Esercizio sul Lavoro - Problema 45 pag 196 ed. 2010 Giancoli
Ciao,
qualcuno mi saprebbe aiutare con questo problema?
Un ingegnere deve progettare una molla da mettere in fondo alla tromba di un ascensore. Nella sfortunata eventualità di rottura del cavo in corrispondenza di un'altezza h dell'ascensore rispetto alla cima della molla, quale dovrebbe essere la costante elastica di tale molla affinchè i passeggeri si salvino, subendo un'accelerazione massima nel fermarsi non superiore a 5.0g? Assumete che la massa complessiva dell'ascensore e dei passeggeri sia M.
Ciao
Grazie
Luca
qualcuno mi saprebbe aiutare con questo problema?
Un ingegnere deve progettare una molla da mettere in fondo alla tromba di un ascensore. Nella sfortunata eventualità di rottura del cavo in corrispondenza di un'altezza h dell'ascensore rispetto alla cima della molla, quale dovrebbe essere la costante elastica di tale molla affinchè i passeggeri si salvino, subendo un'accelerazione massima nel fermarsi non superiore a 5.0g? Assumete che la massa complessiva dell'ascensore e dei passeggeri sia M.
Ciao
Grazie
Luca
Risposte
Dal regolamento:
1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
Dopo posto le parti degli esercizi da me svolto, ho semplicemente postato il testo del problema perché le mie conclusioni erano errate rispetto alla soluzione proposta dal libro.
Grazie
Saluti
Grazie
Saluti
Scusate il ritardo...
Ecco come ho tentato con scarso successo di svolgere questo esercizio:
Seguendo quell'esercizio ho impostato la seguente equazione:
1/2 mv1^2 + mgy1 = 1/2 mv2^2 + mgy2 + 1/2 ky2^2
Dove:
v1 = velocità iniziale = 0
y1 = altezza iniziale = h
v2 = velocità finale molla compressa = 0
y2 = altezza finale molla compressa = -Y (incognita)
k = incognita
Risolvendo questa equazione ottengo
k = [4mg*(h+y)]/y^2
mentre il risultato del libro è 12Mgh
Penso di aver sbagliato ad impostare l'equazione...
Ecco come ho tentato con scarso successo di svolgere questo esercizio:
Seguendo quell'esercizio ho impostato la seguente equazione:
1/2 mv1^2 + mgy1 = 1/2 mv2^2 + mgy2 + 1/2 ky2^2
Dove:
v1 = velocità iniziale = 0
y1 = altezza iniziale = h
v2 = velocità finale molla compressa = 0
y2 = altezza finale molla compressa = -Y (incognita)
k = incognita
Risolvendo questa equazione ottengo
k = [4mg*(h+y)]/y^2
mentre il risultato del libro è 12Mgh
Penso di aver sbagliato ad impostare l'equazione...
Attenzione al fatto che il punto di equilibrio delle oscillazioni dell'ascensore sulla molla NON è il punto in cui si trova la molla prima di essere raggiunta dall'ascensore; questo è dovuto alla presenza della forza di gravità e la tua equazione ha bisogno quindi di una piccola modifica.
L'equazione rimane comunque in funzione di y e k. Hai bisogno di un'altra equazione, d'altronde non hai imposto che l'accelerazione non superi 5.0 g .
L'equazione rimane comunque in funzione di y e k. Hai bisogno di un'altra equazione, d'altronde non hai imposto che l'accelerazione non superi 5.0 g .
Sto cercando sul libro ma, a meno che me lo sia perso, non trovo riferimenti al punto d'equilibrio diverso da zero.
Ecco il problema principale per cui ho postato è proprio che non ho capito come mettere il limite dei 5.0g.
Ecco il problema principale per cui ho postato è proprio che non ho capito come mettere il limite dei 5.0g.
Saprai che in un moto armonico $ \ddot{x} = - \omega^2 x$. L'accelerazione è massima (in modulo, $ | \ddot{x} | = \omega^2 | \bar{x}|$) alla massima elongazione $ | \bar{x}|$ dell'oscillatore (quindi distanza, dal centro di oscillazione, dell'ascensore nel punto più basso in cui si viene a trovare), dunque vogliamo che $ \omega^2 | \bar{x} | < 5.0 g$, ovvero una disuguaglianza con $y$ e $k$.
Ciao naffin,
ti confermo che questo argomento non viene trattato sul nostro libro.
Si parla di energia potenziale delle molla e della legge di Hooke.
Ti scrivo quanto c'è scritto sul libro
E' per questo che ti dicevo che non sapevo il discorso a cui tu fai riferimento, probabilmente qui non viene utilizzato il moto armonico per la risoluzione dell'esercizio ma tutti discorsi energetici.
Io però proprio non saprei come muovermi da qui in avanti...
Poi in un applicazione per risolvere un esempio introduttivo scrive:
Probabilmente utilizza solo le energie per risolvere l'esercizio, io però non so come muovermi da qui in avanti...
ti confermo che questo argomento non viene trattato sul nostro libro.
Si parla di energia potenziale delle molla e della legge di Hooke.
Ti scrivo quanto c'è scritto sul libro
Per mantenere una molla allungata o compressa di un tratto x rispetto alla sua lunghezza normale (all'equilibrio) si deve applicare una forza Fp che è direttamente proporzionale a x. Cioè:
Fp=kx
dove k è una costante chiamata costante elastica della molla. La molla compressa o allungata esercita una forza Fm nella direzione opposta:
Fm=-kx
Questa forza è spesso chiamata forza di richiamo, poichè la molla esercita la sua forza nella direzione opposta allo spostamento (da cui il segno meno) cioè una forza che tende a farla tornare alla sua lunghezza normale. Legge di Hooke.
E' per questo che ti dicevo che non sapevo il discorso a cui tu fai riferimento, probabilmente qui non viene utilizzato il moto armonico per la risoluzione dell'esercizio ma tutti discorsi energetici.
Io però proprio non saprei come muovermi da qui in avanti...
Poi in un applicazione per risolvere un esempio introduttivo scrive:
Allo scopo di valutare l'energia potenziale di una molla allungata, usiamo la forza media F. Poichè Fp varia linearmente da 0, cioè all'equilibrio, sino a kx quando l'allungamento è x la forza media vale
F=1/2 (0+kx)=1/2 kx
dove x rappresenta l'allungamento finale, il lavoro compiuto è quindi
W=Fx=1/2 (kx) x = 1/2 Kx^2
Quindi l'energia potenziale elastica è proporzionale al quadrato dell'allungamento:
Uel=1/2 Kx^2
Probabilmente utilizza solo le energie per risolvere l'esercizio, io però non so come muovermi da qui in avanti...
L'equazione sull'energia che hai scritto sopra è giusta.
Per introdurre il vincolo richiesto (a<5.0g) si può in effetti aggirare il fatto che il centro d'equilibrio si sposti.
L'accelerazione è massima quando l'ascensore è nel punto più basso, ti risulta questo?
Se sì calcola e ponila minore od uguale a 5g: otterrai una disuguaglianza con k e y che, insieme all'equazione derivante dall'energia, ti fornisce i valori possibili di k per avere quanto richiesto.
Per introdurre il vincolo richiesto (a<5.0g) si può in effetti aggirare il fatto che il centro d'equilibrio si sposti.
L'accelerazione è massima quando l'ascensore è nel punto più basso, ti risulta questo?
Se sì calcola e ponila minore od uguale a 5g: otterrai una disuguaglianza con k e y che, insieme all'equazione derivante dall'energia, ti fornisce i valori possibili di k per avere quanto richiesto.
Nel punto più basso l'accelerazione sarà massima. Ok.
Per calcolarla uso l'equazione di oggetti in caduta libera?
vy^2=vy0^2-2ay(y-y0) -> ay=vy^2/2y -> ay=vy^2/2h
Valuto il caso limite in cui ay=5g da cui
5g=vy^2/2h -> vy^2=10hg
Intendevi dire così? e poi mettere questa velocità nell'equazione sull'energia?
Per calcolarla uso l'equazione di oggetti in caduta libera?
vy^2=vy0^2-2ay(y-y0) -> ay=vy^2/2y -> ay=vy^2/2h
Valuto il caso limite in cui ay=5g da cui
5g=vy^2/2h -> vy^2=10hg
Intendevi dire così? e poi mettere questa velocità nell'equazione sull'energia?
Non ci siamo, l'accelerazione è massima nel punto più basso raggiunto dall'ascensore e in quell'istante esso non è in caduta libera (d'altronde caduta libera equivale ad accelerazione costante pari a g).
Nella prima fase l'ascensore è effettivamente in caduta libera ma dopo viene frenato dalla molla, scrivi l'equazione del moto in quest'ultima fase e prova a concludere come t'ho suggerito.
Nella prima fase l'ascensore è effettivamente in caduta libera ma dopo viene frenato dalla molla, scrivi l'equazione del moto in quest'ultima fase e prova a concludere come t'ho suggerito.
E(Ascensore che tocca la molla)=E(molla compressa)
1/2 mv2^2 + mgy2 + 1/2 ky2^2= 1/2 mv3^2 + mgy3 + 1/2 ky3^2
Dove
v2^2=-2gh (L'ho ricavata dall'equazione di oggetti in caduta libera)
y2=0
v3=0
y3=-Y
Da cui
1/2 kY^2 - mgY + mgh=0
Guarda non sto capendo proprio come devo fare, e sto pure seguendo un esercizio simile...
1/2 mv2^2 + mgy2 + 1/2 ky2^2= 1/2 mv3^2 + mgy3 + 1/2 ky3^2
Dove
v2^2=-2gh (L'ho ricavata dall'equazione di oggetti in caduta libera)
y2=0
v3=0
y3=-Y
Da cui
1/2 kY^2 - mgY + mgh=0
Guarda non sto capendo proprio come devo fare, e sto pure seguendo un esercizio simile...
Per equazione del moto si intende:
$ m \ddot{Y} = -mg - kY $
dove $Y$ è la coordinata verticale dell'ascensore.
Il massimo si ha per $ Y = -y $ (seguendo la tua notazione) ed è $ \ddot{Y}_M = -g +ky/m$
Imponendo $ \ddot{Y}_M \leq 5g $ ottendo $ ky \leq 6 mg $. Inserendo l'uguaglianza nell'equazione dell'energia ottengo $ k = \frac{12 mg}{h} $.
$ m \ddot{Y} = -mg - kY $
dove $Y$ è la coordinata verticale dell'ascensore.
Il massimo si ha per $ Y = -y $ (seguendo la tua notazione) ed è $ \ddot{Y}_M = -g +ky/m$
Imponendo $ \ddot{Y}_M \leq 5g $ ottendo $ ky \leq 6 mg $. Inserendo l'uguaglianza nell'equazione dell'energia ottengo $ k = \frac{12 mg}{h} $.
Così esce ma io comunque non ho capito il passaggio all'equazione del moto, pensavo si potesse risolvere considerando le sole energie. Era questo il suggerimento che intendevi allora...
Aiuto non ci sarei mai arrivato...
L'ho cercata sul libro ma questa equazione di moto non l'ho trovata.
Cosa si intende con questa notazione Y¨?
Quale è l'equazione dell'energia a cui ti riferisci?
Scusami ma mi sono perso...
Aiuto non ci sarei mai arrivato...
L'ho cercata sul libro ma questa equazione di moto non l'ho trovata.
Cosa si intende con questa notazione Y¨?
Quale è l'equazione dell'energia a cui ti riferisci?
Scusami ma mi sono perso...
Le accelerazioni non le trovi nelle equazioni dell'energia ma nelle cosiddette equazioni del moto (F = m a ! ).
Non mi pare di aver scritto qualcosa di strano... a primo membro c'è l'accelerazione e a secondo membro ci sono le due forze agenti...
Per Y intendevo la coordinata dell'ascensore rispetto alla posizione iniziale della molla.
L'equazione dell'energia a cui mi riferisco è una qualsiasi delle due che hai scritto (sono equivalenti).
Non mi pare di aver scritto qualcosa di strano... a primo membro c'è l'accelerazione e a secondo membro ci sono le due forze agenti...
Per Y intendevo la coordinata dell'ascensore rispetto alla posizione iniziale della molla.
L'equazione dell'energia a cui mi riferisco è una qualsiasi delle due che hai scritto (sono equivalenti).
Io ragionerei così ....
L'accelerazione dell'ascensore è massima quando è massima la forza esercitata dalla molla su di esso, il che avviene quando la molla è al massimo della compressione e l'ascensore fermo.
Preso un riferimento orientato verso l'alto e con l'origine nel punto di massima compressione, si ha che $F_\text(risultante) = F_\text(elastica) - M * g$, ma $F_\text(risultante) = M * a = M * 5 * g$ e quindi $F_\text(elastica) = F_\text(risultante) + M * g = 5 * M * g + M * g = 6 * M * g$. Inoltre $F_\text(elastica) = k * x$, da cui l'equazione
$k * x = 6 * M * g$,
con $k$ costante elastica della molla e $x$ compressione massima.
Un'altra equazione che collega $x$ a $k$ è quella che esprime la conservazione dell'energia fra la situazione iniziale (ascensore fermo all'inizio della caduta) e situazione finale (ascensore fermo e molla compre4ssa al massimo).
L'energia iniziale, rispetto al riferimento scelto, è $M * g * (h + x)$ e quella finale $1/2 * k * x^2$. Quindi si ha
$M * g * (h + x) = 1/2 * k * x^2$.
Sostituendo $x$ ricavato dall'altra equazione ($x = (6*M*g)/k$), si ottiene
$M * g * h + M * g *(6*M*g)/k = 1/2 * k * ((6*M*g)/k)^2$
$M * g * h + 6 * (M^2 * g^2)/k = 1/2 * k * 36 *(M^2*g^2)/k^2$
$M * g * h + 6 * (M^2 * g^2)/k = 18 *(M^2*g^2)/k$
$M * g * h = 12 *(M^2*g^2)/k$
$h = 12 *(M*g)/k$
e, infine,
$k = (12 * M * g)/h$.
L'accelerazione dell'ascensore è massima quando è massima la forza esercitata dalla molla su di esso, il che avviene quando la molla è al massimo della compressione e l'ascensore fermo.
Preso un riferimento orientato verso l'alto e con l'origine nel punto di massima compressione, si ha che $F_\text(risultante) = F_\text(elastica) - M * g$, ma $F_\text(risultante) = M * a = M * 5 * g$ e quindi $F_\text(elastica) = F_\text(risultante) + M * g = 5 * M * g + M * g = 6 * M * g$. Inoltre $F_\text(elastica) = k * x$, da cui l'equazione
$k * x = 6 * M * g$,
con $k$ costante elastica della molla e $x$ compressione massima.
Un'altra equazione che collega $x$ a $k$ è quella che esprime la conservazione dell'energia fra la situazione iniziale (ascensore fermo all'inizio della caduta) e situazione finale (ascensore fermo e molla compre4ssa al massimo).
L'energia iniziale, rispetto al riferimento scelto, è $M * g * (h + x)$ e quella finale $1/2 * k * x^2$. Quindi si ha
$M * g * (h + x) = 1/2 * k * x^2$.
Sostituendo $x$ ricavato dall'altra equazione ($x = (6*M*g)/k$), si ottiene
$M * g * h + M * g *(6*M*g)/k = 1/2 * k * ((6*M*g)/k)^2$
$M * g * h + 6 * (M^2 * g^2)/k = 1/2 * k * 36 *(M^2*g^2)/k^2$
$M * g * h + 6 * (M^2 * g^2)/k = 18 *(M^2*g^2)/k$
$M * g * h = 12 *(M^2*g^2)/k$
$h = 12 *(M*g)/k$
e, infine,
$k = (12 * M * g)/h$.
Grazie 1000.
Su questo esercizio ci ho sudato parecchio ma mi rendo conto che il mio approccio tralasciava una marea di rapporti tra le forze e considerazioni. Ora mi è molto chiaro come interpretarlo anche se penso sia meglio per me riguardarmi bene qualche cosuccia e riprenderlo a freddo...
Grazie 1000 a tutti!!!
Su questo esercizio ci ho sudato parecchio ma mi rendo conto che il mio approccio tralasciava una marea di rapporti tra le forze e considerazioni. Ora mi è molto chiaro come interpretarlo anche se penso sia meglio per me riguardarmi bene qualche cosuccia e riprenderlo a freddo...
Grazie 1000 a tutti!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo