Esercizio su un condensatore
Buongiorno a tutti,
vorrei un parere sulla mia proposta di soluzione per questo esercizio:
"La differenza di potenziale fra le armature di un condensatore piano è $175 V$. Un protone e un elettrone sono lasciati liberi di muoversi un un punto equidistante dalle due armature. L'elettrone è inizialmente fermo, mentre il protone ha una velocità iniziale diretta verso l'armatura negativa e perpendicolare a essa. Le due particelle raggiungono le armature nello stesso istante.
Ignorando l'attrazione fra le due particelle, si calcoli la velocità iniziale del protone."
Ho ragionato nel seguente modo: il campo elettrico all'interno del condensatore è uniforme ed è diretto dall'armatura positiva a quella negativa, pertanto il moto dell'elettrone sarà decelerato e quello del protone accelerato. Pertanto ho scritto le due leggi orarie:
$\frac{d}{2}=-\frac{1}{2}a_1t^2,$
$\frac{d}{2}=v_0t+\frac{1}{2}a_2t^2,$
dove con $a_1$ e $a_2$ ho indicato rispettivamente l'accelerazione dell'elettrone e del protone.
Tenendo conto del fatto che il campo elettrico si può esprimere come rapporto fra la differenza di potenziale e la distanza fra le due armature, ho scritto $a_1=\frac{F}{m_e}=\frac{E(-e)}{m_e}=\frac{\Delta V(-e)}{dm_e}$. Dopodiché ho sostituito nella legge oraria ottenendo
$\frac{d}{2}=-\frac{1}{2}\frac{\Delta V(-e)}{dm_e}t^2\Rightarrow d=\frac{\Delta Ve}{dm_e}t^2,$
da cui poi ricavo $t=\sqrt{\frac{d^2m_e}{\Delta Ve}}$.
Infine, ho scritto l'accelerazione del protone allo stesso modo di quanto fatto sopra e sostituito nella legge oraria del protone:
$\frac{d}{2}=v_0\sqrt{\frac{d^2m_e}{\Delta Ve}}+\frac{1}{2}\frac{\Delta V e}{dm_p}\frac{d^2m_e}{\Delta V e}\Rightarrow \frac{d}{2}=v_0sqrt{\frac{d^2m_e}{\Delta Ve}}+\frac{1}{2}\frac{m_e}{m_p}.$
Quindi
$v_0=\frac{\frac{d}{2}\left(1-\frac{m_e}{m_p}\right)}{d\sqrt{\frac{m_e}{\Delta Ve}}}\Rightarrow v_0=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{m_e}{m_p}\right)}{\sqrt{\frac{m_e}{\Delta Ve}}}.$
E' corretta oppure c'è qualche considerazione sbagliata.
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
vorrei un parere sulla mia proposta di soluzione per questo esercizio:
"La differenza di potenziale fra le armature di un condensatore piano è $175 V$. Un protone e un elettrone sono lasciati liberi di muoversi un un punto equidistante dalle due armature. L'elettrone è inizialmente fermo, mentre il protone ha una velocità iniziale diretta verso l'armatura negativa e perpendicolare a essa. Le due particelle raggiungono le armature nello stesso istante.
Ignorando l'attrazione fra le due particelle, si calcoli la velocità iniziale del protone."
Ho ragionato nel seguente modo: il campo elettrico all'interno del condensatore è uniforme ed è diretto dall'armatura positiva a quella negativa, pertanto il moto dell'elettrone sarà decelerato e quello del protone accelerato. Pertanto ho scritto le due leggi orarie:
$\frac{d}{2}=-\frac{1}{2}a_1t^2,$
$\frac{d}{2}=v_0t+\frac{1}{2}a_2t^2,$
dove con $a_1$ e $a_2$ ho indicato rispettivamente l'accelerazione dell'elettrone e del protone.
Tenendo conto del fatto che il campo elettrico si può esprimere come rapporto fra la differenza di potenziale e la distanza fra le due armature, ho scritto $a_1=\frac{F}{m_e}=\frac{E(-e)}{m_e}=\frac{\Delta V(-e)}{dm_e}$. Dopodiché ho sostituito nella legge oraria ottenendo
$\frac{d}{2}=-\frac{1}{2}\frac{\Delta V(-e)}{dm_e}t^2\Rightarrow d=\frac{\Delta Ve}{dm_e}t^2,$
da cui poi ricavo $t=\sqrt{\frac{d^2m_e}{\Delta Ve}}$.
Infine, ho scritto l'accelerazione del protone allo stesso modo di quanto fatto sopra e sostituito nella legge oraria del protone:
$\frac{d}{2}=v_0\sqrt{\frac{d^2m_e}{\Delta Ve}}+\frac{1}{2}\frac{\Delta V e}{dm_p}\frac{d^2m_e}{\Delta V e}\Rightarrow \frac{d}{2}=v_0sqrt{\frac{d^2m_e}{\Delta Ve}}+\frac{1}{2}\frac{m_e}{m_p}.$
Quindi
$v_0=\frac{\frac{d}{2}\left(1-\frac{m_e}{m_p}\right)}{d\sqrt{\frac{m_e}{\Delta Ve}}}\Rightarrow v_0=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{m_e}{m_p}\right)}{\sqrt{\frac{m_e}{\Delta Ve}}}.$
E' corretta oppure c'è qualche considerazione sbagliata.
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
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