Esercizio su spinta di Archimede ed equazione di stato dei gas perfetti
Salve a tutti,
sono alle prese con il seguente esercizio:
"Il pallone di una mongolfiera viene riempito con $1,0\cdot10^5mol$ di aria e può sollevare una massa di $850 kg$. La massa molare media dell'aria vale $0,02896{kg}/{mol}$. Durante il funzionamento della mongolfiera, la pressione dell'aria calda vale $1,3\cdot10^5Pa$.
Si calcoli la minima temperatura a cui deve essere scaldata l'aria affinché la mongolfiera possa sollevarsi."
Ho provato a dare una soluzione ma sono certo sia errata.
Innanzitutto ho calcolato la massa dell'aria all'interno della mongolfiera nel seguente modo:
$m_{aria-mongolfiera}=Mn,$
dove $M$ indica la massa molare ed $n$ il numero di moli.
Dopodiché ho fatto ricorso al principio di Archimede per calcolare il volume dell'aria:
$\rho V=m_{aria-mongolfiera}+m_{mongolfiera}\Rightarrow V=\frac{m_{aria-mongolfiera}+m_{mongolfiera}}{\rho}.$
Il volume appena indicato però dovrebbe indicare quello del fluido spostato e non quello dell'aria all'interno della mongolfiera. Giusto?
Non sapendo come procedere, ho comunque provato a utilizzare l'equazione di stato dei gas perfetti per ricavare la temperatura:
$T=\frac{pV}{nR}=\frac{p\left(m_{aria-mongolfiera}+m_{mongolfiera}\right)}{\rhonR}=181 ^(\circ) C.$
Il risultato dovrebbe essere $1,2\cdot10^2 ^(\circ) C$, ma non mi stupisco che il valore finale da me fornito sia errato.
Io credo che nella richiesta sia stato tralasciato qualche dato: la densità dell'aria calda, ad esempio.
Spero che qualcuno di voi sia così gentile da fugare i miei dubbi.
Grazie anticipatamente!
sono alle prese con il seguente esercizio:
"Il pallone di una mongolfiera viene riempito con $1,0\cdot10^5mol$ di aria e può sollevare una massa di $850 kg$. La massa molare media dell'aria vale $0,02896{kg}/{mol}$. Durante il funzionamento della mongolfiera, la pressione dell'aria calda vale $1,3\cdot10^5Pa$.
Si calcoli la minima temperatura a cui deve essere scaldata l'aria affinché la mongolfiera possa sollevarsi."
Ho provato a dare una soluzione ma sono certo sia errata.
Innanzitutto ho calcolato la massa dell'aria all'interno della mongolfiera nel seguente modo:
$m_{aria-mongolfiera}=Mn,$
dove $M$ indica la massa molare ed $n$ il numero di moli.
Dopodiché ho fatto ricorso al principio di Archimede per calcolare il volume dell'aria:
$\rho V=m_{aria-mongolfiera}+m_{mongolfiera}\Rightarrow V=\frac{m_{aria-mongolfiera}+m_{mongolfiera}}{\rho}.$
Il volume appena indicato però dovrebbe indicare quello del fluido spostato e non quello dell'aria all'interno della mongolfiera. Giusto?
Non sapendo come procedere, ho comunque provato a utilizzare l'equazione di stato dei gas perfetti per ricavare la temperatura:
$T=\frac{pV}{nR}=\frac{p\left(m_{aria-mongolfiera}+m_{mongolfiera}\right)}{\rhonR}=181 ^(\circ) C.$
Il risultato dovrebbe essere $1,2\cdot10^2 ^(\circ) C$, ma non mi stupisco che il valore finale da me fornito sia errato.
Io credo che nella richiesta sia stato tralasciato qualche dato: la densità dell'aria calda, ad esempio.
Spero che qualcuno di voi sia così gentile da fugare i miei dubbi.
Grazie anticipatamente!
Risposte
Che cos'è quella $rho$?
E comunque il fluido spostato coincide con volume dell'aria interna: la differenza sarebbe il volume del tessuto e degli ammennicoli vari, che suppongo siano trascurabili.
E mi pare anche un po' strano il risultato proposto: -150 C° ??
E comunque il fluido spostato coincide con volume dell'aria interna: la differenza sarebbe il volume del tessuto e degli ammennicoli vari, che suppongo siano trascurabili.
E mi pare anche un po' strano il risultato proposto: -150 C° ??
Con $rho$ ho indicato la densità dell'aria
Correggo immediatamente l'unità di misura: la temperatura è misurata in gradi centigradi.
Potresti indicarmi in cosa sbaglio?
Correggo immediatamente l'unità di misura: la temperatura è misurata in gradi centigradi.
Potresti indicarmi in cosa sbaglio?
"jakojako":
Con $rho$ ho indicato la densità dell'aria
A quale temperatura? Perchè, come si evince dall'equazione di stato, data la pressione, che assumiamo quella atmosferica, il volume, e quindi la densità, dipendono dalla temperatura.
Non sapendo quale altro valore usare, ho fatto ricorso alla densità dell'aria a temperatura ambiente: $1,29 {kg}/m^3$. Avevo già esposto questo dubbio nel post iniziale: avevo scritto che reputavo la densità dell'aria calda fosse un dato mancante, perché non saprei come ricavarlo altrimenti.
Comunque:
hai il numero di moli e la massa molare: trovi la massa d'aria nella mongolfiera, $M_(a0)$.
ci aggiungi la massa che devi sollevare, 850Kg.
Dal numero di moli, trovi il volume in condizioni standard (0° e 100.000 Pa): $V = (nRT)/p$
Perchè la mongolfiera si sollevi, occorre che il volume $V$ di aria, scaldata, abbia una massa di $M_(a0) - 850$, cioè la massa d'aria deve diminuire di un fattore $k = (M_(a0) - 850)/M_(a0)$, quindi anche la densità deve diminuire dello stesso fattore, ossia il volume (eq. di stato) deve aumentare dello stesso fattore.
Siccome il volume è proporzionale alla temperatura assoluta, anche la temperatura deve aumentare dello stesso fattore quindi $T = kT_0 = k* 273$ (a me però risultano 113 ° e non 120°)
hai il numero di moli e la massa molare: trovi la massa d'aria nella mongolfiera, $M_(a0)$.
ci aggiungi la massa che devi sollevare, 850Kg.
Dal numero di moli, trovi il volume in condizioni standard (0° e 100.000 Pa): $V = (nRT)/p$
Perchè la mongolfiera si sollevi, occorre che il volume $V$ di aria, scaldata, abbia una massa di $M_(a0) - 850$, cioè la massa d'aria deve diminuire di un fattore $k = (M_(a0) - 850)/M_(a0)$, quindi anche la densità deve diminuire dello stesso fattore, ossia il volume (eq. di stato) deve aumentare dello stesso fattore.
Siccome il volume è proporzionale alla temperatura assoluta, anche la temperatura deve aumentare dello stesso fattore quindi $T = kT_0 = k* 273$ (a me però risultano 113 ° e non 120°)
Perdonami se ti disturbo ancora.
Ho seguito il tuo ragionamento, tuttavia non capisco come hai impostato l'equazione $kM_{a0}=M_{a0}-850$. Il primo termine dovrebbe rappresentare la masse del volume di fluido spostato, giusto?
Quindi perché sottrarre la massa della base della mongolfiera?
Ho seguito il tuo ragionamento, tuttavia non capisco come hai impostato l'equazione $kM_{a0}=M_{a0}-850$. Il primo termine dovrebbe rappresentare la masse del volume di fluido spostato, giusto?
Quindi perché sottrarre la massa della base della mongolfiera?
La mongolfiera si solleva quando la sua massa, cioè quella di un volume V di aria calda + 850 Kg , è minore della massa di un volume V di aria fredda
Quella che hai scritto mi sembra una variazione relativa della massa iniziale dell'aria contenuta nella mongolfiera. Ma non mi sembra corretto dal punto di vista formale che la massa vari, perdonami. Stiamo aumentando la temperatura, quindi la densità diminuisce e il volume aumenta. Cioè, mi verrebbe da ragionare in termini di queste grandezze e quindi ricondurmi al principio di Archimede.
Non voglio dubitare di ciò che dici, sia chiaro. Anzi, grazie per aver risposto e per essere disposto a discutere.
Però veramente non vedo un riferimento teorico preciso e non mi risulta chiaro.
Non voglio dubitare di ciò che dici, sia chiaro. Anzi, grazie per aver risposto e per essere disposto a discutere.
Però veramente non vedo un riferimento teorico preciso e non mi risulta chiaro.
Forse ci sono arrivato!
Se scrivessi
$\rhoV=m_{mongolfiera}+\rho_0V$,
dove $\rho$ e $\rho_0$ indicano rispettivamente la densità dell'aria calda e di quella fredda, e ricavassi conseguentemente il volume, allora potrei usarlo nell'equazione di stato dei gas perfetti. Così facendo otterrei come risultato $118^{\circ}C$. Cosa ne dici?
Se scrivessi
$\rhoV=m_{mongolfiera}+\rho_0V$,
dove $\rho$ e $\rho_0$ indicano rispettivamente la densità dell'aria calda e di quella fredda, e ricavassi conseguentemente il volume, allora potrei usarlo nell'equazione di stato dei gas perfetti. Così facendo otterrei come risultato $118^{\circ}C$. Cosa ne dici?
"jakojako":
Stiamo aumentando la temperatura, quindi la densità diminuisce e il volume aumenta.
No, una mongolfiera è aperta; quando scaldi l'aria, il volume aumenta sì, ma l'aria in eccesso esce. La pressione e il volume restano costanti. Non è un pallone stratosferico, chiuso, che parte floscio e si gonfia salendo.
"jakojako":
Forse ci sono arrivato!
Se scrivessi
$\rhoV=m_{mongolfiera}+\rho_0V$,
dove $\rho$ e $\rho_0$ indicano rispettivamente la densità dell'aria calda e di quella fredda, e ricavassi conseguentemente il volume, allora potrei usarlo nell'equazione di stato dei gas perfetti. Così facendo otterrei come risultato $118^{\circ}C$. Cosa ne dici?
Giusto. Ma è quel che ho fatto io, probabilmente con passaggi algebrici diversi. Non è chiaro il risultato diverso...
Il punto è che io quella $\rho_0$ non ce l'ho. Me la sono andata a pescare dalle tabella della densità dell'aria e ho preso un valore ad hoc. Perciò insisto, forse non sarebbe dovuto essere un dato del problema?
"jakojako":
Il punto è che io quella $\rho_0$ non ce l'ho. Me la sono andata a pescare dalle tabella della densità dell'aria e ho preso un valore ad hoc. Perciò insisto, forse non sarebbe dovuto essere un dato del problema?
Se rileggi quel che ti ho scritto, vedi che devi partire da quel valore $k$; questo ti dà anche il rapporto fra la temperatura dell'aria fredda e dell'aria calda. Non hai strettamente bisogno di $rho_0$, salvo il fatto che, se parti da una temperatura iniziale $T_0$ diversa, $kT_0$, la temperatura dell'aria calda, sarà pure diversa. Diciamo che ti dovrebbe dire la temperatura ambiente.
Proverò a rileggere allora! Grazie mille per la disponibilità!
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