Esercizio sul tensore di inerzia
Salve, nell'ultima lezione di fisica matematica abbiamo parlato del tensore di inerzia e ci è stato chiesto di calcolare il tensore di inerzia del sistema formato da un unico punto $P$ di massa unitaria. Ci veniva chiesto sostanzialmente di farlo considerando il punto prima in un sistema di riferimento e poi in un altro e infine vedere se fossero rispettate le leggi di trasformazione delle coordinate. Io allora come primo riferimento ho preso quello canonico e come secondo un riferimento con stessa origine e tale che le coordinate si trasformano nel modo seguente $x'=x+y$ $y'=x-y$ $z'=z$. Per punto ho preso il punto $P(1,0,0)$ nel primo riferimento. Ora, il tensore di inerzia nel sistema canonico mi viene $I=((0,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ nell'altro invece mi trovo $I'=((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,2))$, infine chiamo $A=((1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1))$ la matrice del cambiamento di riferimento e calcolo $(A^(-1))^(t)I*A^(-1)=((1/2, -1/2,0),(-1/2,1/2,0),(0,0,1))$ e dunque non mi trovo. Ho anche calcolato l'inversa e ricontrollato i conti con Matlab ma non mi trovo. Tuttavia se mi metto in un altro riferimento che sia ortonormale tutto torna, tuttavia poiché il tensore di inerzia è un tensore, le formule di trasformazione non dovrebbero valere indipendentemente dal sistema?
Risposte
Penso che sbagli a calcolare le coordinate del punto nel nuovo sistema di riferimento. Le coordinate di $P'$ sono $(0.5, 0.5, 0)$
Anche questo calcolo non va bene.
$(A^(-1))^(t)I*A^(-1)=((1/2, -1/2,0),(-1/2,1/2,0),(0,0,1))$
Questi i conti con Octave/Matlab
Anche questo calcolo non va bene.
$(A^(-1))^(t)I*A^(-1)=((1/2, -1/2,0),(-1/2,1/2,0),(0,0,1))$
Questi i conti con Octave/Matlab
octave:15> A
A =
1 1 0
1 -1 0
0 0 1
octave:16> I
I =
0 0 0
0 1 0
0 0 1
octave:17> inv(A)'*I*inv(A)
ans =
0.2500 -0.2500 0
-0.2500 0.2500 0
0 0 1.0000
@Quinzio: Ok, non so il perchè Matlab mi dia due risultati diversi a seconda se lo calcolo dalla finestra dei comandi o dallo script (dovrò ricontrollare il codice), comunque se io prendo il punto di coordinate $P(1,0,0)$ nel primo sistema di riferimento, nel secondo $x'=x+y=1+0=1$ $y'=x-y=1-0=1$ e $z'=z=0$ dunque perchè ti trovi $(1/2,1/2,0)$?
Alla fine ho risolto il problema con Matlab, ma ancora non capisco come esca che il punto nel secondo riferimento abbia coordinate $(1/2,1/2,0)$ e non $(1,1,0)$.
.Io allora come primo riferimento ho preso quello canonico e come secondo un riferimento con stessa origine e tale che le coordinate si trasformano nel modo seguente $ x'=x+y $ $ y'=x-y $ $ z'=z $. Per punto ho preso il punto $ P(1,0,0) $ nel primo riferimento.
Non vorrei sbagliarmi, ma io farei cosi; lascerei perdere la coordinata $z$ , rimani sul piano euclideo, dove hai le trasformazioni :
$ x'=x+y $
$ y'=x-y $
allora si hanno le derivate parziali seguenti :
$ (delx’)/(delx) = 1 \;\(delx’)/(dely) = 1$
$ (dely’)/(delx) = 1 \;\(dely’)/(dely) = -1$
ora applica la solita legge di trasformazione dei tensori del 1º ordine controvarianti :
$v’^alpha =(delx’^\alpha)/(delx^\beta)v^\beta$
le derivate parziali le hai ; le componenti $v^\beta$ del vettore sono : $v^x = 1 \;\v^y= 0$ , visto come hai preso P . Non ti resta che sostituire e fare le somme rispetto all’indice saturato $beta$ .
Allora, applicando queste leggi viene $v'^x=1*1+1*0=1$ $v'^y=1*1-1*0=1$ quindi le coordinate $P$ nel secondo riferimento dovrebbero proprio essere $(1,1,0)$. Se così, fosse, salvo errori di conti, la matrice del tensore di inerzia nel secondo riferimento sarebbe quella che ho scritto prima e dunque non coinciderebbe con il prodotto tra matrici che dovrebbe essere ciò che esprime il cambiamento di coordinate a cui ogni tensore deve sottostare. Dunque non capisco dove sia l'errore.
"mklplo":
Se così fosse, salvo errori di conti, la matrice del tensore di inerzia nel secondo riferimento sarebbe quella che ho scritto prima e dunque non coinciderebbe con il prodotto tra matrici che dovrebbe essere ciò che esprime il cambiamento di coordinate a cui ogni tensore deve sottostare. Dunque non capisco dove sia l'errore.
Neanche io; ma non ho capito il prodotto tra matrici di cui parli. Mi fai vedere questo prodotto?
Intendevo il prodotto $(A^(-1))^tIA^(-1)$ dove $I$ è la matrice del tensore di inerzia nel primo riferimento e $A$ è la matrice del cambiamento di riferimento dal primo al secondo riferimento. Come puoi vedere dal post di Quinzio, questo prodotto differisce dal tensore di inerizia che ho calcolato prendendo come coordinate del punto, quelle nel secondo riferimento.
Francamente non saprei; sai, sono stato dietro a astronavi che portano a spasso un filo...
Puoi provare a invertire adoperando il trucco che ti ho fatto vedere nell’ultimo post di quell’altro thread?
LA matrice di inerzia, nel riferimento originale , ha $I_x=0 \;\ I_y=1$ e se vuoi mettere pure $I_z = 1$, ma mi limiterei al piano cartesiano, due sole coordinate.
I momenti centrifughi sono tutti nulli, mi pare.
Io farei una figura, mettendo gli assi del primo riferimento e quelli del secondo ; e calcolerei direttamente i momenti di inerzia e centrifughi rispetto agli assi con apice.
Però , scusa, qui non stai facendo un semplice cambiamento di coordinate lasciando gli stessi assi cartesiani originali; qui stai cambiando proprio gli assi rispetto ai quali calcolare la matrice di inerzia. Per chiarire, se hai una regione circolare nel piano, un disco, una cosa è trovare la matrice di inerzia rispetto a un sistema di coordinate con origine nel centro ( e qui potresti passare da coordinate cartesiane a polari, per esempio), una altra cosa è prende una diversa origine nel piano e metterci altri due assi qualsiasi, e calcolare la matrice di inerzia rispetto a questi nuovi assi! Prendi un quadrato, assumi le mediane come assi la prima volta. Poi sposta l’origine in un vertice , e ruota pure gli assi di un angolo $alpha$ : la matrice di inerzia rispetto a questo sistema di coordinate non rimane certamente la stessa.
Puoi provare a invertire adoperando il trucco che ti ho fatto vedere nell’ultimo post di quell’altro thread?
LA matrice di inerzia, nel riferimento originale , ha $I_x=0 \;\ I_y=1$ e se vuoi mettere pure $I_z = 1$, ma mi limiterei al piano cartesiano, due sole coordinate.
I momenti centrifughi sono tutti nulli, mi pare.
Io farei una figura, mettendo gli assi del primo riferimento e quelli del secondo ; e calcolerei direttamente i momenti di inerzia e centrifughi rispetto agli assi con apice.
Però , scusa, qui non stai facendo un semplice cambiamento di coordinate lasciando gli stessi assi cartesiani originali; qui stai cambiando proprio gli assi rispetto ai quali calcolare la matrice di inerzia. Per chiarire, se hai una regione circolare nel piano, un disco, una cosa è trovare la matrice di inerzia rispetto a un sistema di coordinate con origine nel centro ( e qui potresti passare da coordinate cartesiane a polari, per esempio), una altra cosa è prende una diversa origine nel piano e metterci altri due assi qualsiasi, e calcolare la matrice di inerzia rispetto a questi nuovi assi! Prendi un quadrato, assumi le mediane come assi la prima volta. Poi sposta l’origine in un vertice , e ruota pure gli assi di un angolo $alpha$ : la matrice di inerzia rispetto a questo sistema di coordinate non rimane certamente la stessa.
@Shackle:grazie per aver risposto. Allora, non avevo usato il Teorema di Huygens Steiner per calcolare il momento di inerzia nell'altro sistema, bensì avevo usato la definizione di momento di inerzia, tuttavia ho fatto un errore veramente banale: il riferimento non è ortonormale ma ho usato la formula della distanza che vale solamente per riferimenti ortonormali ($\sqrt(x^2+y^2+z^2)$ per intenderci), inoltre proprio nel caso in cui il secondo riferimento non è ortonormale, la distanza tra un punto è una retta rimane invariata, ma i prodotti di inerzia no...e infatti cercando in giro ho trovato qui https://physics.stackexchange.com/quest ... tia-tensor che il tensore di inerzia non si preserva in generale, o forse dovrebbe essere meglio dire (dimmi tu se è corretta come espressione: sto ancora cercando di prendere familiarità con il concetto) che la matrice di inerzia non è un tensore covariante di ordine $2$ se non opero in riferimenti ortonormali.
Ho capito bene, oppure sto fraintendendo per l'$n$-esima volta?
(grazie comunque per la pazienza)
[ot]p.s: se posso chiedere, cosa intendi con "astronavi che portano a spasso un filo..."?[/ot]
Ho capito bene, oppure sto fraintendendo per l'$n$-esima volta?
(grazie comunque per la pazienza)
[ot]p.s: se posso chiedere, cosa intendi con "astronavi che portano a spasso un filo..."?[/ot]
Devo ancora leggere bene quello che hai trovato su stackexchange, ma credo che la risposta sia proprio quella giusta.
Io credo che nel riferimento con apice i prodotti di inerzia non siano tutti nulli, bisognerebbe fare un disegno in cui tracciare gli assi con apice.
PS : nella seguente voce di Wikipedia:
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Momento_di_inerzia#
c’è il paragrafo dedicato al tensore di inerzia; si dice che, essendo l’energia cinetica uno scalare e quindi invariante:
$ T = 1/2I_(ij)\omega^i\omega^j$
la quantità $ I_(ij)$ è un tensore covariante di rango 2, e riporta pure la formula della trasformazione covariante, per cambio di coordinate.
Tornando alla tua trasformazione, che è lineare, l’asse $x’$ ha equazione $y’=0$ , quindi nel riferimento senza apice è la bisettrice $x=y$. L’asse $y’$ ha equazione $x’=0$ , quindi è l’altra bisettrice $x=-y$.
Perciò ora si possono trovare le coordinate di P nel riferimento con apice, per via geometrica. Quelle di prima sono sbagliate. Bisogna capire che cosa abbiamo sbagliato.
Ho fatto questa figura , dove ho riportato gli assi originali col punto $P = (1,0)$ , e gli assi con apice, che sono le bisettrici dei quadranti, come detto:
Se ora calcoli i momenti di inerzia e centrifughi rispetto agli assi con apice, hai :
$I_(x’) = m ((sqrt2)/2)^2 = 1/2m $ ( dimensioni $[ML^2] $ ovviamente.
$I_(y’) = m ((sqrt2)/2)^2 = 1/2m $
$ I_(x’y’) = m (-(sqrt2)/2)(sqrt2)/2 = -1/2m $
questi valori si possono sistemare in forma di matrice. Quindi ci sono i momenti centrifughi non nulli, a differenza della matrice che si ha nel rif. senza apice.
[ot]Mi riferivo con quella frase a un paradosso relativistico su cui ho discusso di recente, in cui un filo è steso tra due astronavi che si muovono di moto accelerato. È il famoso paradosso delle astronavi di Bell.[/ot]
Io credo che nel riferimento con apice i prodotti di inerzia non siano tutti nulli, bisognerebbe fare un disegno in cui tracciare gli assi con apice.
PS : nella seguente voce di Wikipedia:
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Momento_di_inerzia#
c’è il paragrafo dedicato al tensore di inerzia; si dice che, essendo l’energia cinetica uno scalare e quindi invariante:
$ T = 1/2I_(ij)\omega^i\omega^j$
la quantità $ I_(ij)$ è un tensore covariante di rango 2, e riporta pure la formula della trasformazione covariante, per cambio di coordinate.
Tornando alla tua trasformazione, che è lineare, l’asse $x’$ ha equazione $y’=0$ , quindi nel riferimento senza apice è la bisettrice $x=y$. L’asse $y’$ ha equazione $x’=0$ , quindi è l’altra bisettrice $x=-y$.
Perciò ora si possono trovare le coordinate di P nel riferimento con apice, per via geometrica. Quelle di prima sono sbagliate. Bisogna capire che cosa abbiamo sbagliato.
Ho fatto questa figura , dove ho riportato gli assi originali col punto $P = (1,0)$ , e gli assi con apice, che sono le bisettrici dei quadranti, come detto:
Se ora calcoli i momenti di inerzia e centrifughi rispetto agli assi con apice, hai :
$I_(x’) = m ((sqrt2)/2)^2 = 1/2m $ ( dimensioni $[ML^2] $ ovviamente.
$I_(y’) = m ((sqrt2)/2)^2 = 1/2m $
$ I_(x’y’) = m (-(sqrt2)/2)(sqrt2)/2 = -1/2m $
questi valori si possono sistemare in forma di matrice. Quindi ci sono i momenti centrifughi non nulli, a differenza della matrice che si ha nel rif. senza apice.
[ot]Mi riferivo con quella frase a un paradosso relativistico su cui ho discusso di recente, in cui un filo è steso tra due astronavi che si muovono di moto accelerato. È il famoso paradosso delle astronavi di Bell.[/ot]
@Shackle: Buona domenica e grazie per la risposta e per esserti preso il disturbo di fare i conti. Allora, se ho capito bene, il problema è aver usato la formula della distanza sbagliata. Tuttavia comunque il risultato che viene col cambio covariante di coordinate e quello trovato ragionando geometricamente, non coicidono e non capisco se sia normale o meno, dato che comunque vale tutto quel discorso sui tensori e sul legame con l'energia cinetica.
Tra l'altro mi sono reso conto di aver dato per scontato una cosa: c'è differenza tra sistema di riferimento e sistema di coordinate? Perché stavo riflettendo sul punro $P$, ovvero, se io prendo il suo vettore posizione rispetto all'origine nel nuovo sistema, questo vettore ha componenti $(1,1,0)$, se tuttavia vedessi le proiezioni sui tre assi otterrei $(1/sqrt(2),- 1/sqrt(2), 0)$
P.s: le entrate della matrice di inerzia sono date dalle distanze al quadrato moltiplicate alla massa sulla diagonale, mentre gli elementi diagonali sono dati dagli opposti dei prodotti delle coordinate, oppure gli opposti dei prodotti delle distanze rispetto a due assi?
(a scanso di equivoci:quando si parla di cambiamento di coordinate non si necessita che sia tra due sistemi ortonormali, giusto?)
Tra l'altro mi sono reso conto di aver dato per scontato una cosa: c'è differenza tra sistema di riferimento e sistema di coordinate? Perché stavo riflettendo sul punro $P$, ovvero, se io prendo il suo vettore posizione rispetto all'origine nel nuovo sistema, questo vettore ha componenti $(1,1,0)$, se tuttavia vedessi le proiezioni sui tre assi otterrei $(1/sqrt(2),- 1/sqrt(2), 0)$
P.s: le entrate della matrice di inerzia sono date dalle distanze al quadrato moltiplicate alla massa sulla diagonale, mentre gli elementi diagonali sono dati dagli opposti dei prodotti delle coordinate, oppure gli opposti dei prodotti delle distanze rispetto a due assi?
(a scanso di equivoci:quando si parla di cambiamento di coordinate non si necessita che sia tra due sistemi ortonormali, giusto?)
Anch’io stavo riflettendo sul fatto che non sono stati definiti i vettori base del riferimento con apice. Forse l’inghippo è qui. Dovrei approfondire la questione, c’è di mezzo anche il cambiamento di base. Vedrò se cavo il ragno dal buco.
I termini sulla diagonale della matrice sono i momenti di inerzia, i termini fuori diagonale sono i prodotti di inerzia col segno cambiato, ma per fare un prodotto di inerzia ( o momento centrifugo) devi prendere le distanze dai piani coordinati col segno, in pratica è la coordinata della massa col suo segno.
Per l’ultimo quesito, non ne avevamo già parlato nell’altro thread? Ti avevo messo pure un disegno nel piano cartesiano, con assi ortogonali e con assi ad angolo diverso da $\pi/2$ , per farti vedere la differenza tra componenti covarianti e controvarianti di uno stesso vettore. LA risposta è NO, non necessita.
P.s: le entrate della matrice di inerzia sono date dalle distanze al quadrato moltiplicate alla massa sulla diagonale, mentre gli elementi diagonali sono dati dagli opposti dei prodotti delle coordinate, oppure gli opposti dei prodotti delle distanze rispetto a due assi?
(a scanso di equivoci:quando si parla di cambiamento di coordinate non si necessita che sia tra due sistemi ortonormali, giusto?)
I termini sulla diagonale della matrice sono i momenti di inerzia, i termini fuori diagonale sono i prodotti di inerzia col segno cambiato, ma per fare un prodotto di inerzia ( o momento centrifugo) devi prendere le distanze dai piani coordinati col segno, in pratica è la coordinata della massa col suo segno.
Per l’ultimo quesito, non ne avevamo già parlato nell’altro thread? Ti avevo messo pure un disegno nel piano cartesiano, con assi ortogonali e con assi ad angolo diverso da $\pi/2$ , per farti vedere la differenza tra componenti covarianti e controvarianti di uno stesso vettore. LA risposta è NO, non necessita.
Ci ho pensato ancora ma ritorno sempre al punto di partenza:
In primis, notiamo che presi due punti $P,Q$ generici, la distanza nel nuovo sistema di riferimento è la norma del vettore $P-Q$ che è la radice quadrata del prodotto scalare del vettore con sè. Dunque poichè nel nostro sistema di riferimento cambia la matrice di Gram, abbiamo che $d(P,Q)=sqrt((x'_p-x'_q,y'_p-y'_q,z'_p'-z'_q)(A^(-1))^(-t)*A^(-1)*(x'_p-x'_q,y'_p-y'_q,z'_p-z'_q)^t)$, ora noto che $P-Q$ è la differenza dei due vettori posizione. Dunque, scrivo vettore posizione di $P$ nel secondo riferimento e mi esce $(1,1,0)$. Ora, il punto che ha minima distanza da $P$ e che giace sull'asse $x'$ deve avere necessariamente vettore posizione $(1,0,0)$ nel secondo sistema di riferimento, e con lo stesso ragionamento si ottiene che il punto che ha minima distanza sull'asse $y'$ ha vettore posizione $(0,1,0)$. Allora il vettori che mi permetteranno di ricavare la distanza di $P$ dagli assi sono $(1-1,1,0)$ $(1,1-1,0)$ e (1-0,1-0,0). La matrice di Gram è $((1/2,0,0),(0,1/2,0),(0,0,1))$ dunque per ottenere il quadrato della distanza basta fare la metà del prodotto scalare standard dei vettori posizione con se stessi e dunque il tensore di inerzia viene quello che ci siamo ricavati con le formule di trasformazione covariante e dunque non coincide con il prodotto.
P.s: quando trovi le coordinate del punto $P$ proiettando il punto sugli assi penso che tu debba considerare che anche la proiezione cambia a causa del cambio di forma del prodotto scalare, infatti se fai la distanza di $P$ con le coordinate $(1/sqrt(2),1/sqrt(2),0)$ dall'asse $z'$ con la formula di distanza che ho scritto sopra (che se non sbaglio è equivalente a quella che si ottiene dal tensore metrico), ottieni come distanza $1/2$ il che è assurdo se consideriamo che la distanza fra due oggetti geometrici è invariante.
P.p.s: che poi se il ragionamento è giusto, allora se il riferimento non è ortonormale, non c'è speranza che il tensore di inerzia nel nuovo riferimento coincida sia congruo al tensore di inerzia nel vecchio sistema tramite le inverse del cambiamento di base, proprio perché vettori proporzionali determineranno gli stessi assi e la distanza di un punto da quegli assi è invariante, tuttavia la matrice del cambiamento di base cambia per vettori paralleli ma con lunghezza diversa e dunque tranne nel caso in cui la matrice è ortogonale non si potrà avere l'uguaglianza cercata.
In primis, notiamo che presi due punti $P,Q$ generici, la distanza nel nuovo sistema di riferimento è la norma del vettore $P-Q$ che è la radice quadrata del prodotto scalare del vettore con sè. Dunque poichè nel nostro sistema di riferimento cambia la matrice di Gram, abbiamo che $d(P,Q)=sqrt((x'_p-x'_q,y'_p-y'_q,z'_p'-z'_q)(A^(-1))^(-t)*A^(-1)*(x'_p-x'_q,y'_p-y'_q,z'_p-z'_q)^t)$, ora noto che $P-Q$ è la differenza dei due vettori posizione. Dunque, scrivo vettore posizione di $P$ nel secondo riferimento e mi esce $(1,1,0)$. Ora, il punto che ha minima distanza da $P$ e che giace sull'asse $x'$ deve avere necessariamente vettore posizione $(1,0,0)$ nel secondo sistema di riferimento, e con lo stesso ragionamento si ottiene che il punto che ha minima distanza sull'asse $y'$ ha vettore posizione $(0,1,0)$. Allora il vettori che mi permetteranno di ricavare la distanza di $P$ dagli assi sono $(1-1,1,0)$ $(1,1-1,0)$ e (1-0,1-0,0). La matrice di Gram è $((1/2,0,0),(0,1/2,0),(0,0,1))$ dunque per ottenere il quadrato della distanza basta fare la metà del prodotto scalare standard dei vettori posizione con se stessi e dunque il tensore di inerzia viene quello che ci siamo ricavati con le formule di trasformazione covariante e dunque non coincide con il prodotto.
P.s: quando trovi le coordinate del punto $P$ proiettando il punto sugli assi penso che tu debba considerare che anche la proiezione cambia a causa del cambio di forma del prodotto scalare, infatti se fai la distanza di $P$ con le coordinate $(1/sqrt(2),1/sqrt(2),0)$ dall'asse $z'$ con la formula di distanza che ho scritto sopra (che se non sbaglio è equivalente a quella che si ottiene dal tensore metrico), ottieni come distanza $1/2$ il che è assurdo se consideriamo che la distanza fra due oggetti geometrici è invariante.
P.p.s: che poi se il ragionamento è giusto, allora se il riferimento non è ortonormale, non c'è speranza che il tensore di inerzia nel nuovo riferimento coincida sia congruo al tensore di inerzia nel vecchio sistema tramite le inverse del cambiamento di base, proprio perché vettori proporzionali determineranno gli stessi assi e la distanza di un punto da quegli assi è invariante, tuttavia la matrice del cambiamento di base cambia per vettori paralleli ma con lunghezza diversa e dunque tranne nel caso in cui la matrice è ortogonale non si potrà avere l'uguaglianza cercata.
"Shackle":
Per l’ultimo quesito, non ne avevamo già parlato nell’altro thread? Ti avevo messo pure un disegno nel piano cartesiano, con assi ortogonali e con assi ad angolo diverso da $\pi/2$ , per farti vedere la differenza tra componenti covarianti e controvarianti di uno stesso vettore. LA risposta è NO, non necessita.
Ah giusto...scusa, ma devo ancora digerire tutte queste nozioni.
"Shackle":
Per l’ultimo quesito, non ne avevamo già parlato nell’altro thread? Ti avevo messo pure un disegno nel piano cartesiano, con assi ortogonali e con assi ad angolo diverso da $\pi/2$ , per farti vedere la differenza tra componenti covarianti e controvarianti di uno stesso vettore. LA risposta è NO, non necessita.
Ah giusto...scusa, ma devo ancora digerire tutte queste nozioni.
Scusa, ma come fai a dire che il vettore $ vecOP =(1,0,0)$ (che ha modulo uguale a 1) nel riferimento (Oxyz), ti esce con componenti (1,1,0) nel riferimento con apice? Il suo modulo sarebbe $sqrt2$ , sbagliato. Le componenti, nel riferimento con apice che si ottiene con una “rotazione passiva “ (guarda l’articolo : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix)
del riferimento originale di $\pi/4$ in verso antiorario sono: $(( sqrt2)/2, -(sqrt2)/2,0)$, e il modulo è sempre 1 ovviamente .
Non occorre neppure la matrice di rotazione, basta la figura di prima.
Francamente non capisco tutti questi ragionamenti che hai fatto.
del riferimento originale di $\pi/4$ in verso antiorario sono: $(( sqrt2)/2, -(sqrt2)/2,0)$, e il modulo è sempre 1 ovviamente .
Non occorre neppure la matrice di rotazione, basta la figura di prima.
Francamente non capisco tutti questi ragionamenti che hai fatto.
Allora, poichè noi abbiamo che la matrice del cambio di riferimento è $A=((1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1))$ significa che poichè il primo riferimento è quello canonico $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ allora il secondo sarà $B'={(1/2,1/2,0),(1/2,-1/2,0),(0,0,1)}$, infatti per definizione, chiamate $a_(ij)$ le componenti della matrice e $e_i$ i vettori della prima base e $e'_i$ i vettori della seconda base, $e_i=\sum_{j=1}^3 a_(ji)e'_j$. Dunque, se $(1,0,0)$ sono le coordinate del vettore posizione di $P$ nel primo riferimento $u=e_1=e'_1+e'_2$, allora dalla definizione di coordinate, le coordinate di $u$ nel secondo sistema di riferimento sono $(1,1,0)$.
Per quanto riguarda il discorso della norma.
Poichè $RR^3$ dotato del prodotto scalare standard è uno spazio euclideo posso definire $||u||^2 =$ inoltre so che $ = delta_(ij)$ (ovvero la delta di Kronecker). Ora, so che $e'_1=1/2e_1+1/2e_2$ $e'_2=1/2e_1-1/2e_2$ $e'_3=e_3$, dunque sfruttando la bilinearità del prodotto scalare si ricava che $ = <1/2e_1+1/2e_2,1/2e_1+1/2e_2> = 1/4 (+++)=1/2$ e $ = <1/2 e_1-1/2e_2, 1/2e_1-1/2e_2> = 1/4 ( - -+)=1/2$ e $ = <1/2e_1+1/2e_2,1/2e_1-1/2e_2> = 1/4(+ - - )=0$, allora $ = = +++ = 1/2+1/2=1$. La norma è certamente invariante, ma il modo in cui scrivo la formula per la norma varia e ciò mi garantisce quell'invarianza, infatti siano $u$ e $v$ due vettori e $X$ e $Y$ le loro componenti nel primo riferimento e $G$ la matrice associata al prodotto scalare standard nel primo riferimento(che nei riferimenti ortonormali è la matrice identica) allora $= X^tGY$ ugualmente indico con $X'$ e $Y'$ le componenti dei vettori nel secondo riferimento e $G'$ la matrice del prodotto scalare nel secondo riferimento. Poichè $X'=AX$ e $Y'=AY$ e poichè $=X'^tG'Y'$ si ha $X^tGY=X'^tG'Y'=X^tA^tG'AY$ da cui segue $G=A^tG'A$ nel nostro caso $G$ è la matrice identica $G'=(A^(-1))^tA^(-1)=((1/2,0,0),(0,1/2,0),(0,0,1))$.
Per quanto riguarda il discorso della norma.
Poichè $RR^3$ dotato del prodotto scalare standard è uno spazio euclideo posso definire $||u||^2 =
Forse il motivo per cui non ci troviamo entrambi sulle coordinate di $P$ è che effettivamente ci sia una differenza tra sistema di coordinate e sistema di riferimento (ovvero una terna formata da un punto che è l'origine, una base dello spazio vettoriale che è la giacitura di quello affine e infine un'orientazione). Infatti se per esempio mi si chiedesse di fare questo stesso esercizio con le coordinate sferiche, non saprei neanche rispetto a quale asse dovrei calcolare la distanza.
Edit: rileggendo l'altro thread e di nuovo una delle dispense che avevi messo (scusa ma veramente sono confuso e le nozioni sono tante), noto che nel caso in cui le formule delle coordinate non sono lineari le nozioni di coordinate e componenti non sono così collegate come in algebra lineare, nel senso che devo considerare anche le derivate (in pratica quel piccolo esercizio che mi invitasti a fare). Tuttavia in questo caso specifico, usando proprio quelle formule sul cambio di coordinate, comunque viene che $P$ ha coordinate $(1,1,0)$...
P.s:scusa veramente le tante domande stupide e affermazioni che potrebbero non avere alcun senso, ma questo argomento mi ha davvero disorientato e purtroppo non posso neanche rimandarlo troppo in là dato che penso serva per questo corso di fisica matematica.
Edit: rileggendo l'altro thread e di nuovo una delle dispense che avevi messo (scusa ma veramente sono confuso e le nozioni sono tante), noto che nel caso in cui le formule delle coordinate non sono lineari le nozioni di coordinate e componenti non sono così collegate come in algebra lineare, nel senso che devo considerare anche le derivate (in pratica quel piccolo esercizio che mi invitasti a fare). Tuttavia in questo caso specifico, usando proprio quelle formule sul cambio di coordinate, comunque viene che $P$ ha coordinate $(1,1,0)$...
P.s:scusa veramente le tante domande stupide e affermazioni che potrebbero non avere alcun senso, ma questo argomento mi ha davvero disorientato e purtroppo non posso neanche rimandarlo troppo in là dato che penso serva per questo corso di fisica matematica.
Ho l’impressione che stiamo andando fuori tema. Comunque faccio qualche piccolo commento. Tu scrivi :
E perchè ? Tu aggiungi questa “spiegazione”:
che non ho capito francamente. Peró questa spiegazione ti porta ad una conclusione per me errata , e cioè che le coordinate di $u$ nel secondo riferimento (quello con apice) sono $(1,1,0)$
Innanzitutto, (mi riferisco alla mia figura) perché ruotando in verso antiorario il riferimento $(Oxyz) $ di $\pi/4$ attorno all’asse $z$ e quindi portando l’asse x a coincidere con l’asse x’ , i versori si accorciano ? Il versore dell’asse $x$ semplicemente ruota di quell’angolo, e diventa il versore di $x’$ . E il calcolo vettoriale elementare ci dice che il loro prodotto scalare è semplicemente uguale a $cos(\pi/4) = (sqrt2)/2$ . Cosí il versore dell’asse $y$ , che diventa quello di $y’$ ruotando dello stesso angolo.
Lascio stare tutto il resto. Torno al problema del thread : dimostrare che la matrice di inerzia 3x3 ( ci metto pure l’asse z) è un tensore del secondo ordine. Non ho scritto covariante o controvariante, perché ripeto ancora che quando si parla di tensori cartesiani non c’è differenza tra componenti controvarianti e quelle covarianti di un tensore.
Conosci la meccanica del corpo rigido, in particolare la definizione di momento angolare di un CR ruotante con un punto fisso? E la formula dell’energia cinetica in questo stesso caso?
$vecL = vec\omega$
dove $ $ è la matrice di inerzia, riferita a un sistema di assi cartesiani triortogonali con origine nel punto fisso e solidali al corpo rigido (in pratica la scelta più semplice che spesso si fa, ove possibile, è assumere il punto fisso coincidente col CM del corpo, e i tre assi coincidenti con gli assi centrali di inerzia, cioè principali di inerzia riferiti al CM ; ma non voglio complicarti la vita con questo, il punto fisso può essere un punto qualsiasi).
Allora, nella formuletta del momento angolare sopra scritta c’è al primo membro il vettore momento angolare, al secondo membro il prodotto di una matrice per il vettore $vec\omega$ . Si tratta di dimostrare che quella matrice è un tensore.
Bene, siccome sono pigro a scrivere, ho fatto delle ricerche ed ho trovato questo in un libro di Meccanica :
A me bastava anche solo la spiegazione sulla energia cinetica, che ti dato come link qualche post fa.
Ti dirò che alcuni autori , quando parlano della dinamica del corpo rigido, partono direttamente col definire “tensore” la matrice di inerzia, senza andare troppo per il sottile; cito Lovelock e Rund, Morin, e soprattutto Landau-Lifshitz , non so se hai il loro libro di Meccanica facente parte del corso di fisica teorica.
PS : non ti devi scusare di niente, questi argomenti non sono cioccolatini. Sono difficoltosi da capire all’inizio, poi col tempo le nebbie si diradano. Non ti consiglio altre letture, altrimenti ti viene l’esaurimento nervoso !
Ma con calma e a mente riposata per almeno un giorno, rivedi tutto, a partire dall’altro thread, e magari parti dalle cose più semplici; per esempio il corso di Sharipov già citato è semplice. Forza e coraggio!
"mklplo":
Allora, poichè noi abbiamo che la matrice del cambio di riferimento è $A=((1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1))$ significa che poichè il primo riferimento è quello canonico $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ allora il secondo sarà $B'={(1/2,1/2,0),(1/2,-1/2,0),(0,0,1)}$
E perchè ? Tu aggiungi questa “spiegazione”:
infatti per definizione, chiamate $a_(ij)$ le componenti della matrice e $e_i$ i vettori della prima base e $e'_i$ i vettori della seconda base, $e_i=\sum_{j=1}^3 a_(ji)e'_j$. Dunque, se $(1,0,0)$ sono le coordinate del vettore posizione di $P$ nel primo riferimento $u=e_1=e'_1+e'_2$, allora dalla definizione di coordinate, le coordinate di $u$ nel secondo sistema di riferimento sono $(1,1,0)$.
che non ho capito francamente. Peró questa spiegazione ti porta ad una conclusione per me errata , e cioè che le coordinate di $u$ nel secondo riferimento (quello con apice) sono $(1,1,0)$
Innanzitutto, (mi riferisco alla mia figura) perché ruotando in verso antiorario il riferimento $(Oxyz) $ di $\pi/4$ attorno all’asse $z$ e quindi portando l’asse x a coincidere con l’asse x’ , i versori si accorciano ? Il versore dell’asse $x$ semplicemente ruota di quell’angolo, e diventa il versore di $x’$ . E il calcolo vettoriale elementare ci dice che il loro prodotto scalare è semplicemente uguale a $cos(\pi/4) = (sqrt2)/2$ . Cosí il versore dell’asse $y$ , che diventa quello di $y’$ ruotando dello stesso angolo.
Lascio stare tutto il resto. Torno al problema del thread : dimostrare che la matrice di inerzia 3x3 ( ci metto pure l’asse z) è un tensore del secondo ordine. Non ho scritto covariante o controvariante, perché ripeto ancora che quando si parla di tensori cartesiani non c’è differenza tra componenti controvarianti e quelle covarianti di un tensore.
Conosci la meccanica del corpo rigido, in particolare la definizione di momento angolare di un CR ruotante con un punto fisso? E la formula dell’energia cinetica in questo stesso caso?
$vecL = vec\omega$
dove $ $ è la matrice di inerzia, riferita a un sistema di assi cartesiani triortogonali con origine nel punto fisso e solidali al corpo rigido (in pratica la scelta più semplice che spesso si fa, ove possibile, è assumere il punto fisso coincidente col CM del corpo, e i tre assi coincidenti con gli assi centrali di inerzia, cioè principali di inerzia riferiti al CM ; ma non voglio complicarti la vita con questo, il punto fisso può essere un punto qualsiasi).
Allora, nella formuletta del momento angolare sopra scritta c’è al primo membro il vettore momento angolare, al secondo membro il prodotto di una matrice per il vettore $vec\omega$ . Si tratta di dimostrare che quella matrice è un tensore.
Bene, siccome sono pigro a scrivere, ho fatto delle ricerche ed ho trovato questo in un libro di Meccanica :
A me bastava anche solo la spiegazione sulla energia cinetica, che ti dato come link qualche post fa.
Ti dirò che alcuni autori , quando parlano della dinamica del corpo rigido, partono direttamente col definire “tensore” la matrice di inerzia, senza andare troppo per il sottile; cito Lovelock e Rund, Morin, e soprattutto Landau-Lifshitz , non so se hai il loro libro di Meccanica facente parte del corso di fisica teorica.
PS : non ti devi scusare di niente, questi argomenti non sono cioccolatini. Sono difficoltosi da capire all’inizio, poi col tempo le nebbie si diradano. Non ti consiglio altre letture, altrimenti ti viene l’esaurimento nervoso !
Ma con calma e a mente riposata per almeno un giorno, rivedi tutto, a partire dall’altro thread, e magari parti dalle cose più semplici; per esempio il corso di Sharipov già citato è semplice. Forza e coraggio!
Grazie di nuovo, effettivamente dovrò rifletterci con calma. Comunque, stranamente, la prof mi ha risposto e alla fine mi ha detto che nel caso in cui il sistema non è ortonormale, effettivamente sorgono questi problemi, e anche il legame con l'energia cinetica presenta lo stesso problema, sempre perchè comunque il vettore velocità angolare rispetta tutte le leggi di trasformazioni nel caso di sistemi ortonormali. Inoltre ha confermato il fatto che a causa del cambio di formule del prodotto scalare il vettore posizione del punto $P$ avesse un cambio di componenti che potrebbe sembrare una dilatazione, ma appunto, il cambio della formula per la distanza giustifica ciò. Poi non è scesa nei dettagli dato che non ha visto i conti, tuttavia mi ha detto che durante il corso si lavorerà sempre in sistemi ortonormali dove non ci sono problemi.
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