Esercizio sul moto rettilineo uniforme
Questo è l'esercizio: Due auto procedono verso un incrocio su strade rettilinee e perpendicolari alla stessa velocità $ v=20m/s $, transitando dall'incrocio ad un intervallo di tempo $ Deltat=10s $ l'una dall'altra. Qual è la minima distanza reciproca tra le due auto durante tutto il moto?
Ho pensato di risolverlo cosi:
La prima auto ha moto: $ x=x_0+vt $ e la seconda $ y=y_0+vt $.
La loro distanza $ d^2=x^2+y^2=x_0^2+y_0^2+2v^2t^2+4vt(x_0+y_0) $ risulta minima quando $ 2v^2t^2+4vt(x_0+y_0)=0 $ cioè per $ t=-2(x_0+y_0)/v $ sostituendo nella formula della distanza trovata predentemente dovrei trovare la distanza minima solo che non riesco a ricavarmi $ x_0 $ ed $ y_0 $ in funzione di $ v $ e di $ Deltat $ (che peraltro non so bene come usare).
Qualuno può darmi qualche idea su come andare avanti ? Grazie.
Ho pensato di risolverlo cosi:
La prima auto ha moto: $ x=x_0+vt $ e la seconda $ y=y_0+vt $.
La loro distanza $ d^2=x^2+y^2=x_0^2+y_0^2+2v^2t^2+4vt(x_0+y_0) $ risulta minima quando $ 2v^2t^2+4vt(x_0+y_0)=0 $ cioè per $ t=-2(x_0+y_0)/v $ sostituendo nella formula della distanza trovata predentemente dovrei trovare la distanza minima solo che non riesco a ricavarmi $ x_0 $ ed $ y_0 $ in funzione di $ v $ e di $ Deltat $ (che peraltro non so bene come usare).
Qualuno può darmi qualche idea su come andare avanti ? Grazie.
Risposte
Ciao! Non so è corretto quello che sto per dirti ma ci provo, sbagliando si impara... Se sostituisci i valori della velocità e dell'intervallo di tempo con cui transitano le due auto all'incrocio nell'equazione del tempo?
Grazie per la risposta, però non ho capito bene cosa mi consigli 
Poni l'origine degli assi all'incrocio e l'istante $0$ nel momento in cui la prima auto passa da lì, così sei in grado di stabilire le posizioni $x_0$ e $y_0$.
Non ho capito bene la formula che hai usato ... ma dovrei approfondire ...
Cordialmente, Alex
Non ho capito bene la formula che hai usato ... ma dovrei approfondire ...
Cordialmente, Alex
Ciao! Provo a consigliarti! Allora, una delle due macchine (mettiamo quella sull'asse $x$) parte in vantaggio di $x_0$. Non è necessario $y_0$ nell'equazione dell'altra macchina! Inoltre sai che la macchina sull'asse $x$ arriva con 10 secondi di vantaggio, dati proprio dal tempo di attraversamento del tratto $x_0$ che lei "aveva già fatto" rispetto all'altra, no? Il problema ci permette di ragionare così perché non ci sono accelerazioni.. Ragiona su questo, poi sarà più facile! (Come consiglia axpgn conviene scrivere così gli assi!)
Ok grazie a tutti. Ho ragionato cosi:
Mettendo gli assi come dice axpng ottengo (credo
)
$ x=vt $ e $ y=y_0+vt=Deltatv+vt $.
La distanza tra le due macchine dal teorema di pitagora è $ d^2=x^2+y^2=...=2v^2t^2+(2v^2Deltat) t+Deltat^2v^2 $ che quindi minima se $ 2v^2t^2+(2v^2Deltat) t=0 $ e cioè se $ t=-Deltat $.
Da qui ottengo $ d^2=4*10^4 $ dunque $ d=200m $.
Il risultato non coincide con quello del professore, dove ho sbagliato? Calcoli o ragionamenti?
Mettendo gli assi come dice axpng ottengo (credo
)$ x=vt $ e $ y=y_0+vt=Deltatv+vt $.
La distanza tra le due macchine dal teorema di pitagora è $ d^2=x^2+y^2=...=2v^2t^2+(2v^2Deltat) t+Deltat^2v^2 $ che quindi minima se $ 2v^2t^2+(2v^2Deltat) t=0 $ e cioè se $ t=-Deltat $.
Da qui ottengo $ d^2=4*10^4 $ dunque $ d=200m $.
Il risultato non coincide con quello del professore, dove ho sbagliato? Calcoli o ragionamenti?
Ma devi considerare anche il moto che fanno dopo aver superato l'incrocio? 
"Fonzio":
Ma devi considerare anche il moto che fanno dopo aver superato l'incrocio?
Che mi cambia
? Devo considerare la distanza che c'è tra le due macchine che è istante per istante uguale a $ d=sqrt(x^2+y^2) $ da cui derivando rispetto al tempo e mettendo uguale a zero trovo che il tempo di minima distanza è $ t=(-Deltat)/2 $ e quindi $ d_min=141,42m $ come scritto dal professore.In quell'atro modo non riesco a capire perchè non torni
, bah.
Allora ...
Come detto poniamo l'origine degli assi all'incrocio e consideriamo l'istante $t_0=0$ quando la prima macchina ($A$) si trova nel punto $O=(0,0)$. Ipotizziamo che questa auto ($A$) viaggi sull'asse delle ascisse in direzione positiva (verso destra) mentre l'altra ($B$) viaggi sull'asse delle ordinate sempre in direzione positiva (verso l'alto).
Per ipotesi la posizione di $B$ all'istante $t_0$ sarà $B_0=(0,-200)$.
Sempre per ipotesi l'equazione del moto di $A$ sarà $x=vt$ mentre quella di $B$ sarà $y=vt-200$.
La distanza tra le due auto in ogni istante è data da $d^2=x^2+y^2=(vt)^2+(vt-200)^2=2(vt)^2+200^2-400vt$
Derivando quest'ultima rispetto al tempo e ponendola uguale a $0$ otteniamo $4v^2t-400v=0\ =>\ t=(400v)/(4v^2)$ da cui si giunge a $t=100/v=5\ s$.
Quindi la distanza minima si avrà dopo 5 secondi dal passaggio all'incrocio dell'auto $A$ quando le posizioni sono $x_A(5)=5*20=100$ e $y_B(5)=5*20-200=-100$ da cui $d^2=100^2+(-100)^2\ =>\ d=100*sqrt(2)$.
Cordialmente, Alex
Come detto poniamo l'origine degli assi all'incrocio e consideriamo l'istante $t_0=0$ quando la prima macchina ($A$) si trova nel punto $O=(0,0)$. Ipotizziamo che questa auto ($A$) viaggi sull'asse delle ascisse in direzione positiva (verso destra) mentre l'altra ($B$) viaggi sull'asse delle ordinate sempre in direzione positiva (verso l'alto).
Per ipotesi la posizione di $B$ all'istante $t_0$ sarà $B_0=(0,-200)$.
Sempre per ipotesi l'equazione del moto di $A$ sarà $x=vt$ mentre quella di $B$ sarà $y=vt-200$.
La distanza tra le due auto in ogni istante è data da $d^2=x^2+y^2=(vt)^2+(vt-200)^2=2(vt)^2+200^2-400vt$
Derivando quest'ultima rispetto al tempo e ponendola uguale a $0$ otteniamo $4v^2t-400v=0\ =>\ t=(400v)/(4v^2)$ da cui si giunge a $t=100/v=5\ s$.
Quindi la distanza minima si avrà dopo 5 secondi dal passaggio all'incrocio dell'auto $A$ quando le posizioni sono $x_A(5)=5*20=100$ e $y_B(5)=5*20-200=-100$ da cui $d^2=100^2+(-100)^2\ =>\ d=100*sqrt(2)$.
Cordialmente, Alex
Come vedi cambia 
dai calcoli che axpgn ha scritto si vede che la distanza minima si ha quando la prima macchina ha superato l'incrocio, e in particolare quando la distanza dall'origine è, in valore assoluto, uguale per i due corpi. Ragionando sulla questione, inoltre, potevi a priori dire che sarebbe stato tutto in un istante "post-incrocio". Pensa al triangolo rettangolo "mobile", con vertici nelle due auto e nell'incrocio. L'ipotenusa è la distanza. Mano a mano che le macchine si avvicinavano all'incrocio l'ipotenusa diminuiva fino a coincidere, quando la prima toccava l'incrocio, con il cateto. Negli istanti immediatamente successivi la distanza non poteva che essere minore perché veniva a crearsi un nuovo triangolo rettangolo, con ipotenusa necessariamente minore del segmento-distanza precedente. Comunque, a parte le cose (magari cervellotiche) che ho scritto, la spiegazione di Alex è chiarissima, grazie
dai calcoli che axpgn ha scritto si vede che la distanza minima si ha quando la prima macchina ha superato l'incrocio, e in particolare quando la distanza dall'origine è, in valore assoluto, uguale per i due corpi. Ragionando sulla questione, inoltre, potevi a priori dire che sarebbe stato tutto in un istante "post-incrocio". Pensa al triangolo rettangolo "mobile", con vertici nelle due auto e nell'incrocio. L'ipotenusa è la distanza. Mano a mano che le macchine si avvicinavano all'incrocio l'ipotenusa diminuiva fino a coincidere, quando la prima toccava l'incrocio, con il cateto. Negli istanti immediatamente successivi la distanza non poteva che essere minore perché veniva a crearsi un nuovo triangolo rettangolo, con ipotenusa necessariamente minore del segmento-distanza precedente. Comunque, a parte le cose (magari cervellotiche) che ho scritto, la spiegazione di Alex è chiarissima, grazie
Grazie a entrambi.
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