Esercizio sul moto in due dimensioni
La traccia dell'esercizio è la seguente:
Un motociclista viaggia verso sud per $3 min$ con una velocità di $20 m/s$, successivamente si sposta per $2 min$ verso ovest con una velocità di $25 m/s$ ed infine viaggia a $30 m/s$ per $1 min$ verso nord-ovest. Per questo viaggio di $6 min$ calcolare:
a) Il vettore spostamento del motociclista
b) Il modulo della velocità media
c) Il vettore velocità media
Ho orientato il grafico in modo da avere nord e sud sull'asse delle ordinate ed est e ovest sull'asse delle ascisse.
Il primo punto l'ho risolto in questo modo:
Per ricavare i tre spostamenti fatti dal motociclista ho semplicemente moltiplicato velocità e tempo e quindi:
$s_1=v_1*t_1=20*180=3600 m$
$s_2=v_2*t_2=25*120=3000 m$
$s_3=v_3*t_3=30*60=1800 m$
I rispettivi angoli sono:
$\theta_1=270°$ (Il sud si trova a $-90°$ da est, quindi ho fatto semplicemente $360-90$)
$\theta_2=180°$ (Stessa cosa l'ho fatta per l'ovest, che è opposto all'est e quindi $360-180$)
$\theta_3=135°$
A questo punto ho calcolato $s_(3x)$ e $s_(3y)$ dato che degli altri due spostamenti già si conoscono le componenti(per $s_1$, dato che è sull'asse delle ordinate ed è diretto verso il basso, abbiamo che le sue componenti sono $s_(1x)=0$ e $s_(1y)=-3600m$, mentre per $s_2$, dato che è sull'asse delle ascisse ed è diretto verso sinistra, abbiamo che le sue componenti sono $s_(2x)=-3000m$ e $s_(2y)=0$).
Quindi:
$s_(3x)=s_3*cos\theta=1800*cos(135)=-1272.8m$
$s_(3y)=s_3*cos\theta=1800*sin(135)=1272.8m$
Allora per sapere il modulo del vettore spostamento totale basta fare:
$\vec s_t=(s_(1x)+s_(2x)+s_(3x))*\hat i+(s_(1y)+s_(2y)+s_(3y))*\hat j=(0-3000-1272.8)*\hat i+(-3600+0+1272.8)*\hat j=(-4272.8)\hat i+(-2327.2)\hat j$
Il modulo del vettore sarà:
$|\vec s_t|=sqrt((-4272.8)^2+(-2327.2)^2)=4865.45m$
L'angolo sarà invece:
$\theta_t=arccos((-4272.8)/4865.45)=151°$
Ho risolto bene il primo punto? Non credo di averlo risolto bene, anche perché l'ho fatto ragionando un po' di testa mia.
Al secondo punto, dato che chiede il modulo della velocità media, ho pensato che bastasse fare il modulo dello spostamento totale diviso il tempo impiegato. Cioè:
$|v_m|=|s_t|/(\Delta t)=4865.45/360=13.5m/s$
Arrivato a questo punto non so se è normale che la velocità media sia poi più piccola di tutte le altre velocità.
Il terzo punto chiede il vettore velocità media. Io so soltanto il modulo ma non conosco le componenti, come faccio?
Un motociclista viaggia verso sud per $3 min$ con una velocità di $20 m/s$, successivamente si sposta per $2 min$ verso ovest con una velocità di $25 m/s$ ed infine viaggia a $30 m/s$ per $1 min$ verso nord-ovest. Per questo viaggio di $6 min$ calcolare:
a) Il vettore spostamento del motociclista
b) Il modulo della velocità media
c) Il vettore velocità media
Ho orientato il grafico in modo da avere nord e sud sull'asse delle ordinate ed est e ovest sull'asse delle ascisse.
Il primo punto l'ho risolto in questo modo:
Per ricavare i tre spostamenti fatti dal motociclista ho semplicemente moltiplicato velocità e tempo e quindi:
$s_1=v_1*t_1=20*180=3600 m$
$s_2=v_2*t_2=25*120=3000 m$
$s_3=v_3*t_3=30*60=1800 m$
I rispettivi angoli sono:
$\theta_1=270°$ (Il sud si trova a $-90°$ da est, quindi ho fatto semplicemente $360-90$)
$\theta_2=180°$ (Stessa cosa l'ho fatta per l'ovest, che è opposto all'est e quindi $360-180$)
$\theta_3=135°$
A questo punto ho calcolato $s_(3x)$ e $s_(3y)$ dato che degli altri due spostamenti già si conoscono le componenti(per $s_1$, dato che è sull'asse delle ordinate ed è diretto verso il basso, abbiamo che le sue componenti sono $s_(1x)=0$ e $s_(1y)=-3600m$, mentre per $s_2$, dato che è sull'asse delle ascisse ed è diretto verso sinistra, abbiamo che le sue componenti sono $s_(2x)=-3000m$ e $s_(2y)=0$).
Quindi:
$s_(3x)=s_3*cos\theta=1800*cos(135)=-1272.8m$
$s_(3y)=s_3*cos\theta=1800*sin(135)=1272.8m$
Allora per sapere il modulo del vettore spostamento totale basta fare:
$\vec s_t=(s_(1x)+s_(2x)+s_(3x))*\hat i+(s_(1y)+s_(2y)+s_(3y))*\hat j=(0-3000-1272.8)*\hat i+(-3600+0+1272.8)*\hat j=(-4272.8)\hat i+(-2327.2)\hat j$
Il modulo del vettore sarà:
$|\vec s_t|=sqrt((-4272.8)^2+(-2327.2)^2)=4865.45m$
L'angolo sarà invece:
$\theta_t=arccos((-4272.8)/4865.45)=151°$
Ho risolto bene il primo punto? Non credo di averlo risolto bene, anche perché l'ho fatto ragionando un po' di testa mia.
Al secondo punto, dato che chiede il modulo della velocità media, ho pensato che bastasse fare il modulo dello spostamento totale diviso il tempo impiegato. Cioè:
$|v_m|=|s_t|/(\Delta t)=4865.45/360=13.5m/s$
Arrivato a questo punto non so se è normale che la velocità media sia poi più piccola di tutte le altre velocità.
Il terzo punto chiede il vettore velocità media. Io so soltanto il modulo ma non conosco le componenti, come faccio?
Risposte
"Kernul":
Ho risolto bene il primo punto?
E' tutto giusto tranne il calcolo dell'angolo $\theta_t$. E' una questione un po' sottile. La formula che hai usato (l'arccos) non tiene conto del segno negativo della componente x di $S_t$. Ti consiglio di usare in generale la formula con l'arcotangente
\(\displaystyle \theta_t=\arctan\frac{s_y}{s_x} \) se $s_x>0$
\(\displaystyle \theta_t=\arctan\frac{s_y}{s_x} + 180° \) se $s_x<0$
Nel tuo caso devi usare la seconda, che ti dà 209°.
"Kernul":
Arrivato a questo punto non so se è normale che la velocità media sia poi più piccola di tutte le altre velocità.
Sì, può accadere benissimo. Ricorda che i vettori non sono numeri.
"Kernul":
l terzo punto chiede il vettore velocità media. Io so soltanto il modulo ma non conosco le componenti, come faccio?
bè, il modulo lo hai ricavato da un vettore, non ti pare?
$\vec v_m=\frac{\vec s_t}{\Delta t}$
Quindi significa che la direzione e verso del vettore velocità media è lo stesso del vettore spostamento totale?
Comunque grazie mille per l'aiuto!
Comunque grazie mille per l'aiuto!
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