Esercizio sul moto rototraslazionale.
Buongiorno, vorrei proporvi questo esercizio:
Il libro di testo, Fisica generale di Sergio Rosati, propone la soluzione. Mi trovo con tutti i passaggi intermedi ma alla fine i risultati non coincidono.
La prima parte della soluzione mi è chiara.
Nella seconda parte, non mi è chiaro il perchè il testo sottolinei che la velocità angolare sia minore di zero, non è già chiaro dalla $(4)$?
Nella risoluzione, ho cercato l'istante di tempo $t'$ tale che $v_G=\omega r$ e quindi quando $v_0-\mu_D g t= -(2\mu_D g t)/r r$
Il mio risultato come si vede, non coincide con quello del testo.
Grazie dell'attenzione!
Un cilindro omogeneo di massa $m$ e raggio $r$ si muove sopra una superficie scabra con coefficiente di attrito dinamico $\mu_D$; all'istante $t=0$ il moto del cilindro traslatorio e la velocità $v_0$ di ogni suo punto è parallela alla superficie di appoggio e perpendicolare all'asse del cilindro. Si calcoli l'istante $t'$ a partire dal quale il cilindro rotola senza strisciare.
Il libro di testo, Fisica generale di Sergio Rosati, propone la soluzione. Mi trovo con tutti i passaggi intermedi ma alla fine i risultati non coincidono.
Soluzione libro.
Il cilindro viene frenato dalla forza di attrito dinamico $F_D = \mu_D mg$ il cui momento rispetto all'asse del cilindro (orientato verso chi osserva la figura) è $\mu_D mgr$.
Dalle due equazioni cardinali si ricava:
$(1) F_D = ma_G$, $(2) a_G=-(\mu_D mg)/m= - \mu_D g$,$(3) v_G=v_0-\mu_D g t$;
$(4) I(d\omega)/dt=-\mu_D mgr$, $(5) (d\omega)/dt=-(2\mu_D g)/r$, $(6) \omega(t)=-(2\mu_D g t)/r$
$\omega <0$ perché, con l'orientazione scelta, la rotazione appare oraria. La velocità assoluta dei punti del cilindro a contatto con la superficie ha modulo $v_G+r\omega= v_0-3\mu_D g t$, di conseguenza il moto assoluto del cilindro è rototraslatorio fino all'istante $t'= V_0/(3\mu_D g)$, dopodiché il cilindro rotola senza strisciare con velocità angolare $\omega=-(2v_0)/(3r)$.
La prima parte della soluzione mi è chiara.
Nella seconda parte, non mi è chiaro il perchè il testo sottolinei che la velocità angolare sia minore di zero, non è già chiaro dalla $(4)$?
Nella risoluzione, ho cercato l'istante di tempo $t'$ tale che $v_G=\omega r$ e quindi quando $v_0-\mu_D g t= -(2\mu_D g t)/r r$
Il mio risultato come si vede, non coincide con quello del testo.
Grazie dell'attenzione!
Risposte
Ciao, ricordi qual è la condizione di puro rotolamento? Perché il cilindro rotoli senza strisciare che velocità deve avere il punto di contatto?
Ciao, $v=v_G + \omega r$?
Perché non provi a motivare la risposta?
Ad ogni modo, quella è la generica velocità di un punto a distanza r dall'asse di rotazione. Quindi, sì, è anche la generica velocità del punto di contatto, ma perché si abbia puro rotolamento dovrà essere ..
Ad ogni modo, quella è la generica velocità di un punto a distanza r dall'asse di rotazione. Quindi, sì, è anche la generica velocità del punto di contatto, ma perché si abbia puro rotolamento dovrà essere ..
La condizione di puro rotolamento è $V_G=\omega r$, perchè il punto di contatto è istantaneamente, poi si può arrivare a dimostrarlo attraverso vari approcci: energetico, cinematico, dinamico. Quella scritta nella mia risposta precedente rappresenta l'equazione più generale di un moto di rototraslazione, quindi quando il corpo non trasla la $v$ va a farsi benedire 
Però i miei dubbi erano soprattutto dovuti al risultato dell'esercizio.
Però i miei dubbi erano soprattutto dovuti al risultato dell'esercizio.
La condizione di puro rotolamento è $v_P (t') = v_G(t')+r\omega(t')=0$. La velocità del punto P si ottiene infatti componendo quella del centro di massa la rotazione attorno all'asse del cilindro.
Resta comunque il mio dubbio sull'esercizio perchè i risultati che non corrispondono.
"BigRaf":
Nella seconda parte, non mi è chiaro il perchè il testo sottolinei che la velocità angolare sia minore di zero, non è già chiaro dalla $(4)$?
Nella risoluzione, ho cercato l'istante di tempo $t'$ tale che $v_G=\omega r$ e quindi quando $v_0-\mu_D g t= -(2\mu_D g t)/r r$
Il mio risultato come si vede, non coincide con quello del testo.
Tutti e due i dubbi vengono da fatto che non sei coerente col verso di rotazione.
Uno deve scegliere un verso di rotazione, qualunque sia, e poi non va più cambiato fino alla fine.
Non importa se il risultato viene positivo o negativo, il verso di rotazione "reale" è quello che è, e non ci interessa.
La cosa è evidente quando chiedi "Nella seconda parte, non mi è chiaro il perchè il testo sottolinei che la velocità angolare sia minore di zero, non è già chiaro dalla (4) ?"
No, non è chiaro dalla 4 il verso "reale" di rotazione.
La 4 è una formula, una macchinetta che prende in ingresso dei numeri e ti sputa fuori un altro numero. Il fatto che la 4 contenga un (-) segno meno, non significa nulla.
In questo caso tu fai delle assunzioni sulle altre variabili, e "sai" che sono tutte positive, ma in generale non puoi fare nessuna assunzione.
Nel moto di puro rotolamento anche il sistema di riferimento e il verso di rotazione sono legati. $\omega <0$ perché si è supposto che il cilindro si muovesse da sinistra a destra, e perchè questo avvenga il cilindro deve ruotare obbligatoriamente in senso orario e quindi da lì il segno di $\omega$. Se avessi supposto che il cilindro si muovesse da destra a sinistra, si avrebbe $\omega >0$.
Credo sia tutto chiaro.
Grazie Quinzio, grazie DelCrossB!
Credo sia tutto chiaro.
Grazie Quinzio, grazie DelCrossB!
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