Esercizio sui fluidi.
Ciao matematici, potrei chiedervi se potete dare un' occhiata a questo esercizio per vedere se eventualmente l' ho svolto correttamente?
Un barile di acqua può essere approssimato con un cilindro avente raggio di 250 mm e altezza 750 mm.Se in prossimità della base viene praticato un foro del diametro interno di 3.8 mm quanto tempo ci vorrà perché defluisca metà dell' acqua?
La parte superiore del barile è in contatto con l' atmosferica.
La sezione del cilindro:
$ Sc = πR^2 $
La sezione del foro:
$ Sf = πr^2 $
$ v = \sqrt{2gh} $ (velocità uscita dal foro)
$ Q = πr^2\sqrt(2gh) $ (portata nella sezione del foro)
$ V = hπR^2/2 $ (volume metà acqua)
$ t = V/Q = (hπR^2/2) / [πr^2\sqrt{2gh}] $
Quindi il tempo impiegato:
$ t = (\sqrt{h}R^2) / [2r^2\sqrt{2g}] = 1693.34 s = 28 m $
Grazie.
Un barile di acqua può essere approssimato con un cilindro avente raggio di 250 mm e altezza 750 mm.Se in prossimità della base viene praticato un foro del diametro interno di 3.8 mm quanto tempo ci vorrà perché defluisca metà dell' acqua?
La parte superiore del barile è in contatto con l' atmosferica.
La sezione del cilindro:
$ Sc = πR^2 $
La sezione del foro:
$ Sf = πr^2 $
$ v = \sqrt{2gh} $ (velocità uscita dal foro)
$ Q = πr^2\sqrt(2gh) $ (portata nella sezione del foro)
$ V = hπR^2/2 $ (volume metà acqua)
$ t = V/Q = (hπR^2/2) / [πr^2\sqrt{2gh}] $
Quindi il tempo impiegato:
$ t = (\sqrt{h}R^2) / [2r^2\sqrt{2g}] = 1693.34 s = 28 m $
Grazie.
Risposte
La formula di Torricelli per la velocita di efflusso $v = sqrt(2gh)$ va bene quando il carico $h$ sul foro è costante. Qui è variabile con l'altezza del liquido. Più il liquido cala, e minore è la velocità. Il ragionamento è diverso.
Cominciamo dall'equazione di continuità dei serbatoi (in generale) . Dato un serbatoio che contiene un volume di liquido $V$ , e dette $Q_e $ e $Q_u$ rispettivamente la portata entrante e la portata uscente, in un tempo elementare $dt$ la variazione del volume è data da :
$dV = (Q_e - Q_u)dt $ -------(1)
Nel tuo caso il serbatoio è cilindrico, di sezione $A =\pi*R^2$. Metti un asse $z$ verticale verso l'alto, con origine sul fondo, e indica con $z_i$ la quota iniziale del pelo libero, $z_f$ quella finale, inferiore alla prima evidentemente.
Dal foro sul fondo, di area $a = \pir^2$, in un certo istante $t$ la portata che defluisce, funzione del tempo, è data da :
$Q_u(t) = a*sqrt(2gz(t))$ -----(2)
dove $z$ varia nel tempo tra le due quote dette. Se la portata entrante nel serbatoio è nulla, dalla (1) si ricava :
$(dV)/(dt) = A(dz)/(dt) = - a * sqrt(2gz(t)) = -a*sqrt(2g)*z^(1/2) $ ------(3)
percio, separando le variabili : $ dt = -A/(a*sqrt(2g))*z^(-1/2)*dz $-------(4)
e quindi, integrando tra i due istanti $t_1$ e $t_2$ a cui corrispondono i livelli $z_i$ e $z_f$ , si ottiene :
$\Deltat = (2A)/(a*sqrt(2g))( sqrt(z_i) - sqrt(z_f)) $ -------(5)
Se il foro eè proprio sul fondo e vogliamo il tempo per lo svuotamento completo. basta mettere nella(5) $ z_f = 0$ .
e si ottiene : $\Delta t_(tot) = (2Asqrt(z_i))/(asqrt(2g)) = (2Az_i)/(asqrt(2gz_i))$ ------(6)
La (6) dice che il tempo di svuotamento totale è uguale a : $(2 "volte il volume iniziale") / ("portata di deflusso iniziale") $
E questa è la formula di MAriotte.
Cominciamo dall'equazione di continuità dei serbatoi (in generale) . Dato un serbatoio che contiene un volume di liquido $V$ , e dette $Q_e $ e $Q_u$ rispettivamente la portata entrante e la portata uscente, in un tempo elementare $dt$ la variazione del volume è data da :
$dV = (Q_e - Q_u)dt $ -------(1)
Nel tuo caso il serbatoio è cilindrico, di sezione $A =\pi*R^2$. Metti un asse $z$ verticale verso l'alto, con origine sul fondo, e indica con $z_i$ la quota iniziale del pelo libero, $z_f$ quella finale, inferiore alla prima evidentemente.
Dal foro sul fondo, di area $a = \pir^2$, in un certo istante $t$ la portata che defluisce, funzione del tempo, è data da :
$Q_u(t) = a*sqrt(2gz(t))$ -----(2)
dove $z$ varia nel tempo tra le due quote dette. Se la portata entrante nel serbatoio è nulla, dalla (1) si ricava :
$(dV)/(dt) = A(dz)/(dt) = - a * sqrt(2gz(t)) = -a*sqrt(2g)*z^(1/2) $ ------(3)
percio, separando le variabili : $ dt = -A/(a*sqrt(2g))*z^(-1/2)*dz $-------(4)
e quindi, integrando tra i due istanti $t_1$ e $t_2$ a cui corrispondono i livelli $z_i$ e $z_f$ , si ottiene :
$\Deltat = (2A)/(a*sqrt(2g))( sqrt(z_i) - sqrt(z_f)) $ -------(5)
Se il foro eè proprio sul fondo e vogliamo il tempo per lo svuotamento completo. basta mettere nella(5) $ z_f = 0$ .
e si ottiene : $\Delta t_(tot) = (2Asqrt(z_i))/(asqrt(2g)) = (2Az_i)/(asqrt(2gz_i))$ ------(6)
La (6) dice che il tempo di svuotamento totale è uguale a : $(2 "volte il volume iniziale") / ("portata di deflusso iniziale") $
E questa è la formula di MAriotte.
Grazie mille per la risposta.
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