Esercizio sul moto armonico

[mary98scc]

Sto svolgendo quest'esercizio ,ma sto trovando difficoltà nel calcolo della fase.




Io ho iniziato calcolandomi $\omega= \sqrt{(K/m)}= 5 (rad)/s$ e quindi mi trovo $T= (2\pi)/\omega= 1,26 s $

Poi ho utilizzato la conservazione dell'energia per trovarmi l'ampiezza

$1/2 mV^2= 1/2 Ky^2+mgy$
Risolvendo l'equazione mi trovo $y_(1,2)= (-mg\pm \sqrt{(mg)^2+kmV^2})/k$
con $y_1=0.1012m$ e $y_2=-0.866m$
Poichè il punto medio tra le due coordinate è pari a $y_c = (y_1+y_2)/2= -(mg)/k$, allora l'ampiezza la trovo come $A= y_1-y_c=0.1012+0.3924=0.4936m= 49.4cm$
Fino a qua dovrebbe essere giusto perchè i risultati sono corretti

Ora devo trovarmi la fase $\varphi$.
Io avevo pensato di considerare le leggi
$x(t=0)=A_0 cos(\varphi)$
$v(t=0=-A_0 sin \omega(\varphi)$
e fare il rapporto tra v(0) e X(0) in modo da trovarmi ad avere

$ tan (\varphi) = - (V(0))/(\omega x(0))$

ma facendo i calcoli non mi esce

[mgrau]

Se il tempo zero è quello in cui la molla ha la lunghezza di riposo, cioè siamo nel punto medio dell'oscillazione, la funzione è semplicemente $x(t) = sin(omega t)$ e la fase è zero

[mary98scc]

è un ipotesi che ho fatto io non so se è cosi perchè nella traccia non lo dice. la fase deve uscire $52,6°$

[mgrau]

Già è vero, ho detto una fesseria. Il centro di oscillazione non è quando la molla ha la lunghezza a riposo, ma quando ha la lunghezza che corrisponde al peso dell'oggetto, cioè è allungata di circa 40cm.

[tottomagoog]

Ciao. Per i calcoli pregressi è ininfluente considerare come moto armonico la forma con il coseno o con il seno, ma nel valutare la fase ciò non è vero. Lo stesore cosindera

$y(t)=Asin(\omegat+\phi)$ e quindi

$v(t)=A\omegacos(\omegat+\phi)$ e quindi

$v(0)=A\omegacos(\phi)$ e quindi

$\phi=arccos(v_0/(A\omega))=arccos(1.5/(0.494*5))=52.6°$

[mary98scc]

perchè hai usato la formula con il seno per y(t) e quindi di conseguenza quella con coseno per v(t)??

[tottomagoog]

È indifferente dal punto di vista fisico, tra il seno e il coseno c'è uno sfasamento di 90°. Usando il coseno come hai fatto tu avresti trovato la fase -37,39 ° ed ho solo osservato che sommando 90 si otteneva il risultato da te indicato. Quindi evidentemente chi ha scritto l'esercizio è partito dal seno.