Esercizio sui sistemi vincolati

Sk_Anonymous
Salve a tutti,sto svolgendo alcuni esercizi di Meccanica Razionale sui sistemi vincolati...in particolare mi sono soffermata sul seguente:

Dato un punto,di massa m soggetto alla sola forze peso,vincolato a muoversi sulla superficie del paraboloide di equazione $x^2/2+y^2/2=z $ trovare la lagrangiana del sistema e le equazioni del moto,studiare gli integrali primi e i punti di equilibrio !

Ora il sistema ha due gradi di libertà...come coordinate lagrangiane posso scegliere (x,y) in modo che le coordinate del punto P sono $ (x,y,x^2/2+y^2/2) $???? oppure devo usare la parametrizzazione di quel paraboloide??? Altrimenti come coordinate lagrangiane che posso usare ???

Risposte
Sk_Anonymous
Perchè, quella che hai scritto non è una parametrizzazione?

Sk_Anonymous
Pensavo che non dovessi usare le coordinate cartesiane !!! Ma quindi va bene ???

Sk_Anonymous
Anche quella è una parametrizzazione. Puoi anche parametrizzare in coordinate polari:

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi):}$

Sk_Anonymous
Quindi se scelgo come coordinate lagrangiane x e y ed utilizzo le coordinate polari,il punto P avrà coordinate $ (\rhocos\phi,\rhosen\phi,\rho^2/2) $...e poi mi scrivo la lagrangiana in termini di $ (\rho,\rho',\phi,\phi') $ ?????

Sk_Anonymous
Meglio dire $L(\rho,\phi,dot\rho,dot\phi).$

Sk_Anonymous
Okey....grazie !!!!!! Una curiosità: m avrei potuto utilizzare anche le coordinate ad esempio cilindriche??? Ti faccio questa domanda,perchè tra gli esercizi, simili a questo, proposti dal mio prof c'è anche quello per il cono...il prof ci ha suggerito di utilizzare sia le coordinate sferiche e sia quelle cilindriche...noi in classe abbiamo risolto quello del pendolo sferico !!!!!!!

Sk_Anonymous
Le ho chiamate polari perchè $z$ non è indipendente, magari qualcuno le chiama cilindriche. In generale, le cilindriche si utilizzano quando la superficie è simmetrica rispetto all'asse $z$, le sferiche quando la superficie è una sfera.

Sk_Anonymous
Mmmm....allora mi sa che ho un problema con il disegno !!!!! Quello non è un paraboloide con il centro nell'origine ???

Sk_Anonymous
Si tratta di una superficie simmetrica rispetto all'asse z.

Sk_Anonymous
:? mmmm....grazie comunque !!!!!!!

Sk_Anonymous
Cosa non ti convince?

Sk_Anonymous
Tu sei stato chiaro :wink: ....non mi convince il mio disegno !!!!!!!

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