Esercizio sul rotore di prodotto di vettori
Siano $\vec v_1(\vec x)=\vec x/|\vec x|^3$ e $\vec v_2(\vec x)=\vec a ^^ (\vec b ^^ \vec x)$ con $\vec a$ e $\vec b$ vettori costanti.
Si calcoli il campo vettoriale $\vec w(\vec x)=\vec \nabla ^^(\vec v_1\ ^^ \vec v_2)$
io ci sono impazzito dietro i conti con la notazione levi-civita...
Si calcoli il campo vettoriale $\vec w(\vec x)=\vec \nabla ^^(\vec v_1\ ^^ \vec v_2)$
io ci sono impazzito dietro i conti con la notazione levi-civita...
Risposte
Ci tento per fare un po' di esercizio 
Non assicuro sul risultato, son venuti un po' di conti 
Nel seguito uso la relazione $\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$. Inoltre, mantengo la sommatoria quando uso le $\varepsilon$, per non star lì a sistemare indici in alto e in basso.
Prima di tutto:
$\vec a \wedge (\vec b \wedge \vec c) = \sum_{ijklm} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmj} a^i b^l c^m \vec e_k = \sum_{ijklm} \varepsilon_{jki} \varepsilon_{jlm} a^i b^l c^m \vec e_k = \sum_{ijklm}(\delta_{kl}\delta_{im} - \delta_{km}\delta_{il}) b^l c^m \vec e_k = \sum_{ik} a^i b^k c^i \vec e_k - \sum_{ik} a^i b^i c^k \vec e_k = \vec b(\vec a \cdot \vec c) - \vec c(\vec a \cdot \vec b)$
Dunque posso scrivere $\vec v_2(\vec x) = \vec a \wedge (\vec b \wedge \vec x) = \vec b(\vec a \cdot \vec x) - \vec x(\vec a \cdot \vec b)$.
Ora, $\vec w(\vec x) = \nabla \wedge (\vec v_1 \wedge \vec v_2)$, con $\vec v_1(\vec x) = \frac{\vec x}{|\vec x|^3}$. Dunque
$\vec v_1 \wedge \vec v_2 = \frac{\vec x \wedge \vec b}{|\vec x|^3}(\vec a \cdot \vec x) - \frac{\vec x \wedge \vec x}{|\vec x|^3}(\vec a \cdot \vec b) = \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} \wedge \vec b$
Ricavo un altra relazione utile, ove suppongo che $\vec B$ non dipenda da $\vec x$:
$ \nabla \times (\vec{A} \times \vec {B}) = \sum_{lmn} \varepsilon_{lmn} \partial_l (\vec{A} \times \vec{B})^m \vec e_n = \sum_{lmnij} \varepsilon_{lmn} \varepsilon_{ijm} B^j \partial_l A^i \vec e_n = \sum_{lmnij} \varepsilon_{mnl} \varepsilon_{mij} B^j \partial_l A^i \vec e_n $
$ = \sum_{lnij} \delta_{ni}\delta_{lj} B^j \partial_l A^i \vec e_n -\sum_{lnij} \delta_{nj}\delta_{li} B^j \partial_l A^i \vec e_n = B^j \partial_j A^i \vec e_i -B^j \partial_i A^i \vec e_j = - \vec B(\nabla \cdot \vec A) + (\vec{B} \cdot \nabla) \vec{A} $
ove $(\vec B \cdot \nabla) = (B^i \partial_i)$ .Dunque
(*) $ \vec w(\vec x) = \nabla \wedge (\vec v_1 \wedge \vec v_2) = - \vec b (\nabla \cdot \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3}) + (\vec b \cdot \nabla) \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3}$
Restan da calcolare i vari pezzi.. Usando $\nabla \cdot (f\vec A) = \vec A \cdot \nabla f + f \nabla \cdot \vec A$ ho
(a) $\nabla \cdot \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = \vec x \cdot \nabla \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} + \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \nabla \cdot \vec x$
Uso ora $\nabla \cdot \vec x = 3$, $\nabla |\vec x|^\alpha = \alpha \vec x|\vec x|^{\alpha -2}$, $\nabla (\vec a \cdot \vec x) = \vec a$
$ \nabla \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} = \nabla(\vec a \cdot \vec x) |\vec x|^{-3} + (\vec a \cdot \vec x) \nabla |\vec x|^{-3} = \frac{\vec a}{|\vec x|^3} -3(\vec a \cdot \vec x) \frac{\vec x}{|\vec x|^5} $
Dunque la (a) diventa
(a') $ \nabla \cdot \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = \frac{\vec a \cdot \vec x}{|\vec x|^3} -3\frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} + 3 \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} = \frac{\vec a \cdot \vec x}{|\vec x|^3} $
Per il pezzo $(\vec b \cdot \nabla) \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3}$ di (*) ho
$ \partial_i \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = \partial_i \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \vec x + \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \vec e_i = \frac{a_i}{|\vec x|^3} \vec x - 3\frac{ (\vec a \cdot \vec x)x_i}{|\vec x|^5} \vec x + \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \vec e_i = $
da cui
(b) $ (\vec b \cdot \nabla) \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = b^i \partial_i \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec x|^3} \vec x - 3\frac{ (\vec a \cdot \vec x)(\vec b \cdot \vec x)}{|\vec x|^5} \vec x + \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \vec b $
Mettendo tutto assieme, (a') e (b) in (*), ho
$ \vec w(\vec x) = \nabla \wedge (\vec v_1 \wedge \vec v_2) = - \vec b (\nabla \cdot \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3}) + (\vec b \cdot \nabla) \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = - \vec b \frac{\vec a \cdot \vec x}{|\vec x|^3} + \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec x|^3} \vec x - 3\frac{ (\vec a \cdot \vec x)(\vec b \cdot \vec x)}{|\vec x|^5} \vec x + \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \vec b = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec x|^3} \vec x - 3\frac{ (\vec a \cdot \vec x)(\vec b \cdot \vec x)}{|\vec x|^5} \vec x = (\vec a \cdot \vec b - 3\frac{ (\vec a \cdot \vec x)(\vec b \cdot \vec x)}{|\vec x|^2}) \frac{\vec x}{|\vec x|^3} $
Sarà giusto?
Mah..!
Non assicuro sul risultato, son venuti un po' di conti Nel seguito uso la relazione $\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$. Inoltre, mantengo la sommatoria quando uso le $\varepsilon$, per non star lì a sistemare indici in alto e in basso.Prima di tutto:
$\vec a \wedge (\vec b \wedge \vec c) = \sum_{ijklm} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmj} a^i b^l c^m \vec e_k = \sum_{ijklm} \varepsilon_{jki} \varepsilon_{jlm} a^i b^l c^m \vec e_k = \sum_{ijklm}(\delta_{kl}\delta_{im} - \delta_{km}\delta_{il}) b^l c^m \vec e_k = \sum_{ik} a^i b^k c^i \vec e_k - \sum_{ik} a^i b^i c^k \vec e_k = \vec b(\vec a \cdot \vec c) - \vec c(\vec a \cdot \vec b)$
Dunque posso scrivere $\vec v_2(\vec x) = \vec a \wedge (\vec b \wedge \vec x) = \vec b(\vec a \cdot \vec x) - \vec x(\vec a \cdot \vec b)$.
Ora, $\vec w(\vec x) = \nabla \wedge (\vec v_1 \wedge \vec v_2)$, con $\vec v_1(\vec x) = \frac{\vec x}{|\vec x|^3}$. Dunque
$\vec v_1 \wedge \vec v_2 = \frac{\vec x \wedge \vec b}{|\vec x|^3}(\vec a \cdot \vec x) - \frac{\vec x \wedge \vec x}{|\vec x|^3}(\vec a \cdot \vec b) = \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} \wedge \vec b$
Ricavo un altra relazione utile, ove suppongo che $\vec B$ non dipenda da $\vec x$:
$ \nabla \times (\vec{A} \times \vec {B}) = \sum_{lmn} \varepsilon_{lmn} \partial_l (\vec{A} \times \vec{B})^m \vec e_n = \sum_{lmnij} \varepsilon_{lmn} \varepsilon_{ijm} B^j \partial_l A^i \vec e_n = \sum_{lmnij} \varepsilon_{mnl} \varepsilon_{mij} B^j \partial_l A^i \vec e_n $
$ = \sum_{lnij} \delta_{ni}\delta_{lj} B^j \partial_l A^i \vec e_n -\sum_{lnij} \delta_{nj}\delta_{li} B^j \partial_l A^i \vec e_n = B^j \partial_j A^i \vec e_i -B^j \partial_i A^i \vec e_j = - \vec B(\nabla \cdot \vec A) + (\vec{B} \cdot \nabla) \vec{A} $
ove $(\vec B \cdot \nabla) = (B^i \partial_i)$ .Dunque
(*) $ \vec w(\vec x) = \nabla \wedge (\vec v_1 \wedge \vec v_2) = - \vec b (\nabla \cdot \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3}) + (\vec b \cdot \nabla) \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3}$
Restan da calcolare i vari pezzi.. Usando $\nabla \cdot (f\vec A) = \vec A \cdot \nabla f + f \nabla \cdot \vec A$ ho
(a) $\nabla \cdot \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = \vec x \cdot \nabla \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} + \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \nabla \cdot \vec x$
Uso ora $\nabla \cdot \vec x = 3$, $\nabla |\vec x|^\alpha = \alpha \vec x|\vec x|^{\alpha -2}$, $\nabla (\vec a \cdot \vec x) = \vec a$
$ \nabla \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} = \nabla(\vec a \cdot \vec x) |\vec x|^{-3} + (\vec a \cdot \vec x) \nabla |\vec x|^{-3} = \frac{\vec a}{|\vec x|^3} -3(\vec a \cdot \vec x) \frac{\vec x}{|\vec x|^5} $
Dunque la (a) diventa
(a') $ \nabla \cdot \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = \frac{\vec a \cdot \vec x}{|\vec x|^3} -3\frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} + 3 \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} = \frac{\vec a \cdot \vec x}{|\vec x|^3} $
Per il pezzo $(\vec b \cdot \nabla) \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3}$ di (*) ho
$ \partial_i \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = \partial_i \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \vec x + \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \vec e_i = \frac{a_i}{|\vec x|^3} \vec x - 3\frac{ (\vec a \cdot \vec x)x_i}{|\vec x|^5} \vec x + \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \vec e_i = $
da cui
(b) $ (\vec b \cdot \nabla) \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = b^i \partial_i \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec x|^3} \vec x - 3\frac{ (\vec a \cdot \vec x)(\vec b \cdot \vec x)}{|\vec x|^5} \vec x + \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \vec b $
Mettendo tutto assieme, (a') e (b) in (*), ho
$ \vec w(\vec x) = \nabla \wedge (\vec v_1 \wedge \vec v_2) = - \vec b (\nabla \cdot \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3}) + (\vec b \cdot \nabla) \frac{(\vec a \cdot \vec x) \vec x}{|\vec x|^3} = - \vec b \frac{\vec a \cdot \vec x}{|\vec x|^3} + \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec x|^3} \vec x - 3\frac{ (\vec a \cdot \vec x)(\vec b \cdot \vec x)}{|\vec x|^5} \vec x + \frac{(\vec a \cdot \vec x)}{|\vec x|^3} \vec b = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec x|^3} \vec x - 3\frac{ (\vec a \cdot \vec x)(\vec b \cdot \vec x)}{|\vec x|^5} \vec x = (\vec a \cdot \vec b - 3\frac{ (\vec a \cdot \vec x)(\vec b \cdot \vec x)}{|\vec x|^2}) \frac{\vec x}{|\vec x|^3} $
Sarà giusto?
Mah..!
era in un compitino... a matematica...
secondo me viola le convenzioni di Ginevra...
secondo me viola le convenzioni di Ginevra...
Probabilmente esiste un metodo più rapido 
Riprovo, usando direttamente le $\varepsilon$, dove riesco. Forse è leggermente più rapido.. ma non troppo
Ho
$partial_i v_1^k = \partial_i \frac{x^k}{|x|^3} = \frac{\delta_{ik}}{|x|^3} -3 \frac{x^kx^i}{|x|^5}$
Vale anche
$ \partial_i v_2^l = \partial_i (\sum_{xyzfg} \varepsilon_{xzl} \varepsilon_{fgz} a^x b^f x^g) = \sum_{xyzf} \varepsilon_{zlx} \varepsilon_{zfi} a^x b^f = \sum_{xyf} (\delta_{lf}\delta_{xi} - \delta_{li}\delta_{xf}) a^x b^f= a^i b^l - \delta_{li} a^x b^x = a^i b^l - \delta_{li} (\vec a \cdot \vec b)$
Uso questa per comodità:
$\vec v_2 = \vec b(\vec a \cdot \vec x) -\vec x(\vec a \cdot \vec b)$
Dunque:
$ \nabla \wedge (\vec v_1 \wedge \vec v_2) = \sum_{ijklm} \varepsilon_{jki} \varepsilon_{jlm} \partial_i(v_1^lv_2^m) \vec e_k$
$= \sum_{ijklm} \delta_{kl}\delta_{im} \partial_i(v_1^l v_2^m) \vec e_k -\sum_{ijklm} \delta_{km}\delta_{il} \partial_i(v_1^lv_2^m) \vec e_k $
$= \sum_{ik} \partial_i(v_1^k v_2^i) \vec e_k -\sum_{ik}\partial_i(v_1^i v_2^k) \vec e_k $
$= \partial_iv_1^k v_2^i \vec e_k + v_1^k \partial_i v_2^i \vec e_k -\partial_i v_1^i v_2^k \vec e_k -v_1^i \partial_i v_2^k \vec e_k $
$= ( \frac{\delta_{ik}}{|x|^3} -3 \frac{x^kx^i}{|x|^5} ) v_2^i \vec e_k + \sum_i \frac{x^k}{|x|^3} (a^i b^i - \delta_{ii} (\vec a \cdot \vec b)) \vec e_k -\sum_i( \frac{\delta_{ii}}{|x|^3} -3 \frac{x^ix^i}{|x|^5} ) v_2^k \vec e_k -\frac{x^i}{|x|^3} (a^i b^k - \delta_{ki} (\vec a \cdot \vec b)) \vec e_k $
$= \frac{\vec v_2}{|x|^3} -3 \frac{\vec x \cdot \vec v_2}{|x|^5} \vec x + \frac{\vec a \cdot \vec b}{|x|^3} \vec x -3 \frac{\vec x}{|x|^3} (\vec a \cdot \vec b) -3 \frac{1}{|x|^3} \vec v_2 + 3 \frac{1}{|x|^3} \vec v_2 -\frac{\vec x \cdot \vec a}{|x|^3} \vec b +\frac{(\vec a \cdot \vec b)}{|x|^3} \vec x $
$= \frac{\vec b(\vec a \cdot \vec x) -\vec x(\vec a \cdot \vec b) }{|x|^3} -3 \frac{\vec x \cdot \vec v_2}{|x|^5} \vec x + \frac{\vec a \cdot \vec b}{|x|^3} \vec x -3 \frac{\vec x}{|x|^3} (\vec a \cdot \vec b) -\frac{\vec x \cdot \vec a}{|x|^3} \vec b +\frac{(\vec a \cdot \vec b)}{|x|^3} \vec x $
$= \frac{\vec a \cdot \vec b}{|x|^3} \vec x -3 \frac{\vec x \cdot ( \vec b(\vec a \cdot \vec x) -\vec x(\vec a \cdot \vec b) )}{|x|^5} \vec x -3 \frac{\vec x}{|x|^3} (\vec a \cdot \vec b) $
$= \frac{\vec a \cdot \vec b}{|x|^3} \vec x -3 \frac{\vec x \cdot \vec b(\vec a \cdot \vec x)}{|x|^5} \vec x $
Per lo meno viene uguale a prima Non ho ricontrollato in dettagli i conti.. ci son alcuni indici fuori posto
Ho
$partial_i v_1^k = \partial_i \frac{x^k}{|x|^3} = \frac{\delta_{ik}}{|x|^3} -3 \frac{x^kx^i}{|x|^5}$
Vale anche
$ \partial_i v_2^l = \partial_i (\sum_{xyzfg} \varepsilon_{xzl} \varepsilon_{fgz} a^x b^f x^g) = \sum_{xyzf} \varepsilon_{zlx} \varepsilon_{zfi} a^x b^f = \sum_{xyf} (\delta_{lf}\delta_{xi} - \delta_{li}\delta_{xf}) a^x b^f= a^i b^l - \delta_{li} a^x b^x = a^i b^l - \delta_{li} (\vec a \cdot \vec b)$
Uso questa per comodità:
$\vec v_2 = \vec b(\vec a \cdot \vec x) -\vec x(\vec a \cdot \vec b)$
Dunque:
$ \nabla \wedge (\vec v_1 \wedge \vec v_2) = \sum_{ijklm} \varepsilon_{jki} \varepsilon_{jlm} \partial_i(v_1^lv_2^m) \vec e_k$
$= \sum_{ijklm} \delta_{kl}\delta_{im} \partial_i(v_1^l v_2^m) \vec e_k -\sum_{ijklm} \delta_{km}\delta_{il} \partial_i(v_1^lv_2^m) \vec e_k $
$= \sum_{ik} \partial_i(v_1^k v_2^i) \vec e_k -\sum_{ik}\partial_i(v_1^i v_2^k) \vec e_k $
$= \partial_iv_1^k v_2^i \vec e_k + v_1^k \partial_i v_2^i \vec e_k -\partial_i v_1^i v_2^k \vec e_k -v_1^i \partial_i v_2^k \vec e_k $
$= ( \frac{\delta_{ik}}{|x|^3} -3 \frac{x^kx^i}{|x|^5} ) v_2^i \vec e_k + \sum_i \frac{x^k}{|x|^3} (a^i b^i - \delta_{ii} (\vec a \cdot \vec b)) \vec e_k -\sum_i( \frac{\delta_{ii}}{|x|^3} -3 \frac{x^ix^i}{|x|^5} ) v_2^k \vec e_k -\frac{x^i}{|x|^3} (a^i b^k - \delta_{ki} (\vec a \cdot \vec b)) \vec e_k $
$= \frac{\vec v_2}{|x|^3} -3 \frac{\vec x \cdot \vec v_2}{|x|^5} \vec x + \frac{\vec a \cdot \vec b}{|x|^3} \vec x -3 \frac{\vec x}{|x|^3} (\vec a \cdot \vec b) -3 \frac{1}{|x|^3} \vec v_2 + 3 \frac{1}{|x|^3} \vec v_2 -\frac{\vec x \cdot \vec a}{|x|^3} \vec b +\frac{(\vec a \cdot \vec b)}{|x|^3} \vec x $
$= \frac{\vec b(\vec a \cdot \vec x) -\vec x(\vec a \cdot \vec b) }{|x|^3} -3 \frac{\vec x \cdot \vec v_2}{|x|^5} \vec x + \frac{\vec a \cdot \vec b}{|x|^3} \vec x -3 \frac{\vec x}{|x|^3} (\vec a \cdot \vec b) -\frac{\vec x \cdot \vec a}{|x|^3} \vec b +\frac{(\vec a \cdot \vec b)}{|x|^3} \vec x $
$= \frac{\vec a \cdot \vec b}{|x|^3} \vec x -3 \frac{\vec x \cdot ( \vec b(\vec a \cdot \vec x) -\vec x(\vec a \cdot \vec b) )}{|x|^5} \vec x -3 \frac{\vec x}{|x|^3} (\vec a \cdot \vec b) $
$= \frac{\vec a \cdot \vec b}{|x|^3} \vec x -3 \frac{\vec x \cdot \vec b(\vec a \cdot \vec x)}{|x|^5} \vec x $
Per lo meno viene uguale a prima
Non ho ricontrollato in dettagli i conti.. ci son alcuni indici fuori posto
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