Esercizio sul battimento
Buon pomeriggio 
Avrei il seguente problema che non riesco a risolvere:
Due altoparlanti sono montati su una giostra di raggio 9,01 m. Quando la giostra è ferma, i due altoparlanti producono lo stesso suono alla frequenza di 100,0 Hz. I due altoparlanti sono in posizione diametralmente opposta. La velocità del suono è 343 m/s e la giostra fa un giro ogni 20 s.
Qual'è il battimento rilevato da un ascoltatore quando la giostra è nella posizione mostrata in figura?
Non ho la più pallida idea di come farlo. Avete qualche suggerimento? Grazie
Avrei il seguente problema che non riesco a risolvere:
Due altoparlanti sono montati su una giostra di raggio 9,01 m. Quando la giostra è ferma, i due altoparlanti producono lo stesso suono alla frequenza di 100,0 Hz. I due altoparlanti sono in posizione diametralmente opposta. La velocità del suono è 343 m/s e la giostra fa un giro ogni 20 s.
Qual'è il battimento rilevato da un ascoltatore quando la giostra è nella posizione mostrata in figura?
Non ho la più pallida idea di come farlo. Avete qualche suggerimento? Grazie
Risposte
L'effetto Doppler modifica la frequenza di un suono (e la sua lunghezza d'onda) se la sorgente del suono si muove verso l'ascoltatore.
Calcoliamo la lunghezza d'onda del suono percepito dall'ascoltatore.
Se la sorgente e' ferma, la lunghezza d'onda e'
$\lambda = v_s / f$.
Ma siccome la sorgente che emette si muove, nel tempo $1/f$ la sorgente si e' spostata di $v_e / f$.
La lunghezza d'onda del suono si e' quindi modificata come:
$v_s / f - v_e / f = (v_s - v_e) / f$.
Ora calcoliamo le velocita' dei due altoparlanti.
La circonferenza e' percorsa in un tempo $t_g = 20 s$ quindi la velocita' sara':
$v_a = 2\pi r / t_g$.
Gli altoparlanti si muovono in direzioni opposte quindi in un caso $v_{e1} = v_a$ e nell'altro caso $v_{e2} = -v_a$.
Ora i battimenti.
I battimenti si verificano quando due suoni hanno lunghezze d'onda diverse.
Il battimento si verifica quando le creste delle due onde sono sovrapposte, ovvero quando $n$ creste del suono con lunghezza d'onda piu' lunga hanno la stessa lunghezza di $n+1$ creste dell'altro suono.
Allora mettiamo tutto in formule:
$(n+1) \lambda_1 = n \lambda_2$
$(n+1) (v_s - v_{e1}) / f = n (v_s - v_{e2}) / f $
$(n+1) (v_s - v_a) / f = n (v_s + v_a) / f $
Da cui
$n = (v_s - v_a) / (2 v_a)$
La distanza nello spazio tra due battimenti e' ovviamente $n \lambda_2$ ovvero
$n\lambda_2 = (v_s - v_a) / (2 v_a) (v_s + v_a) / f = (v_s^2 - v_a^2) / (2 v_a f)$
Cio' rappresenta la "lunghezza d'onda" del battimento e quindi la sua frequenza sara' $f_b = v_s / (n \lambda_2)$, ovvero
$ (2 v_a v_s f) / (v_s^2 - v_a^2) $
Ho fatto uno svolgimento molto conciso e servirebbe un disegno per spiegare meglio.
Se c'e' qualche passaggio oscuro, chiedi.
Inoltre ho fatto tacitamente una semplificazione riguardo alla "geometria" del problema.
Riesci a dire qual e' ?
Calcoliamo la lunghezza d'onda del suono percepito dall'ascoltatore.
Se la sorgente e' ferma, la lunghezza d'onda e'
$\lambda = v_s / f$.
Ma siccome la sorgente che emette si muove, nel tempo $1/f$ la sorgente si e' spostata di $v_e / f$.
La lunghezza d'onda del suono si e' quindi modificata come:
$v_s / f - v_e / f = (v_s - v_e) / f$.
Ora calcoliamo le velocita' dei due altoparlanti.
La circonferenza e' percorsa in un tempo $t_g = 20 s$ quindi la velocita' sara':
$v_a = 2\pi r / t_g$.
Gli altoparlanti si muovono in direzioni opposte quindi in un caso $v_{e1} = v_a$ e nell'altro caso $v_{e2} = -v_a$.
Ora i battimenti.
I battimenti si verificano quando due suoni hanno lunghezze d'onda diverse.
Il battimento si verifica quando le creste delle due onde sono sovrapposte, ovvero quando $n$ creste del suono con lunghezza d'onda piu' lunga hanno la stessa lunghezza di $n+1$ creste dell'altro suono.
Allora mettiamo tutto in formule:
$(n+1) \lambda_1 = n \lambda_2$
$(n+1) (v_s - v_{e1}) / f = n (v_s - v_{e2}) / f $
$(n+1) (v_s - v_a) / f = n (v_s + v_a) / f $
Da cui
$n = (v_s - v_a) / (2 v_a)$
La distanza nello spazio tra due battimenti e' ovviamente $n \lambda_2$ ovvero
$n\lambda_2 = (v_s - v_a) / (2 v_a) (v_s + v_a) / f = (v_s^2 - v_a^2) / (2 v_a f)$
Cio' rappresenta la "lunghezza d'onda" del battimento e quindi la sua frequenza sara' $f_b = v_s / (n \lambda_2)$, ovvero
$ (2 v_a v_s f) / (v_s^2 - v_a^2) $
Ho fatto uno svolgimento molto conciso e servirebbe un disegno per spiegare meglio.
Se c'e' qualche passaggio oscuro, chiedi.
Inoltre ho fatto tacitamente una semplificazione riguardo alla "geometria" del problema.
Riesci a dire qual e' ?
Direi che ho compreso i passaggi che ha fatto. Grazie mille!!
Per la semplificazione riguardo alla geometria del problema non saprei. Riguarda la posizione dell'ascoltatore?
Per la semplificazione riguardo alla geometria del problema non saprei. Riguarda la posizione dell'ascoltatore?
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