Esercizio sui corpi rigidi
Ciao a tutti, ho bisogno di aiuto per risolvere un esercizio sui corpi rigidi.
Un pallone di massa m = 200 g è schematizzato come una
sfera omogenea con una cavità interna; il raggio esterno misura r2 = 15 cm
mentre il raggio interno `e pari a r1 = 14 cm. Il pallone viene abbandonato da
fermo, con il centro di massa all’altezza h1 = 1.50 m, lungo il tratto AB di
una pista costituita da due piani inclinati collegati da un tratto orizzontale.
Il tratto AB è inclinato di un angolo teta = pi/6 e presenta un coefficiente di
attrito statico μs = 0.45 . Il pallone rotola senza strisciare fino al termine
del tratto AB e successivamente prosegue lungo i tratti BC e CD, privi di
attrito. Si determini:
a) il momento d’inerzia I del pallone;
b) l’accelerazione del centro di massa del pallone nel tratto AB e la velocità del centro di massa del pallone nel punto C, prima che cominci la salita;
c) l’altezza massima h2 raggiunta dal centro di massa lungo il tratto CD;
d) il valore massimo tetamax di inclinazione che potrebbe avere il piano AB per mantenere il puro rotolamento.
Le soluzioni sono
a) I = 2.81 · 10−3 kgm2 ;
b) acm = 3.02m/s2 , v(C) = 4.04m/s ;
c) h2 = 0.981m;
d) tetamax = 0.864 rad .
Mi blocco nella soluzione del punto a, nel senso che non so come trattare la densità nella formula per il calcolo del momento di inerzia...
Grazie a chi saprà rispondermi.
Un pallone di massa m = 200 g è schematizzato come una
sfera omogenea con una cavità interna; il raggio esterno misura r2 = 15 cm
mentre il raggio interno `e pari a r1 = 14 cm. Il pallone viene abbandonato da
fermo, con il centro di massa all’altezza h1 = 1.50 m, lungo il tratto AB di
una pista costituita da due piani inclinati collegati da un tratto orizzontale.
Il tratto AB è inclinato di un angolo teta = pi/6 e presenta un coefficiente di
attrito statico μs = 0.45 . Il pallone rotola senza strisciare fino al termine
del tratto AB e successivamente prosegue lungo i tratti BC e CD, privi di
attrito. Si determini:
a) il momento d’inerzia I del pallone;
b) l’accelerazione del centro di massa del pallone nel tratto AB e la velocità del centro di massa del pallone nel punto C, prima che cominci la salita;
c) l’altezza massima h2 raggiunta dal centro di massa lungo il tratto CD;
d) il valore massimo tetamax di inclinazione che potrebbe avere il piano AB per mantenere il puro rotolamento.
Le soluzioni sono
a) I = 2.81 · 10−3 kgm2 ;
b) acm = 3.02m/s2 , v(C) = 4.04m/s ;
c) h2 = 0.981m;
d) tetamax = 0.864 rad .
Mi blocco nella soluzione del punto a, nel senso che non so come trattare la densità nella formula per il calcolo del momento di inerzia...
Grazie a chi saprà rispondermi.
Risposte
"Cetriolomarino":
Mi blocco nella soluzione del punto a, nel senso che non so come trattare la densità nella formula per il calcolo del momento di inerzia...
La cavità è sferica? Il suo centro è il centro della sfera?
Puoi considerare il tuo oggetto come una sfera uniforme unita ad un'anti-sfera uniforme.
Considerando il corpo rigido dato come un guscio sferico sottile, il momento di inerzia rispetto a un qualsiasi diametro è uguale a :
$I = 2/3 mr^2 $
dove $r$ è un raggio medio tra quello interno e quello esterno. Qui trovi una dimostrazione :
https://scienceworld.wolfram.com/physic ... Shell.html
il valore si può ricavare comunque direttamente mediante un integrale doppio. Guarda anche su wikipedia , a proposito del momento di inerzia della “sfera cava” :
https://it.wikipedia.org/wiki/Lista_dei ... di_inerzia
Nella formula , $m = rhoV $ , essendo $rho$ la densità e il volume $V = 4pir^2*\Deltar$ .
$I = 2/3 mr^2 $
dove $r$ è un raggio medio tra quello interno e quello esterno. Qui trovi una dimostrazione :
https://scienceworld.wolfram.com/physic ... Shell.html
il valore si può ricavare comunque direttamente mediante un integrale doppio. Guarda anche su wikipedia , a proposito del momento di inerzia della “sfera cava” :
https://it.wikipedia.org/wiki/Lista_dei ... di_inerzia
Nella formula , $m = rhoV $ , essendo $rho$ la densità e il volume $V = 4pir^2*\Deltar$ .
Grazie per le risposte!
Se hai tempo potresti dimostrarmelo avendo come informazioni solo i dati del problema e il fatto che I=int(r^2dm)?
Io ho cercato di ricavarmelo sostituendo dm con $rho*dV$, con $rho = m/[(4/3)pi*(r2^3-r1^3)$ $dV = 4pi*r^2$.
Portando ro e 4pi fuori dall'integrale, mi è uscito l'integrale tra r1 e r2 di (r^4).
Detto questo però i conti (ovviamente) non tornano, però non riesco a trovare l'errore.
Spero che si capisca, altrimenti fammi sapere cosa non capisci di quello che ho scritto!
[xdom="Faussone"]@Cetriolomarino Per scrivere le formule bene basta quasi solo metterle tra il simbolo /$, ho parzialmente modificato il tuo messaggio per farti capire, spero sia chiaro. Ulteriori dettagli li trovi nella guida per scrivere le formule che trovi facilmente (c'è anche in link in alto nella barra rossa sulle Regole del forum.[/xdom]
Se hai tempo potresti dimostrarmelo avendo come informazioni solo i dati del problema e il fatto che I=int(r^2dm)?
Io ho cercato di ricavarmelo sostituendo dm con $rho*dV$, con $rho = m/[(4/3)pi*(r2^3-r1^3)$ $dV = 4pi*r^2$.
Portando ro e 4pi fuori dall'integrale, mi è uscito l'integrale tra r1 e r2 di (r^4).
Detto questo però i conti (ovviamente) non tornano, però non riesco a trovare l'errore.
Spero che si capisca, altrimenti fammi sapere cosa non capisci di quello che ho scritto!
[xdom="Faussone"]@Cetriolomarino Per scrivere le formule bene basta quasi solo metterle tra il simbolo /$, ho parzialmente modificato il tuo messaggio per farti capire, spero sia chiaro. Ulteriori dettagli li trovi nella guida per scrivere le formule che trovi facilmente (c'è anche in link in alto nella barra rossa sulle Regole del forum.[/xdom]
"Cetriolomarino":
a) $I = 2.81\times 10^{−3}\text{kg}\ \text{m}^2$
Facendo come dico io ottengo questo risultato.
@ghira : è ovvio che con la tua formula ottieni quel valore. Sarebbe assurdo il contrario.
Ma credo che sia più istruttivo dare all’ OP qualche indicazione in più. E visto che di questo argomento si è parlato qui tante volte in passato, e che non ho voglia di imbarcarmi in calcolo di integrali, mi limito a dare a @cetriolomarino qualche link, in particolare a un thread in questo stesso forum ( ce ne sono altri) :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 92#p475911
e a quest’altro che ho trovato sul web :
http://www.matematicaescuola.it/materia ... ferico.htm
da notare, nel primo thread, le risposte di Kinder e di enr87 . Vista la simmetria sferica del guscio sferico, conviene ricorrere a coordinate polari per gli angoli.
Ho trovato anche questi appunti, fatti bene :
http://www.giovannibachelet.it/FG1-14-1 ... lo_etc.pdf
In questi link, si considera la densità superficiale, giustamente, e non quella di volume, poiché non si deve integrare rispetto al raggio. Dico questo a rettifica del mio primo post.
Saluti.
Ma credo che sia più istruttivo dare all’ OP qualche indicazione in più. E visto che di questo argomento si è parlato qui tante volte in passato, e che non ho voglia di imbarcarmi in calcolo di integrali, mi limito a dare a @cetriolomarino qualche link, in particolare a un thread in questo stesso forum ( ce ne sono altri) :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 92#p475911
e a quest’altro che ho trovato sul web :
http://www.matematicaescuola.it/materia ... ferico.htm
da notare, nel primo thread, le risposte di Kinder e di enr87 . Vista la simmetria sferica del guscio sferico, conviene ricorrere a coordinate polari per gli angoli.
Ho trovato anche questi appunti, fatti bene :
http://www.giovannibachelet.it/FG1-14-1 ... lo_etc.pdf
In questi link, si considera la densità superficiale, giustamente, e non quella di volume, poiché non si deve integrare rispetto al raggio. Dico questo a rettifica del mio primo post.
Saluti.
"Shackle":
@ghira : è ovvio che con la tua formula ottieni quel valore. Sarebbe assurdo il contrario.
Ero dubbioso sull'idea di 1cm come "sottile" ma non sembrava impossible. Quindi ho voluto verificare, tutto qui.
Non ho integrato niente, lo ammetto, ho usato tranquillamente $\frac{2}{5}mr^2$. Tanto, il compito non è mio.
ho usato tranquillamente $\frac{2}{5}mr^2$. Tanto, il compito non è mio.
Sei proprio un simpaticone che dà volentieri una mano ai colleghi !
(Ogni tanto mi piace anche scherzare eh!)
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