Esercizio sul condensatore e dielettrico
C'è un esercizio che mi crea alcuni grattacapi
Partendo dalla prima richiesta ho già dei dubbi.
Ho provato a risolverlo così:
Ho trovato la relazione $epsilon_r(x)=2x+3$ che differenziata dà: $depsilon_r=2dx$
ho poi trovato una capacità infinitesima da integrare in x (distanza) $\int_0^(c_F)dC=\int_3^5(epsilon_0depsilon_rA)/h=\int_0^1(\epsilon_0 2Adx)/h$ (ho chiamato A l'area dell'armatura)
Però non torna.
Partendo dalla prima richiesta ho già dei dubbi.
Ho provato a risolverlo così:
Ho trovato la relazione $epsilon_r(x)=2x+3$ che differenziata dà: $depsilon_r=2dx$
ho poi trovato una capacità infinitesima da integrare in x (distanza) $\int_0^(c_F)dC=\int_3^5(epsilon_0depsilon_rA)/h=\int_0^1(\epsilon_0 2Adx)/h$ (ho chiamato A l'area dell'armatura)
Però non torna.
Risposte
La relazione lineare che scrivi è sbagliata, dovrebbe essere in realtà:
$$ \epsilon_r(x)=\frac{2}{h} x+3 $$
così che $epsilon_r(h) = 5 $ come atteso.
Lo svolgimento non mi quadra. Calcola il campo elettrico nel condensatore in maniera esplicita, dopodiché integra in modo da ottenere l'espressione per la diff di potenziale. Se la dividi per Q, ottieni l'inverso della capacità del condensatore.
Il risultato - in formule - per la capacità dovrebbe essere:
$$
C = \frac{2\epsilon_0 A}{h\log(\frac{5}{3})}
$$
$$ \epsilon_r(x)=\frac{2}{h} x+3 $$
così che $epsilon_r(h) = 5 $ come atteso.
Lo svolgimento non mi quadra. Calcola il campo elettrico nel condensatore in maniera esplicita, dopodiché integra in modo da ottenere l'espressione per la diff di potenziale. Se la dividi per Q, ottieni l'inverso della capacità del condensatore.
Il risultato - in formule - per la capacità dovrebbe essere:
$$
C = \frac{2\epsilon_0 A}{h\log(\frac{5}{3})}
$$
"Lampo1089":
$$ \epsilon_r(x)=\frac{2}{h} x+3 $$
Mi sfugge questa relazione però. Non capisco perché dividerlo per h se faccio correre x tra 0 e 1.
Inoltre per trovare $epsilon_r$ non dovrei semplicemente poiché lineare fare $(epsilon_r(f)-epsilon_r(i))/1$ (ho già usato h=1) che integrata mi dà: $2x+c$ e la condizione al contorno impone c=3
Inoltre sebbene capisca il tuo procedimento non capisco perché il mio sia sbagliato. In teoria dovrebbe funzionare
indipendentemente dalle unità di misura, vuoi che in h valga sia la costante dielettrica relativa sia pari a 5.
Con questa formula è corretto il risultato. Inoltre, la tua formula non è dimensionalmente corretta: hai la somma di due termini disomogenei, il primo un numero puro e il secondo una lunghezza.
Quando fai i conti, devi ricordarti di usare unità di misura del Sistema Internazionale. Quindi, per le lunghezze, tutte espresse in metri.
Il tuo procedimento è sbagliato perché la capacità di condensatori in serie non è pari alla somma della capacità dei condensatori (mi pare che tu voglia fare così). Il realtà, non comprendo comunque appieno l'idea fisica che sta dietro al tuo procedimento
Con questa formula è corretto il risultato. Inoltre, la tua formula non è dimensionalmente corretta: hai la somma di due termini disomogenei, il primo un numero puro e il secondo una lunghezza.
Quando fai i conti, devi ricordarti di usare unità di misura del Sistema Internazionale. Quindi, per le lunghezze, tutte espresse in metri.
Il tuo procedimento è sbagliato perché la capacità di condensatori in serie non è pari alla somma della capacità dei condensatori (mi pare che tu voglia fare così). Il realtà, non comprendo comunque appieno l'idea fisica che sta dietro al tuo procedimento
Volendo si può anche evitare il calcolo del campo elettrico. Scomponi cioé il condensatore in tanti piccoli condensatori in serie di altezza dx, ciascuno con un dielettrico di costante dielettrica $\epsilon_r(x)$.
Puoi scrivere la caduta di potenziale come l'integrale delle differenze di potenziale infinitesime $dV = Q\frac{dx}{A \epsilon_0 \epsilon_r} $ dei vari condensatori:
$$
\Delta V = \int_{0}^{\Delta V} dV = Q \int_{0}^h \frac{1}{A \epsilon_0 \epsilon_r(x)}dx
$$
Risolvi l'integrale e ricavi la C.
------
edit: altro modo, più simile a quanto vorresti fare tu: dato che puoi assimilare il condensatore a tanti condensatori in serie, e che per condensatori in serie vale $\frac{1}{C} =\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n} $, se consideri il "condensatore infinitesimo" di altezza dx posto tra x e x + dx
questo avrebbe capacità pari a $\frac{A \epsilon_0 \epsilon_r(x)}{dx}$
Da cui, integrando l'inverso della capacità
$$\frac{1}{C} = \int_{0}^{h} \frac{dx}{A \epsilon_0 \epsilon_r(x)} $$
e ribaltando ottieni il risultato
Puoi scrivere la caduta di potenziale come l'integrale delle differenze di potenziale infinitesime $dV = Q\frac{dx}{A \epsilon_0 \epsilon_r} $ dei vari condensatori:
$$
\Delta V = \int_{0}^{\Delta V} dV = Q \int_{0}^h \frac{1}{A \epsilon_0 \epsilon_r(x)}dx
$$
Risolvi l'integrale e ricavi la C.
------
edit: altro modo, più simile a quanto vorresti fare tu: dato che puoi assimilare il condensatore a tanti condensatori in serie, e che per condensatori in serie vale $\frac{1}{C} =\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n} $, se consideri il "condensatore infinitesimo" di altezza dx posto tra x e x + dx
questo avrebbe capacità pari a $\frac{A \epsilon_0 \epsilon_r(x)}{dx}$
Da cui, integrando l'inverso della capacità
$$\frac{1}{C} = \int_{0}^{h} \frac{dx}{A \epsilon_0 \epsilon_r(x)} $$
e ribaltando ottieni il risultato
"Lampo1089":
Il tuo procedimento è sbagliato perché la capacità di condensatori in serie non è pari alla somma della capacità dei condensatori (mi pare che tu voglia fare così)
Esatto ho capito il punto e ho letto gli altri metodi.
Grazie mille
Un altro modo per risolvere, che, come calcoli, è lo stesso di quanto già detto, ma fisicamente permette un punto di vista diverso, può essere questo.
Se hai un condensatore piano, con distanza fra la armature $d$, inserendo un dielettrico $epsi_r$ la capacità aumenta di un fattore $epsi_r$, il che si può ottenere, in modo equivalente, riducendo la distanza $d$ a $d/epsi_r$. Cioè, la presenza di un dielettrico ha lo stesso effetto che l'avvicinamento delle armature.
Quindi, se hai più strati di dielettrici diversi, la distanza equivalente finale è la somma delle distanze equivalenti di ogni strato. Nel caso continuo, se la distanza in aria è $h$, ossia $int_0^h dx$, con un dielettrico di $epsi_r(x)$, la distanza equivalente è $int_0^h dx/(epsi_r(x))$
Se hai un condensatore piano, con distanza fra la armature $d$, inserendo un dielettrico $epsi_r$ la capacità aumenta di un fattore $epsi_r$, il che si può ottenere, in modo equivalente, riducendo la distanza $d$ a $d/epsi_r$. Cioè, la presenza di un dielettrico ha lo stesso effetto che l'avvicinamento delle armature.
Quindi, se hai più strati di dielettrici diversi, la distanza equivalente finale è la somma delle distanze equivalenti di ogni strato. Nel caso continuo, se la distanza in aria è $h$, ossia $int_0^h dx$, con un dielettrico di $epsi_r(x)$, la distanza equivalente è $int_0^h dx/(epsi_r(x))$
Ti ringrazio 
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