Esercizio sul tensore di inerzia

[mklplo751]

Salve, nell'ultima lezione di fisica matematica abbiamo parlato del tensore di inerzia e ci è stato chiesto di calcolare il tensore di inerzia del sistema formato da un unico punto $P$ di massa unitaria. Ci veniva chiesto sostanzialmente di farlo considerando il punto prima in un sistema di riferimento e poi in un altro e infine vedere se fossero rispettate le leggi di trasformazione delle coordinate. Io allora come primo riferimento ho preso quello canonico e come secondo un riferimento con stessa origine e tale che le coordinate si trasformano nel modo seguente $x'=x+y$ $y'=x-y$ $z'=z$. Per punto ho preso il punto $P(1,0,0)$ nel primo riferimento. Ora, il tensore di inerzia nel sistema canonico mi viene $I=((0,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ nell'altro invece mi trovo $I'=((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,2))$, infine chiamo $A=((1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1))$ la matrice del cambiamento di riferimento e calcolo $(A^(-1))^(t)I*A^(-1)=((1/2, -1/2,0),(-1/2,1/2,0),(0,0,1))$ e dunque non mi trovo. Ho anche calcolato l'inversa e ricontrollato i conti con Matlab ma non mi trovo. Tuttavia se mi metto in un altro riferimento che sia ortonormale tutto torna, tuttavia poiché il tensore di inerzia è un tensore, le formule di trasformazione non dovrebbero valere indipendentemente dal sistema?

[Shackle]

la prof mi ha risposto e alla fine mi ha detto che nel caso in cui il sistema non è ortonormale, effettivamente sorgono questi problemi, e anche il legame con l'energia cinetica presenta lo stesso problema, sempre perchè comunque il vettore velocità angolare rispetta tutte le leggi di trasformazioni nel caso di sistemi ortonormali.

Il calcolo tensoriale è fatto apposta per esprimere quantità fisiche in sistemi di coordinate diversi, anche curvilinee. Avevi espresso un dubbio nel penultimo post : “non saprei da dove iniziare per descrivere un vettore in coordinate curvilinee” , piu o meno. Bè, lo spazio euclideo tridimensionale si può dotare di coordinate cartesiane, ma anche di un sistema di coordinate curvilinee come le polari sferiche $(r, theta,phi) $ in questo disegno (ma se ne possono trovare altri) :

le curve in questo caso sono $c_1, c_2,c_3$ in figura. Nel punto P si possono definire i vettori base locali, tangenti alle curve e variabili da punto a punto, e da P puoi tracciare un vettore $vecA$ qualsiasi, ed esperimere le sue componenti sia nel rif cartesiano di partenza che nel rif curvilineo detto, e poi applicare la legge di trasformazione tensoriale. Ho preso l’immagine da questo libro :

che puoi procurarti . Leggi il paragrafo 1.2 , c’è tutto il procedimento, niente di difficile, ma bisogna tenere conto dei “fattori di scala”.

Però occorre che le quantità fisiche di cui parlavo si possano mettere sotto forma di tensori e quindi rispettino le regole di trasformazione dei tensori; lo scopo è quello di liberarsi delle coordinate nelle equazioni, anche se all’inizio può sembrare piuttosto assurdo e difficile. Le equazioni devono rispettare il cosiddetto principio di covarianza generale, su cui non mi dilungo altrimenti non la finiamo piu.

Il vettore velocità angolare di un corpo rigido libero (pensa a una pietra che scagli nello spazio) non definisce l’asse di rotazione; di solito si assume il CM del corpo come origine di un riferimento cartesiano triortogonale , solidale al corpo e coincidente con i tre assi centrali di inerzia del CR, ma non è un obbligo. Cone questa scelta, si semplifica il calcolo dell’energia cinetica, somma di quella di traslazione e di quella di rotazione rispetto al CM del corpo. Vedi il Landau Lifshitz. Se il corpo rigido ha un punto fisso, l’asse di rotazione passa per quel punto, ma può essere variabile sia rispetto al corpo rigido che rispetto allo spazio “assoluto” di riferimento, Se poi è un asse fisso, la scelta non si discute.
Perciò non mi è molto chiaro che cosa vuol dire la tua prof, anche riguardo all’energia cinetica.. Comunque lo vedrai meglio andando avanti nel corso.
Nel frattempo, leggiti pure queste 6 pagine di Giovanni Bachelet che chiariscono del concetti base:

http://www.giovannibachelet.it/MS2005/s ... rigidi.pdf

E giusto per non dimenticare i fondamentali:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/inecon.html

[mklplo751]

@Shackle, grazie di tutto e scusa se rispondo solo ora ma ho avuto da fare con i vari corsi.