Esercizio sul momento angolare meccanica quantistica

[kaimano1]

salve a tutti.

non capisco come "ruotare" la seguente hamiltoniana del problema:
ho un sistema in cui il momento angolare l=1 ed una base di autostati per $L_z: |+1>,|0>,|-1>$ con i rispettivi autovalori .....
L'hamiltoniana di un momento elettrico di quadrupolo è: $H=\omega_0/h(L_u^2-L_v^2)$.
dove i versori di u e v giacciono nel piano xOz rispettivamente a l'uno a 45° rispetto Ox e l'atro a 45° rispetto Oz.
Devo scrivere H nella base su citata ma non capisco come si deve eseguire questa rotazione finita in modo da esprimere
Lu e Lv in funzione di Lx e Lz.

Ho provato a fare un tentativo......ma come detto sopra non sono convinto; ad ogni modo ho ottenuto
$L_u^2-L_v^2=2L_xL_z$ eseguendo la rotazione attorno l'asse y...

E' un esercizio del Cohen-Tannoudji cap 6 ese 6 pag 768 Vol 1

grazie

[kaimano1]

No.... il tentativo era sbagliato.
Per ottenere Lu nella base di Lz è possibile eseguire la rotazione nel senso: $L_u=R_y^-1L_z R_y$ dove $R_y$ è la rotazione di 45° intorno l'asse y?
Tutto sta in questa operazione di rotazione che non capisco come fare.....

[Sk_Anonymous]

Non essendo specificato il verso della rotazione:

$[hat(L)_u=sqrt2/2hat(L)_x-sqrt2/2hat(L)_z] ^^ [hat(L)_v=sqrt2/2hat(L)_x+sqrt2/2hat(L)_z] rarr$

$rarr [hat(L)_u^2-hat(L)_v^2=(sqrt2/2hat(L)_x-sqrt2/2hat(L)_z)^2-(sqrt2/2hat(L)_x+sqrt2/2hat(L)_z)^2] rarr$

$rarr [hat(L)_u^2-hat(L)_v^2=(1/2hat(L)_x^2+1/2hat(L)_z^2-1/2hat(L)_xhat(L)_z-1/2hat(L)_zhat(L)_x)-(1/2hat(L)_x^2+1/2hat(L)_z^2+1/2hat(L)_xhat(L)_z+1/2hat(L)_zhat(L)_x)] rarr$

$rarr [hat(L)_u^2-hat(L)_v^2=-hat(L)_xhat(L)_z-hat(L)_zhat(L)_x] rarr$

$rarr [hat(L)_u^2-hat(L)_v^2=-2hat(L)_xhat(L)_z-ih/(2pi)hat(L)_y]$

oppure:

$[hat(L)_u=sqrt2/2hat(L)_x+sqrt2/2hat(L)_z] ^^ [hat(L)_v=sqrt2/2hat(L)_x-sqrt2/2hat(L)_z] rarr$

$rarr [hat(L)_u^2-hat(L)_v^2=hat(L)_xhat(L)_z+hat(L)_zhat(L)_x] rarr$

$rarr [hat(L)_u^2-hat(L)_v^2=2hat(L)_xhat(L)_z+ih/(2pi)hat(L)_y]$

Ora, se sostituisci la rappresentazione esplicita degli operatori $[hat(L)_x]$, $[hat(L)_y]$ e $[hat(L)_z]$ nel sottospazio in esame, se non ho sbagliato i conti si tratta delle seguenti matrici $[3xx3]$:

$hat(L)_x=h/(2pi)((0,sqrt2/2,0),(sqrt2/2,0,sqrt2/2),(0,sqrt2/2,0))$

$hat(L)_y=h/(2pi)((0,-isqrt2/2,0),(isqrt2/2,0,-isqrt2/2),(0,isqrt2/2,0))$

$hat(L)_z=h/(2pi)((1,0,0),(0,0,0),(0,0,-1))$

puoi concludere più agevolmente.

[kaimano1]

Innanzitutto ti ringrazio per la delucidazione;
così ad intuito.... il fatto che Lu e Lv giacciono nel piano xOz mi fa pensare che i valori medi nel tempo di L ossia abbiano componenti su Lx e su Lz ma non su Ly ..... o sbaglio? me lo chiedo come sistema di controllo sui calcoli dei valori medi nel tempo delle componenti di L...per capire se sono sensati

grazie ancora