Esercizio sul centro di massa di un sistema di particelle
L'esercizio è molto semplice. È tratto dall'Halliday. Una mongolfiera di massa M è all'equilibrio. Ad essa è attaccata una corda a cui è aggrappato un uomo di massa m. Se l'uomo sale con una velocità v, io mi trovo che la mongolfiera deve scendere con una velocità (m/M)v.
Il testo invece mi dice che la velocità della mongolfiera è mv/(m+M).
In pratica conta la massa dell'uomo due volte. Per quale arcano motivo?
Il testo invece mi dice che la velocità della mongolfiera è mv/(m+M).
In pratica conta la massa dell'uomo due volte. Per quale arcano motivo?
Risposte
Mi pare che il risultato del libro sia palesemente sbagliato. Se fosse m=M, quel risultato significherebbe che la mongolfiera scende ad una velocità che è la metà di quella dell'uomo, ma è evidente che le due velocità devono essere uguali.
Non è un arcano mistero. È una legge fisica, la conservazione della quantità di moto.
Inizialmente, il sistema costituito dalla mongolfiera con l'uomo appeso (che non si muove rispetto ad essa) è in equilibrio, cioè in quiete in un riferimento inerziale, che abbia per esempio l'origine al suolo e l'asse $z$ orientato verso l'alto.
Quindi inizialmente la quantità di moto del sistema in questo riferimento è zero.IL baricentro è fermo nel riferimento.
E tale deve rimanere, anche quando l'uomo si arrampica sulla fune.
Occorre perciò scrivere la conservazione della quantità di moto del sistema rispetto al riferimento. E mi pare che sia:
$mv - (m+M)v' = 0$
Da cui il risultato : $v' = v*m/(m+M)$
Queste velocità sono rispetto al riferimento assunto. Non si può dire: la velocità è $v$ , se non si precisa rispetto a quale riferimento.
Almeno, così mi sembra.
Inizialmente, il sistema costituito dalla mongolfiera con l'uomo appeso (che non si muove rispetto ad essa) è in equilibrio, cioè in quiete in un riferimento inerziale, che abbia per esempio l'origine al suolo e l'asse $z$ orientato verso l'alto.
Quindi inizialmente la quantità di moto del sistema in questo riferimento è zero.IL baricentro è fermo nel riferimento.
E tale deve rimanere, anche quando l'uomo si arrampica sulla fune.
Occorre perciò scrivere la conservazione della quantità di moto del sistema rispetto al riferimento. E mi pare che sia:
$mv - (m+M)v' = 0$
Da cui il risultato : $v' = v*m/(m+M)$
Queste velocità sono rispetto al riferimento assunto. Non si può dire: la velocità è $v$ , se non si precisa rispetto a quale riferimento.
Almeno, così mi sembra.
mi ero confuso 
.
Io consideravo la mongolfiera e l'uomo come due punti materiali in interazione tra di loro e associavo alla mongolfiera solo la massa M. In realtà la mongolfiera ha massa M+m, perchè anche se l'uomo si sposta sulla fune, sulla mongolfiera agisce sempre anche il peso dell'uomo, attraverso la tensione della corda.
Grazie delle risposte.
.Io consideravo la mongolfiera e l'uomo come due punti materiali in interazione tra di loro e associavo alla mongolfiera solo la massa M. In realtà la mongolfiera ha massa M+m, perchè anche se l'uomo si sposta sulla fune, sulla mongolfiera agisce sempre anche il peso dell'uomo, attraverso la tensione della corda.
Grazie delle risposte.
Anche se la risposta di mathbells è interessante. Effettivamente il centro di massa deve rimanere fermo. Se M = m e v' = v/2 questo non potrebbe rimanere fermo
Non puoi modificare la velocità del centro di massa con sole azioni interne al sistema.. Il centro di massa, se nel riferimento dato è fermo prima dell'arrampicamento, tale deve rimanere anche dopo, qualunque sia il rapporto tra le masse dei due corpi attaccati.
Scusatemi ma non vi seguo 
Se scriviamo le equazioni nel riferimento del terreno, abbiamo una massa m che si muove con velocità \(\displaystyle \vec v_{m} \) (rispetto al
terreno) ed una massa M che si muove con una velocità \(\displaystyle \vec v_{M} \) (rispetto al terreno). Allora la quantità di moto si scrive
\(\displaystyle m\vec v_{m} + M\vec v_{m} \)
Se questa deve essere nulla si ricava
\(\displaystyle \vec v_{M}=-\frac{m}{M}\vec v_{m} \)
Il fatto che l'uomo sia attaccato alla mongolfiera non implica che la massa della mongolfiera diventi M+m. La massa della mongolfiera è sempre M. Altrimenti la massa totale del sistema sarebbe M+2m il che mi sembra assurdo.
Un altro modo per vedere la cosa è scrivere l'espressione della posizione del centro di massa lungo l'asse z
\(\displaystyle Z_{G}=\frac{mz_{m}+Mz_{M}}{m+M} \)
Scriviamo lo spostamento infinitesimo (nel tempo dt) della posizione
\(\displaystyle dZ_{G}=\frac{mdz_{m}+Mdz_{M}}{m+M} \)
Se imponiamo che \(\displaystyle dZ_{G} \) debba essere nullo, si ricava
\(\displaystyle dz_{M}=-\frac{m}{M}dz_{m} \)
e dividendo per dt si ritrova il risultato precedente.
Aspetto conferme/smentite...senno stanotte non ci dormo
Se scriviamo le equazioni nel riferimento del terreno, abbiamo una massa m che si muove con velocità \(\displaystyle \vec v_{m} \) (rispetto al
terreno) ed una massa M che si muove con una velocità \(\displaystyle \vec v_{M} \) (rispetto al terreno). Allora la quantità di moto si scrive
\(\displaystyle m\vec v_{m} + M\vec v_{m} \)
Se questa deve essere nulla si ricava
\(\displaystyle \vec v_{M}=-\frac{m}{M}\vec v_{m} \)
Il fatto che l'uomo sia attaccato alla mongolfiera non implica che la massa della mongolfiera diventi M+m. La massa della mongolfiera è sempre M. Altrimenti la massa totale del sistema sarebbe M+2m il che mi sembra assurdo.
Un altro modo per vedere la cosa è scrivere l'espressione della posizione del centro di massa lungo l'asse z
\(\displaystyle Z_{G}=\frac{mz_{m}+Mz_{M}}{m+M} \)
Scriviamo lo spostamento infinitesimo (nel tempo dt) della posizione
\(\displaystyle dZ_{G}=\frac{mdz_{m}+Mdz_{M}}{m+M} \)
Se imponiamo che \(\displaystyle dZ_{G} \) debba essere nullo, si ricava
\(\displaystyle dz_{M}=-\frac{m}{M}dz_{m} \)
e dividendo per dt si ritrova il risultato precedente.
Aspetto conferme/smentite...senno stanotte non ci dormo
É proprio questo il punto. Il centro di massa deve rimanere fermo. Ma se la mongolfiera ha massa M = m, la sua velocità deve essere per forza -v, altrimenti con un'azione interna al sistema sei riuscito a far spostare il centro di massa, violando il principio di conservazione della quantità di moto. Non è vero che il rapporto tra le masse può essere qualsiasi!
a questo punto credo proprio di aver scritto una castroneria riguardo alla massa M+m associata alla mongolfiera 
Forse avete ragione voi, ma ora non riesco a inquadrare chiaramente il problema....
Io ho ragionato così : c'è una massa totale $(M + m)$ , che scende ( rispetto al riferimento assunto) con una velocità $v'$, perché l'uomo attaccato sale con una velocità $v$ ( sempre rispetto allo stesso riferimento).
Perciò, dovendo rimanere fermo rispetto al riferimento la posizione del baricentro ( su questo siamo tutti d'accordo), mi sembrava che la soluzione del libro fosse corretta.
Se $M = m$ , tutto il sistema ha massa $2m = 2M$, e scende con velocità $v/2$ , mentre l'uomo sale con velocità $v$ perché la sua massa è solo $m$. E il baricentro non si muove.
( Scende e sale sono riferite al riferimento inerziale del suolo).
Penso che così abbia ragionato pure Halliday.
Fatemi capire dove sono in errore. Per adesso non l'ho ancora capito ( capita...)
Ma forse c'è qualcosa che il libro non ha detto, a proposito di moti relativi,assoluti e di trascinamento....Rispetto a chi l'uomo sale con velocità $v$, secondo il libro ? Rispetto al suolo o rispetto alla mongolfiera?
Qui bisogna ragionare bene sui riferimenti, mi sa.
Ma io per stasera chiudo. E ci penso stanotte.
Io ho ragionato così : c'è una massa totale $(M + m)$ , che scende ( rispetto al riferimento assunto) con una velocità $v'$, perché l'uomo attaccato sale con una velocità $v$ ( sempre rispetto allo stesso riferimento).
Perciò, dovendo rimanere fermo rispetto al riferimento la posizione del baricentro ( su questo siamo tutti d'accordo), mi sembrava che la soluzione del libro fosse corretta.
Se $M = m$ , tutto il sistema ha massa $2m = 2M$, e scende con velocità $v/2$ , mentre l'uomo sale con velocità $v$ perché la sua massa è solo $m$. E il baricentro non si muove.
( Scende e sale sono riferite al riferimento inerziale del suolo).
Penso che così abbia ragionato pure Halliday.
Fatemi capire dove sono in errore. Per adesso non l'ho ancora capito ( capita...)
Ma forse c'è qualcosa che il libro non ha detto, a proposito di moti relativi,assoluti e di trascinamento....Rispetto a chi l'uomo sale con velocità $v$, secondo il libro ? Rispetto al suolo o rispetto alla mongolfiera?
Qui bisogna ragionare bene sui riferimenti, mi sa.
Ma io per stasera chiudo. E ci penso stanotte.
"navigatore":
c'è una massa totale (M+m) , che scende ( rispetto al riferimento assunto) con una velocità v′
qui sta l'errore, secondo me. Non è corretto dire che la massa che scende è M+m. Se la mongolfiera scende, si porta dietro solo la sua massa, non anche quella dell'uomo. E' vero che il moto dell'uomo è influenzato da quello della mongolfiera, ma ognuno, nel proprio moto, si porta dietro solo la propria massa. E' fuorviante ragionare in termini di moto relativo, conviene pensare all'uomo ed alla mongolfiera come due punti materiali, ciascuno con la sua massa e con la sua velocità rispetto al suolo e scrivere la quantità di moto totale. Poi è solo algebra. Spero di essere riuscito a spiegarmi chiaramente
No, confermo quello che ho detto, mi spiace. Il sistema è costituito da $m+M$. Le due masse scendono insieme, l'uomo sale rispetto alla mongolfiera, e il cdm rimane fisso. Le masse sono strettamente collegate.
Questo esercizio è analogo, solo che la barca è orizzontale, così ci liberiamo della gravita :
UNa barca lunga $L$ ha la prua a contatto della banchina. La massa della barca è $M$ . All'estremo opposto c'e un uomo seduto di massa $m$ . Ad un certo punto l'uomo si alza e va verso la prua. Di quanto si sposta la barca?
Senza riportare tutti i passaggi, la soluzione è : $x_F = L m/(m+M) $
Noto esplicitamente che "si sposta tutto il sistema $(m+M)$ , non solo la barca.
Ora, dividendo gli spostamenti per lo stesso tempo, si ottengono le velocità : $v_B = V_u m/(m+M)$
Ma è chiaro ora che $V_u$ è la velocità dell'uomo rispetto alla barca, non rispetto alla terraferma.
È questo che l'esercizio di mimmo non ha chiarito, come temevo.
Mimmo, quando si fanno esercizi di Fisica, viene prima la Fisica e poi le formule. La soluzione di Halliday è giusta, ma bisogna intendersi sulle velocità .
Questo esercizio è analogo, solo che la barca è orizzontale, così ci liberiamo della gravita :
UNa barca lunga $L$ ha la prua a contatto della banchina. La massa della barca è $M$ . All'estremo opposto c'e un uomo seduto di massa $m$ . Ad un certo punto l'uomo si alza e va verso la prua. Di quanto si sposta la barca?
Senza riportare tutti i passaggi, la soluzione è : $x_F = L m/(m+M) $
Noto esplicitamente che "si sposta tutto il sistema $(m+M)$ , non solo la barca.
Ora, dividendo gli spostamenti per lo stesso tempo, si ottengono le velocità : $v_B = V_u m/(m+M)$
Ma è chiaro ora che $V_u$ è la velocità dell'uomo rispetto alla barca, non rispetto alla terraferma.
È questo che l'esercizio di mimmo non ha chiarito, come temevo.
Mimmo, quando si fanno esercizi di Fisica, viene prima la Fisica e poi le formule. La soluzione di Halliday è giusta, ma bisogna intendersi sulle velocità .
"navigatore":
Ma è chiaro ora che Vu è la velocità dell'uomo rispetto alla barca, non rispetto alla terraferma.
È questo che l'esercizio di mimmo non ha chiarito, come temevo
E' proprio questo il punto. Se Per v si intende la velocità dell'uomo rispetto alla mongolfiera invece che rispetto al suolo, allora hai perfettamente ragione tu e la soluzione del libro è corretta. Ma sia io che tu, nei nostri post precedenti, abbiamo chiarito esplicitamente che stavamo scrivendo le velocità sempre rispetto al suolo e comunque rispetto ad uno stesso riferimento e non una velocità rispetto al suolo e l'altra rispetto alla mongolfiera. Ti cito:
"navigatore":
Inizialmente, il sistema costituito dalla mongolfiera con l'uomo appeso [...] è in equilibrio [...] in un riferimento inerziale, che abbia per esempio l'origine al suolo
"navigatore":
Queste velocità sono rispetto al riferimento assunto.
"navigatore":
Io ho ragionato così : c'è una massa totale (M+m) , che scende ( rispetto al riferimento assunto) con una velocità v′, perché l'uomo attaccato sale con una velocità v ( sempre rispetto allo stesso riferimento).
Anche io ho detto chiaramente:
"mathbells":
Se scriviamo le equazioni nel riferimento del terreno, abbiamo una massa m che si muove con velocità v⃗ m (rispetto al
terreno) ed una massa M che si muove con una velocità v⃗ M (rispetto al terreno)
Del resto mi sembra anche abbastanza "perverso" da parte del libro intendere una velocità rispetto al suolo e l'altra rispetto alla mongolfiera, a meno che tale ipotesi non venga detta chiaramente, cosa che nel testo dell'esercizio non mi sembra avvenga.
Comunque, l'importante come sempre è che si sia chiarita la soluzione del problema
Mathbells, inutile che mi citi, so bene che cosa ho scritto. Il testo postato da mimmo non era chiaro, e io non ho capito subito che la $v$ era la velocità dell'uomo relativa alla mongolfiera.
Ma non lo hai capito neanche tu, siamo chiari, anzi hai detto che sbagliavo a pensare in termini di velocita relative e assolute....e invece era proprio quello che si doveva pensare.
Non c'è niente di strano ad ammettere di non aver capito qualcosa, non bisogna pensare di essere infallibili.
Ho elaborato l'esempio della barca, ma poi ho trovato proprio l'esercizio della mongolfiera, che riporto :
Chiaramente, la $v$ è relativa alla mongolfiera, invece la velocità che si ricava è quella assoluta del sistema rispetto al suolo.
Perciò, mimmo : prima la Fisica e poi le equazioni. Non hai detto castronerie.
Ma non lo hai capito neanche tu, siamo chiari, anzi hai detto che sbagliavo a pensare in termini di velocita relative e assolute....e invece era proprio quello che si doveva pensare.
Non c'è niente di strano ad ammettere di non aver capito qualcosa, non bisogna pensare di essere infallibili.
Ho elaborato l'esempio della barca, ma poi ho trovato proprio l'esercizio della mongolfiera, che riporto :
Chiaramente, la $v$ è relativa alla mongolfiera, invece la velocità che si ricava è quella assoluta del sistema rispetto al suolo.
Perciò, mimmo : prima la Fisica e poi le equazioni. Non hai detto castronerie.
Scusami navigatore se ti sono sembrato scortese, non era certo mia intenzione Volevo solo dire che il testo dell'esercizio di mimmo, a differenza di quello postato da te qui sopra, non diceva che v fosse relativa alla mongolfiera e quindi mi è venuto naturale interpretarla come relativa al suolo, ed ho cercato la soluzione coerentemente con questa ipotesi, tutto qui 
Ho detto che è fuorviante pensare in termini di moto relativo solo perché, dato quel testo lì, non ce n'era motivo. Ah...non ho mai pensato di essere infallibile, ci mancherebbe altro, senno non stavo su questa terra ma "Al Piano Di Sopra" insieme a Lui
Volevo solo dire che il testo dell'esercizio di mimmo, a differenza di quello postato da te qui sopra, non diceva che v fosse relativa alla mongolfiera e quindi mi è venuto naturale interpretarla come relativa al suolo, ed ho cercato la soluzione coerentemente con questa ipotesi, tutto qui Ho detto che è fuorviante pensare in termini di moto relativo solo perché, dato quel testo lì, non ce n'era motivo. Ah...non ho mai pensato di essere infallibile, ci mancherebbe altro, senno non stavo su questa terra ma "Al Piano Di Sopra" insieme a Lui
Adesso è tutto chiaro. Grazie.
Io avevo capito che la velocità dell'uomo era rispetto al suolo. Invece il testo intendeva la velocità rispetto alla mongolfiera.
La prossima volta devo leggere meglio il testo dell'esercizio
Io avevo capito che la velocità dell'uomo era rispetto al suolo. Invece il testo intendeva la velocità rispetto alla mongolfiera.
La prossima volta devo leggere meglio il testo dell'esercizio
Va bene, va bene, ok a tutti e due. L'importante è capire e capirsi. Ciao.
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