Esercizio sul pendolo fisico
Si consideri un pendolo fisico costituito da un’asta di lunghezza L = 2.36 m e massa m = 3.54 alla cui
estremità è fissato un punto materiale di massa uguale a quella dell’asta. All’altra estremità l’asta è fissata
ad un perno che permette al sistema di oscillare senza attrito nel piano verticale. Si calcoli il periodo di
oscillazione (nell’approssimazione di piccole oscillazioni).
Ho provato a svolgere l'esercizio utilizzando la seconda equazione cardinale per i corpi rigidi
$ alpha * (1/12ml^2+(l/2)^2m+l^2m)=mgl/2sinvartheta + mglsinvartheta $
$ alpha * 4/3ml^2=mg(3/2l)sinvartheta $
poiché siamo nel regime di piccole oscillazioni ho approssimato $ vartheta $ con $ vartheta $
Qui il libro (esercizio svolto), che ho sbirciato non sapendo andare avanti, fa il seguente passaggio che spero possiate aiutarmi a comprendere:
$ alpha = (3*mg*l*vartheta)/(2I)rArr Omega =sqrt((3/2*(mgl)/I) $
Grazie a tutti per l'aiuto. Magari mi sono incartato su di una banalità ma non riesco a capire
estremità è fissato un punto materiale di massa uguale a quella dell’asta. All’altra estremità l’asta è fissata
ad un perno che permette al sistema di oscillare senza attrito nel piano verticale. Si calcoli il periodo di
oscillazione (nell’approssimazione di piccole oscillazioni).
Ho provato a svolgere l'esercizio utilizzando la seconda equazione cardinale per i corpi rigidi
$ alpha * (1/12ml^2+(l/2)^2m+l^2m)=mgl/2sinvartheta + mglsinvartheta $
$ alpha * 4/3ml^2=mg(3/2l)sinvartheta $
poiché siamo nel regime di piccole oscillazioni ho approssimato $ vartheta $ con $ vartheta $
Qui il libro (esercizio svolto), che ho sbirciato non sapendo andare avanti, fa il seguente passaggio che spero possiate aiutarmi a comprendere:
$ alpha = (3*mg*l*vartheta)/(2I)rArr Omega =sqrt((3/2*(mgl)/I) $
Grazie a tutti per l'aiuto. Magari mi sono incartato su di una banalità ma non riesco a capire
Risposte
Segni errati a parte, ti faccio notare che quella non è altro che una equazione differenziale del secondo ordine in $\theta$, e di conseguenza ... 
Il pendolo fisico è una delle applicazioni più immediate e semplici della seconda equazione cardinale della dinamica dei corpi rigidi. Scelto un polo $O$, in genere "fisso" in un riferimento inerziale , o coincidente col CM del corpo (o in moto con velocità parallela a $vecv_(CM)$ ), per il calcolo dei momenti delle forze applicate, e del momento angolare del corpo rigido, la seconda equazione cardinale della dinamica si scrive :
$vec\tau = (d\vecL)/(dt) = (d(Ivecomega))/(dt) = Ivec\alpha$
nel caso del pendolo fisico, soggetto solo alla forza peso e alla reazione dell'asse di sospensione, $I$ è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di sospensione, attorno al quale esso oscilla, e $alpha = ddot\theta $ è l'accelerazione angolare.
Detta $d$ la distanza tra l'asse di sospensione del pendolo fisico e l'asse baricentrico parallelo , si ha, nel caso delle piccole oscillazioni , per cui $sen theta \approx theta $ :
$tau = - mgd\theta$
il segno "$-$" deriva dal fatto che lo spostamento angolare , inteso come vettore: $vectheta$ , e il momento della forza peso : $ vec\tau $ , sono opposti :
$vec\tau = - mgdvectheta$
sostituendo nella 2º equazione della dinamica prima scritta , e passando tutto al primo membro, si ha :
$Iddottheta + mgd\theta = 0 \rarr ddot\theta + (mgd)/I * theta = 0 $
Posto : $omega^2 = (mgd)/I$ , si ha la nota equazione differenziale del moto armonico , in cui l'accelerazione di richiamo è proporzionale allo spostamento .
Quindi , per scrivere correttamente la pulsazione non devi far altro che trovare $I$ e la distanza $d$ del CM dall'asse di sospensione . Dai un'occhiata anche qui :
$vec\tau = (d\vecL)/(dt) = (d(Ivecomega))/(dt) = Ivec\alpha$
nel caso del pendolo fisico, soggetto solo alla forza peso e alla reazione dell'asse di sospensione, $I$ è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di sospensione, attorno al quale esso oscilla, e $alpha = ddot\theta $ è l'accelerazione angolare.
Detta $d$ la distanza tra l'asse di sospensione del pendolo fisico e l'asse baricentrico parallelo , si ha, nel caso delle piccole oscillazioni , per cui $sen theta \approx theta $ :
$tau = - mgd\theta$
il segno "$-$" deriva dal fatto che lo spostamento angolare , inteso come vettore: $vectheta$ , e il momento della forza peso : $ vec\tau $ , sono opposti :
$vec\tau = - mgdvectheta$
sostituendo nella 2º equazione della dinamica prima scritta , e passando tutto al primo membro, si ha :
$Iddottheta + mgd\theta = 0 \rarr ddot\theta + (mgd)/I * theta = 0 $
Posto : $omega^2 = (mgd)/I$ , si ha la nota equazione differenziale del moto armonico , in cui l'accelerazione di richiamo è proporzionale allo spostamento .
Quindi , per scrivere correttamente la pulsazione non devi far altro che trovare $I$ e la distanza $d$ del CM dall'asse di sospensione . Dai un'occhiata anche qui :
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