Esercizio su punto in moto vario
Ciao a tutti, vi propono il seguente esercizio:
Un punto materiale parte dall'origine al tempo $t = 0$ con velocità iniziale di 2 m/s nel verso delle x negative. Esso è sottoposto ad un'accelerazione non costante $a = kt$ con $k = 0.1 m/s^3$.
Determinare l'istante $t_1$ e la posizione $x_1$ in cui il punto si ferma, l'istante $t_2$ in cui il punto ripassa nell'origine e la velocità $v_2$ in quell'istante, l'espressione generale della velocità media.
Di per sè mi sembra facile come esercizio, solo che sul libro lo risolve usando formule che non mi tornano.
Le formule che IO userei sono:
$x(t) = x_0 +v_0t +1/2a*t^2$ e $v(t) = v_0 + a*t$ in quanto è moto non uniformemente accelerato, mentre il libro nella risoluzione parte subito dicendo
$v = -v_0+(kt^2)/2$ , $x = -v_0t+(kt^3)/6
per quanto riguarda la prima di queste due, non capisco perchè la usi visto che il moto non è uniformemente accelerato, mentre per la seconda non riesco a capire da dove salta fuori quel 6..
Qualcuno di vou può illuminarmi?
Grazie mille in anticipo
Un punto materiale parte dall'origine al tempo $t = 0$ con velocità iniziale di 2 m/s nel verso delle x negative. Esso è sottoposto ad un'accelerazione non costante $a = kt$ con $k = 0.1 m/s^3$.
Determinare l'istante $t_1$ e la posizione $x_1$ in cui il punto si ferma, l'istante $t_2$ in cui il punto ripassa nell'origine e la velocità $v_2$ in quell'istante, l'espressione generale della velocità media.
Di per sè mi sembra facile come esercizio, solo che sul libro lo risolve usando formule che non mi tornano.
Le formule che IO userei sono:
$x(t) = x_0 +v_0t +1/2a*t^2$ e $v(t) = v_0 + a*t$ in quanto è moto non uniformemente accelerato, mentre il libro nella risoluzione parte subito dicendo
$v = -v_0+(kt^2)/2$ , $x = -v_0t+(kt^3)/6
per quanto riguarda la prima di queste due, non capisco perchè la usi visto che il moto non è uniformemente accelerato, mentre per la seconda non riesco a capire da dove salta fuori quel 6..
Qualcuno di vou può illuminarmi?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Allora, come hai detto tu stesso il moto non è uniformemente accelerato quindi le leggi che hai te le devi ricavare da ciò che ti da.
Tu sai che la velocità è la derivata dello spazio e che l'accelerazione è la derivata della velocità.. (tutto rispetto al tempo)
Adesso sai che $a=kt$, l'operazione inversa alla derivata è l'integrale quindi $V =\int k \cdot t dt = k \frac{t^2}{2} + C $ dove $C$, costante di integrazione in questo caso corrisponde a $ - v_0$.
Adesso integrando ancora $x= \int ( -v_0 + k\frac{t^2}{2}) dt$ ottieni la tua formula
Tu sai che la velocità è la derivata dello spazio e che l'accelerazione è la derivata della velocità.. (tutto rispetto al tempo)
Adesso sai che $a=kt$, l'operazione inversa alla derivata è l'integrale quindi $V =\int k \cdot t dt = k \frac{t^2}{2} + C $ dove $C$, costante di integrazione in questo caso corrisponde a $ - v_0$.
Adesso integrando ancora $x= \int ( -v_0 + k\frac{t^2}{2}) dt$ ottieni la tua formula
Fantastico, grazie!
Ho ancora qualche dubbio:
dicevamo che la velocità è la derivata dello spazio e l'accelerazione è la derivata della velocità (rispetto al tempo) in quanto $v = (ds)/dt$ e $a = (dv)/dt$ giusto? Quindi la velocità è l'integrale dell'accelerazione e lo spazio è l'integrale della velocità (rispetto al tempo) se non ho capito male.
Per quanto riguarda i calcoli da fare, non mi è chiaro al 100% il perchè la $C$ costante di integrazione sia $-v_0$. C'è un motivo vero e proprio? A logica il ragionamento non fa una piega, in quanto ragionandoci astrattamente la velocità che un corpo ha è data dalla velocità che ha preso durante l'accelerazione più l'eventuale velocità iniziale che aveva, e questo sarebbe l'unico motivo che mi spingerebbe ad associare a $C$ il valore di $-v_0$..
Riguardo l'integrazione generica:
$int a+b-c*x dx$ si calcola facendo la primitiva di tutte le x, mentre "le altre" (a e b in questo caso) le copio pari pari e aggiungo la x risultando $ = ax+bx+c*(x^2)/2$ e infine aggiungendo $C$, giusto?
ultimo (per ora) dubbio:
nel calcolo dello spazio mediante integrale della velocità, non devo aggiungere $C$?
Scusa le domande che potrebbero sembrare stupide e banali, ma io e la matematica siamo su due mondi distanti anni luce, e per capirla devo essere il più pratico possibile.
Grazie ancora
Ho ancora qualche dubbio:
dicevamo che la velocità è la derivata dello spazio e l'accelerazione è la derivata della velocità (rispetto al tempo) in quanto $v = (ds)/dt$ e $a = (dv)/dt$ giusto? Quindi la velocità è l'integrale dell'accelerazione e lo spazio è l'integrale della velocità (rispetto al tempo) se non ho capito male.
Per quanto riguarda i calcoli da fare, non mi è chiaro al 100% il perchè la $C$ costante di integrazione sia $-v_0$. C'è un motivo vero e proprio? A logica il ragionamento non fa una piega, in quanto ragionandoci astrattamente la velocità che un corpo ha è data dalla velocità che ha preso durante l'accelerazione più l'eventuale velocità iniziale che aveva, e questo sarebbe l'unico motivo che mi spingerebbe ad associare a $C$ il valore di $-v_0$..
Riguardo l'integrazione generica:
$int a+b-c*x dx$ si calcola facendo la primitiva di tutte le x, mentre "le altre" (a e b in questo caso) le copio pari pari e aggiungo la x risultando $ = ax+bx+c*(x^2)/2$ e infine aggiungendo $C$, giusto?
ultimo (per ora) dubbio:
nel calcolo dello spazio mediante integrale della velocità, non devo aggiungere $C$?
Scusa le domande che potrebbero sembrare stupide e banali, ma io e la matematica siamo su due mondi distanti anni luce, e per capirla devo essere il più pratico possibile.
Grazie ancora
Si hai capito bene. Il valore della costante C è una "condizione base", diciamo pure quelle che nei differenziali si chiamano "condizioni al contorno" ma credo che ora poco ti interessino queste cose 
.
Comunque per quanto riguarda derivazione/integrazione sono abbastanza semplici nel moto, ti capiterà al massimo di derivare/integrare $k \cdot x^n$. In questo caso la derivata è data da $k \cdot nx^{n-1}$ e l'integrale da $k \ cdot \frac {x^{n+1}}{n+1}$. Dal momento che l'integrale è generico va sempre aggiunta una costante C, che come detto corrisponde alla condizione al contorno ($x_0$,$v_0$).
Per altro chiedi pure.
.Comunque per quanto riguarda derivazione/integrazione sono abbastanza semplici nel moto, ti capiterà al massimo di derivare/integrare $k \cdot x^n$. In questo caso la derivata è data da $k \cdot nx^{n-1}$ e l'integrale da $k \ cdot \frac {x^{n+1}}{n+1}$. Dal momento che l'integrale è generico va sempre aggiunta una costante C, che come detto corrisponde alla condizione al contorno ($x_0$,$v_0$).
Per altro chiedi pure.
hehehe sarà un problema se dovrò fare integrali più complicati, e temo ce ne saranno andando avanti..
tornando a $x = int -v_0+k*t^2_2 = -v_0*t+k*t^3/6 + C$, la $C$ quindi la "accorpo" al $-v_0*t$?
grazie
tornando a $x = int -v_0+k*t^2_2 = -v_0*t+k*t^3/6 + C$, la $C$ quindi la "accorpo" al $-v_0*t$?
grazie
Non devi accorpare niente 
è $x_0$ è in questo caso.
è $x_0$ è in questo caso.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah ora ho capito!
mitico! grazie mille!
mitico! grazie mille!
Rieccomi qua con un altro problema simile:
Un punto materiale risente, lungo l'asse x positivo, della seguente accelerazione: $ a = 0$ per $ 0 <= x <= x_0$, $a = -k/x^2$ per $x > x_0$. Il punto viene lanciato dall'origine lungo il verso positivo dell'asse con velocità iniziale $v_0$, calcolare in quale posizione il punto si ferma e discutere il risultato.
Seguendo la soluzione che propone il libro, ho che tra $x = 0$ e $x = x_0$ il moto è uniforme, quindi il punto giunge in $x_0$ con velocità $v_0$, ora si tratta di trovare il punto in cui $v_0 = 0$ per vedere dove si ferma.
l'accelerazione suppongo si possa anche scrivere in funzione dello spazio, quindi $a = (dv)/dx$, detto questo integro l'accelerazione per ottenere la formula con la velocità (e qui comincio a non comprendere al 100%):
$v = int_(x_0)^x -k/x^2 dx = k(1/x -1/x_0) = 1/2v^2 - 1/2v_0^2$
non mi tornano i conti dal secondo passaggio in poi.. qui sotto ci sono i miei conti
$int_(x_0)^x -k/x^2 dx = -k * [3/x^3]_(x_0)^x = -k*(3/x^3 - 3/x_0^3)$ e qui mi blocco, con parecchi dubbi anche sul corretto svolgimento dei conti..
Un punto materiale risente, lungo l'asse x positivo, della seguente accelerazione: $ a = 0$ per $ 0 <= x <= x_0$, $a = -k/x^2$ per $x > x_0$. Il punto viene lanciato dall'origine lungo il verso positivo dell'asse con velocità iniziale $v_0$, calcolare in quale posizione il punto si ferma e discutere il risultato.
Seguendo la soluzione che propone il libro, ho che tra $x = 0$ e $x = x_0$ il moto è uniforme, quindi il punto giunge in $x_0$ con velocità $v_0$, ora si tratta di trovare il punto in cui $v_0 = 0$ per vedere dove si ferma.
l'accelerazione suppongo si possa anche scrivere in funzione dello spazio, quindi $a = (dv)/dx$, detto questo integro l'accelerazione per ottenere la formula con la velocità (e qui comincio a non comprendere al 100%):
$v = int_(x_0)^x -k/x^2 dx = k(1/x -1/x_0) = 1/2v^2 - 1/2v_0^2$
non mi tornano i conti dal secondo passaggio in poi.. qui sotto ci sono i miei conti
$int_(x_0)^x -k/x^2 dx = -k * [3/x^3]_(x_0)^x = -k*(3/x^3 - 3/x_0^3)$ e qui mi blocco, con parecchi dubbi anche sul corretto svolgimento dei conti..
"BeNdErR":
l'accelerazione suppongo si possa anche scrivere in funzione dello spazio, quindi $a = (dv)/dx$, detto questo integro l'accelerazione per ottenere la formula con la velocità (e qui comincio a non comprendere al 100%):
E fai bene.. cosa ti fa supporre ciò ?
$a=dv/dt$ e basta.. devi fare una sostituzione.. io metterei al posto di dt, (dal momento che $ v= dx/dt $), $dx/v$.
Prova a fare i conti così.
Io ragionerei in questo modo....
Il lavoro (negativo) fatto sul punto dalla forza frenante è uguale alla variazione di energia cinetica del punto stesso:
$L = 0 - E_(c0) \text { e cioè } L = -1/2 * m * v_0^2$.
Ma
$L = int_(x_0)^(x_f) F * dx = int_(x_0)^(x_f) (m * a) dx = m * int_(x_0)^(x_f) (- k/x^2) dx = m * [k/x]_(x_0)^(x_f) = m * (k/(x_f) - k/x_0)$.
Quindi
$m * (k/(x_f) - k/x_0) = -1/2 * m * v_0^2$,
$k/(x_f) = k/x_0 -1/2 * v_0^2$,
$k/(x_f) = (2 * k - x_0 * v_0^2)/(2 * x_0)$,
$x_f = (2 * k * x_0)/(2 * k - x_0 * v_0^2)$.
Il lavoro (negativo) fatto sul punto dalla forza frenante è uguale alla variazione di energia cinetica del punto stesso:
$L = 0 - E_(c0) \text { e cioè } L = -1/2 * m * v_0^2$.
Ma
$L = int_(x_0)^(x_f) F * dx = int_(x_0)^(x_f) (m * a) dx = m * int_(x_0)^(x_f) (- k/x^2) dx = m * [k/x]_(x_0)^(x_f) = m * (k/(x_f) - k/x_0)$.
Quindi
$m * (k/(x_f) - k/x_0) = -1/2 * m * v_0^2$,
$k/(x_f) = k/x_0 -1/2 * v_0^2$,
$k/(x_f) = (2 * k - x_0 * v_0^2)/(2 * x_0)$,
$x_f = (2 * k * x_0)/(2 * k - x_0 * v_0^2)$.
cioè dici di fare $a = (dv^2)/dx$? Perdona l'ignoranza assoluta, ma come lo integro :O?
$v^2 = int_(x_0)^x -k/x^2$ in questo modo? Mi tornano sempre gli stessi calcoli
$v^2 = int_(x_0)^x -k/x^2$ in questo modo? Mi tornano sempre gli stessi calcoli
In effetti qualcosa non quadra 
Appena posso faccio i conti, intanto lo puoi risolvere anche come proposto da chiaraotta.
Appena posso faccio i conti, intanto lo puoi risolvere anche come proposto da chiaraotta.
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