Esercizio su un circuito con resistenze e condensatori
Salve, avrei un dubbio su questo circuito:
Non posso ridurre le due resistenze ad un'unica equivalente perchè c'è un nodo? La costante di tempo quali resistenze riguarda?
La corrente che attraversa $R2$ è la stessa che attraversa il condensatore? Cioè, la corrente $i$, quando arriva al nodo, si divide in un'altra corrente, che attraversa sia $R2$ sia il condensatore, o in 2 correnti diverse?
Come fareste il primo punto?
Non posso ridurre le due resistenze ad un'unica equivalente perchè c'è un nodo? La costante di tempo quali resistenze riguarda?
La corrente che attraversa $R2$ è la stessa che attraversa il condensatore? Cioè, la corrente $i$, quando arriva al nodo, si divide in un'altra corrente, che attraversa sia $R2$ sia il condensatore, o in 2 correnti diverse?
Come fareste il primo punto?
Risposte
Io farei così : la corrente massima nei resistori si avrà allo spunto, cioè quando la batteria viene collegata al circuito ; prima che il condensatore inizi a caricarsi avremo che la corrente che scorre nelle 2 resistenze ( al momento le considero in serie ) sarà : $ i = (12V)/(R_1+R_2 ) <= 10^(-3) $ da cui $ R_1+R_2 >= 12000 Ohm $ scelgo il valore limite inferiore cioè : $ R_1+R_2 =12000 Ohm $.
Costante di tempo del circuito $ tau $ è fissata in $ 10^(-6) s $ .
Ma $tau = R_(eq)*C $ .Inoltre $R_(eq)$ è la resistenza vista dal condensatore quando il generatore di tensione è cortocircuitato : allora le due resistenze $R_1,R_2 $ sono in parallelo e quindi $R_(eq) = R_1*R_2/(R_1+R_2 )$.
mA $tau= 10^(-6) = (R_1*R_2)/(R_1+R_2)*C $ ;$ R_1+R_2=12000 Ohm; C= 10^(-7) F $ di conseguenza $R_1*R_2= 120000$
Trovo quindi $R_1 , R_2 $ .
N.B. Spero di non essere stato troppo disinvolto nella parte iniziale , allo "spunto "
Edit : tutto da rifare
Costante di tempo del circuito $ tau $ è fissata in $ 10^(-6) s $ .
Ma $tau = R_(eq)*C $ .Inoltre $R_(eq)$ è la resistenza vista dal condensatore quando il generatore di tensione è cortocircuitato : allora le due resistenze $R_1,R_2 $ sono in parallelo e quindi $R_(eq) = R_1*R_2/(R_1+R_2 )$.
mA $tau= 10^(-6) = (R_1*R_2)/(R_1+R_2)*C $ ;$ R_1+R_2=12000 Ohm; C= 10^(-7) F $ di conseguenza $R_1*R_2= 120000$
Trovo quindi $R_1 , R_2 $ .
N.B. Spero di non essere stato troppo disinvolto nella parte iniziale , allo "spunto "
Edit : tutto da rifare
prima che il condensatore inizi a caricarsi avremo che la corrente che scorre nelle 2 resistenze ( al momento le considero in serie ) sarà : $i=(12V)/(R1+R2)$
Non mi torna, quella è la corrente che scorre quando il condensatore è carico, non quando è scarico. Quando il condensatore è completamente scarico, la corrente non scorre su $R_2$ perché $R_2$ viene cortocircuitata all'istante iniziale dal condensatore, quindi all'istante iniziale la corrente scorre solo su $R_1$ con intensità $i=(12V)/(R_1)$.
In che senso viene cortocircuitata? Se il condensatore all'inizio è scarico, che effetti ha sulla/sulle resistenze?
Giustamente dice Vulplasir che essendo all'istante iniziale $v_c(0)=0$ allora poichè $R_2$ è in parallelo a l condensatore anche la resistenza avrà tensione pari a zero ai suoi capi ( è cortocircuitata) e quindi non vi scorre corrente.
Riprendo l'esercizio dall'inizio :
i) Si sa dal testo che $v_c(0)=0 $ e quindi $R_2 $ è cortocircuitato.La corrente che scorre all'inizio in $R_1 =i_1 = (12V)/(R_1) <= 10^(-3) A $ da cui prendendo il valore limite per la corrente ottengo che $R_1= (12V)/(10^(-3) A$= $12000 Ohm = =12kOhm $.
Sfrutto ora il fatto che la costante di tempo del circuito $tau = 10^(-6) s $ .
Per ragioni già spiegate $R_(eq) $ vista dal condensatore è pari al parallelo di $R_1, R_2 = R_1*R_2/(R_1+R_2) = 12*10^(3)*R_2 /(12*10^(3)+R_2) $ e $tau = R_(eq) * 10^(-7)$.
In conclusione $R_2 = 10 Ohm $
i) Si sa dal testo che $v_c(0)=0 $ e quindi $R_2 $ è cortocircuitato.La corrente che scorre all'inizio in $R_1 =i_1 = (12V)/(R_1) <= 10^(-3) A $ da cui prendendo il valore limite per la corrente ottengo che $R_1= (12V)/(10^(-3) A$= $12000 Ohm = =12kOhm $.
Sfrutto ora il fatto che la costante di tempo del circuito $tau = 10^(-6) s $ .
Per ragioni già spiegate $R_(eq) $ vista dal condensatore è pari al parallelo di $R_1, R_2 = R_1*R_2/(R_1+R_2) = 12*10^(3)*R_2 /(12*10^(3)+R_2) $ e $tau = R_(eq) * 10^(-7)$.
In conclusione $R_2 = 10 Ohm $
ii) Determiniamo il valore finale di tensione a cui si carica il condensatore, sia $v_c(oo) = 12V*(R_2)/(R_1+R_2 )=10 ^(-2)V $.
Questo perché per $t rarr oo $ si ha un partitore di tensione .Il calcolo richiesto è immediato a questo punto.
iii) Per rispondere a questa domanda si considera che $R_2 ; C $ sono in parallelo , quindi per conoscere $i_2$ basterà porre $i_2 =( v_c(t))/(R_2 )$
Per sistemi autonomi come questo si può dimostrare , risolvendo la relativa equazione differenziale del primo ordine non omogenea che la soluzione è : $v_c(t) = [v_c(0)-v_c(oo)]*e^(-t/tau ) +v_c(oo) = 10^(-2)[1-e^(-1000000 t)] V $ da cui
$i_2(t)= 10^(-2)[1-e^(-1000000 t)] /10 = 1-e^(-1000000t) (mA )$
S.E.O.
Questo perché per $t rarr oo $ si ha un partitore di tensione .Il calcolo richiesto è immediato a questo punto.
iii) Per rispondere a questa domanda si considera che $R_2 ; C $ sono in parallelo , quindi per conoscere $i_2$ basterà porre $i_2 =( v_c(t))/(R_2 )$
Per sistemi autonomi come questo si può dimostrare , risolvendo la relativa equazione differenziale del primo ordine non omogenea che la soluzione è : $v_c(t) = [v_c(0)-v_c(oo)]*e^(-t/tau ) +v_c(oo) = 10^(-2)[1-e^(-1000000 t)] V $ da cui
$i_2(t)= 10^(-2)[1-e^(-1000000 t)] /10 = 1-e^(-1000000t) (mA )$
S.E.O.
Cosa è il partitore di tensione? E non ho capito come mai a $t=infty$ i due resistori per il condensatore sono in parallelo, anche se passa la stessa corrente.
**Per $t rarr 00 $ ,cioè a regime dopo un tempo molto lungo e considerando che il generatore di tensione è in continua ( e non in alternata) non passa corrente nel condensatore ma passa tutta e la stessa in $R_1 , R_2 $ che in questa situazione si considerano in serie ed è : $ i_(R_1)=i_(R_2)=V/(R_1+R_2)$ .In situazione a regime il condensatore è un circuito aperto.
Quale sarà la tensione $v_c(oo) $ a cui si sarà caricato il condensatore che è in parallelo con $R_2 $ ? Sarà : $v_c(oo) = V/(R_1+R_2)*R_2 $. Ecco il partitore di tensione che suddivide la tensione $V$ tra i due resistori : la tensione ai capi di $R_1 = V*R_1/(R_1+R_2)$ OK ? E la somma delle due tensioni sui due resistori è proprio $V $ che viene suddivisa , partizionata tra i due resistori.**
Inoltre, il potenziale del condensatore a $t=infty$ non è uguale a $i(R2)*R2$, ma visto che siamo a $t=infty$ $i(R2)=i_max=10^(-3)$?
**Il potenziale del condensatore è sempre uguale a : $ i_(R2) *R_2 $ visto che sono in parallelo .Come puoi verificare dalla formula indicata nei post precedenti la corrente $i_2(t)= 1-e^(-1000000t) $ che per $t rarr oo $ tende proprio al valore di $1mA $.**
**Per $t rarr 00 $ ,cioè a regime dopo un tempo molto lungo e considerando che il generatore di tensione è in continua ( e non in alternata) non passa corrente nel condensatore ma passa tutta e la stessa in $R_1 , R_2 $ che in questa situazione si considerano in serie ed è : $ i_(R_1)=i_(R_2)=V/(R_1+R_2)$ .In situazione a regime il condensatore è un circuito aperto.
Quale sarà la tensione $v_c(oo) $ a cui si sarà caricato il condensatore che è in parallelo con $R_2 $ ? Sarà : $v_c(oo) = V/(R_1+R_2)*R_2 $. Ecco il partitore di tensione che suddivide la tensione $V$ tra i due resistori : la tensione ai capi di $R_1 = V*R_1/(R_1+R_2)$ OK ? E la somma delle due tensioni sui due resistori è proprio $V $ che viene suddivisa , partizionata tra i due resistori.**
Inoltre, il potenziale del condensatore a $t=infty$ non è uguale a $i(R2)*R2$, ma visto che siamo a $t=infty$ $i(R2)=i_max=10^(-3)$?
**Il potenziale del condensatore è sempre uguale a : $ i_(R2) *R_2 $ visto che sono in parallelo .Come puoi verificare dalla formula indicata nei post precedenti la corrente $i_2(t)= 1-e^(-1000000t) $ che per $t rarr oo $ tende proprio al valore di $1mA $.**
Ti ho risposto inserendomi nel tuo stesso testo.
scusate se mi intrometto.. leggendo le risposte che avete dato a questo esercizio c è una cosa che non riesco a capire..
come mai quando il condensatore è carico le due resistenze $R_1$ e $R_2$ viste dal condensatore devono essere considerate in parallelo?
e quindi bisogna scrivere:
$ tau =CR_1*R_2/(R_1+R_2 )$ ??
mi torna infatti (come scritto da Camillo nell ultimo messaggio) che il condensatore è in parallelo con la resistenza $R_2$ e mi torna anche il procedimento utilizzato per calcolare la differenza di potenziale ai capi del condensatore.
considerando però la formula :
$ tau =R_(eq)C$
dove
$R_(eq)$ è la resistenza equivalente del circuito non dovrebbe essere
$R_(eq)= R_1+R_2$
e quindi non dovrei ottenere
$(R_(1)+R_2)*C=tau$
dove è l errore in questo ragionamento?
come mai quando il condensatore è carico le due resistenze $R_1$ e $R_2$ viste dal condensatore devono essere considerate in parallelo?
e quindi bisogna scrivere:
$ tau =CR_1*R_2/(R_1+R_2 )$ ??
mi torna infatti (come scritto da Camillo nell ultimo messaggio) che il condensatore è in parallelo con la resistenza $R_2$ e mi torna anche il procedimento utilizzato per calcolare la differenza di potenziale ai capi del condensatore.
considerando però la formula :
$ tau =R_(eq)C$
dove
$R_(eq)$ è la resistenza equivalente del circuito non dovrebbe essere
$R_(eq)= R_1+R_2$
e quindi non dovrei ottenere
$(R_(1)+R_2)*C=tau$
dove è l errore in questo ragionamento?
Si ha che $tau = R_(eq)*C $ ,però $R_(eq) $ vista da $C $ va calcolata con i generatori spenti : se di corrente va sostituito con un circuito aperto, se di tensione ( come in questo caso ) va sostituito con un corto circuito.
I due resistori, in questa condizione, visti da$ C$ risultano in parallelo.
Il circuito formato da resistori , condensatori e generatori costanti ,di cui si vuole determinare la $R_(eq) $ va ricondotto al suo equivalente di Thevenin formato da $V_t $ , tensione a vuoto e da $R_(eq) $ come viste all'interfaccia col $C $ .
I due resistori, in questa condizione, visti da$ C$ risultano in parallelo.
Il circuito formato da resistori , condensatori e generatori costanti ,di cui si vuole determinare la $R_(eq) $ va ricondotto al suo equivalente di Thevenin formato da $V_t $ , tensione a vuoto e da $R_(eq) $ come viste all'interfaccia col $C $ .
perfetto grazie mille, non applicavo Thevenin adesso ho capito
ma risolvere l'equazione differenziale proprio non vi piace?
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