$. Intuitivamente si capisce che il valore massimo di $h$ è quello per cui l'oggetto sia lasciato cadere senza essere lanciato ($v_0=0$), ma vediamo in concreto. Per la conservazione dell'energia ho:
$mgh+1/2mv_0^2=1/2mv_{1/2}^2+mgh/2$
da cui cio che aveva cercato di dire daniele80 ( c'è un 2 di troppo
)
$h=\frac{v_{1/2}^2-v_0^2}{g}$
Ponendo $v_0=0$ hai il valore massimo, ovvero $h_{max}=\frac{v_{1/2}^2}{g} =39.16 m$
$mgh+1/2mv_0^2=1/2mv_{1/2}^2+mgh/2$
da cui cio che aveva cercato di dire daniele80 ( c'è un 2 di troppo
)$h=\frac{v_{1/2}^2-v_0^2}{g}$
Ponendo $v_0=0$ hai il valore massimo, ovvero $h_{max}=\frac{v_{1/2}^2}{g} =39.16 m$
Innanzitutto grazie a tutti e 2 per le risposte!
Ho già considerato quest'equazione ma non mi ha portato da nessuna parte perchè per come la vedo io ancora mi ritrovo con troppe incognite
Allora..!
Purtroppo l'esercizio lo dovrei risolvere senza l'ausilio di concetti quali l'energia e quindi con le semplici equazioni cinematiche!
Effettivamente la prima cosa che ho pensato è stata proprio
$v^2= (v_0)^2+2a(x-x_0)$
ossia l'equazione di cui parlava daniele . Poniamo $x_0=0$ .
Se $v=19.6$ allora x non sarà altro che metà dell'altezza massima : che dite?!
L'accelerazione è nota quindi direi che a parte x che è ciò che voglio (dopo lo moltiplicherò semplicemente per 2 allo scopo di ottenere l'altezza massima) mi manca v_0 . Se mi dite che v_0=0 non vi seguo perchè nonostante in questa situazione l'energia cinetica sia nulla dalla nota $E=1/2 *m*v$ e conseguentemente l'energia potenziale sia massima (con h massimo) chi mi dice che l'oggetto non sia lanciato (v_0 diverso da 0 )e che raggiunga dopo l'altezza massima quando v è 0 (con v la velocità ad un generico istante)? Se mi dice che è lanciato implicitamente non mi sta dicendo il contrario ossia che v_0 è diverso da 0 ? Poi,purtroppo,come già detto ,non posso usare concetti quali l'energia per risolvere il problema !
Daniele non c'era vicino secondo me a quello che dicevi perchè tu l'hai ricavata da un ambito completamente diverso! Poi prendete con le pinze anche quello che dico io visto che sono ancora una frana
Dopotutto penso che ti venga (il risultato del libro è 39,2) perchè sto libro è tipo degli anni 80 e spesso si inventa i risultati (almeno spero..! ) .Quindi,niente , con v_0=0 mi accingerei a usare
$v^2= (v_0)^2+2a(x-x_0)$
cioè
$v^2= (v_0)^2-2g(x-x_0)$
perchè alla fine un'equazione vale l'altra e se questa ,come dice il libro,è giusta per a=k allora dovrebbe venirmi il risultato da te indicato ..!
esplicito ($x_0=0$)
$(v^2-(v_0)^2)/(-2g)=x$
ossia
$-v^2/(2g)=x$
dove x ,visto che v=19,6 ,è metà dell'altezza che dopo dovrei moltiplicare per 2 !
Il risultato è -19,6 che moltiplicato per due fa pure -39,2 ..! Ma che cazz,cioè,viene
Non mi torna il segno però! E poi ancora non mi capacito di v_0=0!!
1.Quali segni ho sbagliato ?
2.Come si risolve il problema se non posso dire che v_0=0 grazie ai concetti di energia ?
3.Perchè necessariamente il corpo deve cadere da fermo ? Chi mi dice che non è tirato in alto ? Dopotutto potrebbe raggiungere dopo un tempo t l'altezza massima ,fermarsi , avere v=0 e invertire il moto.In quell'istante h sarebbe massimo e anche la sua energia potenziale!
"daniele80":
Prendi ogni mio suggerimento con delle enormi pinze, visto che sto ricominciando a studiare adesso, ma...
hai provato a usare la formula
V2f=V2i+2gh ?
Potrebbe aiutare? Almeno non ci sarebbe da tener conto del tempo...
Ho già considerato quest'equazione ma non mi ha portato da nessuna parte perchè per come la vedo io ancora mi ritrovo con troppe incognite
"6KIRA6":
Il problema credo sia la cattiva interpretazione della problematica. Le incognite sono 2: $ v_0 $(velocità iniziale di lancio), $ h $(altezza da cui è stata lanciata). Il problema è quello vedere il massimo valore di $ h $ compatibile con il dato della velocità a metà altezza $ v_{1/2} $. In pratica si arriva ad una relazione tra $ h $ e $ v_0 $ e variando quest'ultimo vedere il valore massimo di $ h $. Intuitivamente si capisce che il valore massimo di $ h $ è quello per cui l'oggetto sia lasciato cadere senza essere lanciato ($ v_0=0 $), ma vediamo in concreto. Per la conservazione dell'energia ho:
$ mgh+1/2mv_0^2=1/2mv_{1/2}^2+mgh/2 $
da cui cio che aveva cercato di dire daniele80 ( c'è un 2 di troppo
$ h=\frac{v_{1/2}^2-v_0^2}{g} $
Ponendo $ v_0=0 $ hai il valore massimo, ovvero $ h_{max}=\frac{v_{1/2}^2}{g} =37.81 m $
Allora..!
Purtroppo l'esercizio lo dovrei risolvere senza l'ausilio di concetti quali l'energia e quindi con le semplici equazioni cinematiche!
Effettivamente la prima cosa che ho pensato è stata proprio
$v^2= (v_0)^2+2a(x-x_0)$
ossia l'equazione di cui parlava daniele . Poniamo $x_0=0$ .
Se $v=19.6$ allora x non sarà altro che metà dell'altezza massima : che dite?!
L'accelerazione è nota quindi direi che a parte x che è ciò che voglio (dopo lo moltiplicherò semplicemente per 2 allo scopo di ottenere l'altezza massima) mi manca v_0 . Se mi dite che v_0=0 non vi seguo perchè nonostante in questa situazione l'energia cinetica sia nulla dalla nota $E=1/2 *m*v$ e conseguentemente l'energia potenziale sia massima (con h massimo) chi mi dice che l'oggetto non sia lanciato (v_0 diverso da 0 )e che raggiunga dopo l'altezza massima quando v è 0 (con v la velocità ad un generico istante)? Se mi dice che è lanciato implicitamente non mi sta dicendo il contrario ossia che v_0 è diverso da 0 ? Poi,purtroppo,come già detto ,non posso usare concetti quali l'energia per risolvere il problema !
Daniele non c'era vicino secondo me a quello che dicevi perchè tu l'hai ricavata da un ambito completamente diverso! Poi prendete con le pinze anche quello che dico io visto che sono ancora una frana
Dopotutto penso che ti venga (il risultato del libro è 39,2) perchè sto libro è tipo degli anni 80 e spesso si inventa i risultati (almeno spero..! ) .Quindi,niente , con v_0=0 mi accingerei a usare
$v^2= (v_0)^2+2a(x-x_0)$
cioè
$v^2= (v_0)^2-2g(x-x_0)$
perchè alla fine un'equazione vale l'altra e se questa ,come dice il libro,è giusta per a=k allora dovrebbe venirmi il risultato da te indicato ..!
esplicito ($x_0=0$)
$(v^2-(v_0)^2)/(-2g)=x$
ossia
$-v^2/(2g)=x$
dove x ,visto che v=19,6 ,è metà dell'altezza che dopo dovrei moltiplicare per 2 !
Il risultato è -19,6 che moltiplicato per due fa pure -39,2 ..! Ma che cazz,cioè,viene
Non mi torna il segno però! E poi ancora non mi capacito di v_0=0!!
1.Quali segni ho sbagliato ?
2.Come si risolve il problema se non posso dire che v_0=0 grazie ai concetti di energia ?
3.Perchè necessariamente il corpo deve cadere da fermo ? Chi mi dice che non è tirato in alto ? Dopotutto potrebbe raggiungere dopo un tempo t l'altezza massima ,fermarsi , avere v=0 e invertire il moto.In quell'istante h sarebbe massimo e anche la sua energia potenziale!
Scusa, avevo sbagliato il conto. Ora ho corretto.
Credo che a te viene negativa l'altezza perché hai sbagliato il sengo dell'energina potenziale. Se si suppone che l'altezza cresca verso l'alto (diciamo lungo l'asse $z$ diretto verso l'alto) allora la forza gravitazionale è diretta verso il basso, ovvero $\bar F=-mg\hat z$ dove $\hat z$ è il versore dell'asse $z$. Nel nostro caso il potenziale è dunque $\Phi=+mgz$.
Credo che a te viene negativa l'altezza perché hai sbagliato il sengo dell'energina potenziale. Se si suppone che l'altezza cresca verso l'alto (diciamo lungo l'asse $z$ diretto verso l'alto) allora la forza gravitazionale è diretta verso il basso, ovvero $\bar F=-mg\hat z$ dove $\hat z$ è il versore dell'asse $z$. Nel nostro caso il potenziale è dunque $\Phi=+mgz$.
Il problema è che io non ho usato l'energia potenziale e se l'ho fatto è a mia insaputa! Ciò che ho usato è un'equazione della cinematica : io il capitolo dell'energia potenziale non l'ho mai aperto tant'è che l'esercizio si trova nel capitolo della cinematica!
Tutto ciò assumendo ,non so perchè,v_0=0 !
Tutto ciò assumendo ,non so perchè,v_0=0 !
Il problema intero è il seguente :
Un oggetto è lanciato verticalmente verso il basso in maniera tale che abbia una velocità di 19.6 m/s quando raggiunge la metà della sua altezza massima . Qual'è la sua altezza massima ? Qual'è la sua velocità 1 s dopo essere stato lanciato? Qual'è la sua accelerazione quando raggiunge la sua altezza massima ?
Le risposte sono ,rispettivamente : 39,2 m ; 17,9 m/s ; -9,8 m/s^2 .
Sto iniziando a pensare che quest'esercizio sia stato scritto da un'ubriaco perchè non torna un cavolo!
Se uso v_0=0 per risolvere la seconda domanda , con l'equazione v=v_0-gt non torna niente ! Come fa anche solo ad essere positivà la velocità di un corpo che sta cadendo dopo 1 secondo se è partito da fermo ? La sua velocità un secondo dopo dovrebbe essere v=-gt = -9,8 m/s se v_0=0 !
ps : ma poi che intende con : " Qual'è la sua accelerazione quando raggiunge la sua altezza massima ? " . La sua altezza massima non cell'ha appena viene lanciato ? Cioè,quando la dovrebbe raggiungere se ormai se l'è lasciata alle spalle fin da subito ?
Un oggetto è lanciato verticalmente verso il basso in maniera tale che abbia una velocità di 19.6 m/s quando raggiunge la metà della sua altezza massima . Qual'è la sua altezza massima ? Qual'è la sua velocità 1 s dopo essere stato lanciato? Qual'è la sua accelerazione quando raggiunge la sua altezza massima ?
Le risposte sono ,rispettivamente : 39,2 m ; 17,9 m/s ; -9,8 m/s^2 .
Sto iniziando a pensare che quest'esercizio sia stato scritto da un'ubriaco perchè non torna un cavolo!
Se uso v_0=0 per risolvere la seconda domanda , con l'equazione v=v_0-gt non torna niente ! Come fa anche solo ad essere positivà la velocità di un corpo che sta cadendo dopo 1 secondo se è partito da fermo ? La sua velocità un secondo dopo dovrebbe essere v=-gt = -9,8 m/s se v_0=0 !
ps : ma poi che intende con : " Qual'è la sua accelerazione quando raggiunge la sua altezza massima ? " . La sua altezza massima non cell'ha appena viene lanciato ? Cioè,quando la dovrebbe raggiungere se ormai se l'è lasciata alle spalle fin da subito ?
Per favore puoi dire da dove hai preso questo problema? Potrebbe essere una traduzione sbagliata....
Forse c'è un errore nel testo, nel senso che il corpo è lanciato verso l'alto, con velocità iniziale $v_0$. Se è così, allora, preso un asse $y$ verticale orientato verso l'alto e con l'origine nel punto di lancio, se $y_(Max)$ è l'altezza massima, si ha che $1/2mv_0^2=mgy_(Max)$.
Se $v_1$ è la velocità a metà dell'altezza massima, si ha analogamente che
$1/2mv_0^2=mg *(y_(Max))/2+1/2mv_1^2$.
Quindi
$mgy_(Max)=1/2mgy_(Max)+1/2mv_1^2->1/2mgy_(Max)=1/2mv_1^2->$
$y_(Max) = (v_1^2)/(g) = (19.6^2)/9.8 \ m = 39.2 \ m$.
Successivamente si può ricavare $v_0$:
$1/2mv_0^2=mgy_(Max)->1/2mv_0^2=mg*(v_1^2)/(g)->v_0=sqrt(2)v_1$.
Nota questa, da
$v(t)=v_0-g*t$,
si ottiene che
$v(1)=v_0-g*1=sqrt(2)v_1-g=$
$(sqrt(2)*19.6-9.8) \ m*s^-1=19.6 \ m*s^-1$.
Infine, il moto è uniformemente accelerato con accelerazione $vec g$, opposta al verso preso sull'asse $y$. Quindi in ogni istante
$a= - g= - 9.8 \ m*s^-2$.
Forse c'è un errore nel testo, nel senso che il corpo è lanciato verso l'alto, con velocità iniziale $v_0$. Se è così, allora, preso un asse $y$ verticale orientato verso l'alto e con l'origine nel punto di lancio, se $y_(Max)$ è l'altezza massima, si ha che $1/2mv_0^2=mgy_(Max)$.
Se $v_1$ è la velocità a metà dell'altezza massima, si ha analogamente che
$1/2mv_0^2=mg *(y_(Max))/2+1/2mv_1^2$.
Quindi
$mgy_(Max)=1/2mgy_(Max)+1/2mv_1^2->1/2mgy_(Max)=1/2mv_1^2->$
$y_(Max) = (v_1^2)/(g) = (19.6^2)/9.8 \ m = 39.2 \ m$.
Successivamente si può ricavare $v_0$:
$1/2mv_0^2=mgy_(Max)->1/2mv_0^2=mg*(v_1^2)/(g)->v_0=sqrt(2)v_1$.
Nota questa, da
$v(t)=v_0-g*t$,
si ottiene che
$v(1)=v_0-g*1=sqrt(2)v_1-g=$
$(sqrt(2)*19.6-9.8) \ m*s^-1=19.6 \ m*s^-1$.
Infine, il moto è uniformemente accelerato con accelerazione $vec g$, opposta al verso preso sull'asse $y$. Quindi in ogni istante
$a= - g= - 9.8 \ m*s^-2$.
Grazie chiaraotta ..! L'esercizio è evidentemente sbagliato e purtroppo non l'ho copiato male D:
Il testo è fisica per scienze e ingegneria di serway (senza togliergli niente visto che lo trovo ottimo). Mi sono letto tutta l'introduzione quindi sono certo sia americano e per questo la traduzione potrebbe essere sbagliata ..! Il problema è che essendo alle prime armi non mi sento di dichiarare una cosa del genere se non prima di averci perso diverso tempo ascoltando anche chi ne sa più di me . Il risultato è che ci ho perso 3 giorni XD
Comunque ho capito la spiegazione e per fortuna ci sarei arrivato anche io ..! Grazie ancora
Il testo è fisica per scienze e ingegneria di serway (senza togliergli niente visto che lo trovo ottimo). Mi sono letto tutta l'introduzione quindi sono certo sia americano e per questo la traduzione potrebbe essere sbagliata ..! Il problema è che essendo alle prime armi non mi sento di dichiarare una cosa del genere se non prima di averci perso diverso tempo ascoltando anche chi ne sa più di me . Il risultato è che ci ho perso 3 giorni XD
Comunque ho capito la spiegazione e per fortuna ci sarei arrivato anche io ..! Grazie ancora
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