Esercizio su l'attrito statico

[chrischris]

ciao a tutti,
avrei un dubbio su questo problema:

Una sbarra di massa trascurabile ruota in un piano verticale attorno ad un suo estremo con velocità
angolare costante. Lungo la sbarra può scorrere con attrito un manicotto di massa m=100 g. Calcolare
i valori massimo e minimo della velocità angolare della sbarra affinché il manicotto permanga per
l’intero giro a distanza l=10 cm dall’asse di rotazione (si assuma un valore dell’attrito statico massimo
tra la sbarra e il manicotto pari a As,max=5N).

[tex]\omega_{min} = 0[/tex] e su questo non ho problemi...
il problema è su [tex]\omega_{max}[/tex] vi spiego come ho proceduto:
innanzitutto ci sono 2 posizioni "chiave" ( posizione A: quando la sbarra è fotografata nell'istante in cui si trova verticalmente con il manicotto in alto; posizione B: quando l'asta è in verticale ed il manicotto è sotto il centro di rotazione)
1- considero la posizione A (ed un sistema di riferimento non inerziale solidale con il manicotto)(tale sistema di riferimento è il "classico" ijk):
[tex]F_c - P +/- A_s= 0[/tex] (proiezioni solo su asse j) (dove "c" = centrifuga e "s" =statico)
[tex]+/-[/tex] dato che [tex]A_s[/tex] dipende se[tex]F_c > P[/tex]o meno
scarto [tex]+A_s[/tex] perchè si arriva ad un assurdo
2- [tex]F_c - P - A_s= 0[/tex] quindi [tex]A_s = F - P < A(s,max)[/tex] da cui [tex]\omega^2 > ((P-A(s,max))/(ml)[/tex] da cui [tex]\omega = 24,45 rad/s[/tex]

considero posizione B:
[tex]- P - F_c + A_s = 0 --> \omega^2 = ((A(s)-P))/(ml)[/tex] da cui [tex]\omega = 20 rad/s[/tex]

quindi io avrei messo come risultati: [tex]\omega_{min} = 0[/tex] e [tex]\omega_{max} = 24,45rad/s[/tex]
però i risultati "giusti" sono : [tex]\omega_{min} = 0[/tex] e [tex]\omega_{max}=20 rad/s[/tex]

mi sapreste dire dove sbaglio il ragionamento?
come mai c'è quella scritta rossa? con scritto displaystyle?

grazie

[alle.fabbri]

non è che potresti correggere le formule...?

[chrischris]

quali formule? quelle con la scritta rossa displaystyle? come faccio a correggerle?
se intendi che ho fatto qualche errore, non so dove sta l'errore, dato che penso di averle scritte bene, così poi penso...

[alle.fabbri]

Per modificare c'è il pulsante "modifica" in alto a destra nel riquadro del post. Perchè il compilatore non ti dia errori devi rispettare la sintassi di latex, ti ho corretto la prima formula, quella con \( \omega_{min} \)....guarda qui per ulteriori dettagli sulla sintassi.

[chrischris]

ti ringrazio alle, si impara sempre qualcosa di nuovo (questo "linguaggio" per scrivere cose sul forum)
io dovrei aver corretto le cose...
dove pensate che sbaglio riguardo il problema?

grazie

[chrischris]

ciao ragazzi,
ad essere sincero le vacanze mi hanno fatto dimenticare questo problema... figuriamoci voi
mi sapreste dare una mano?

[Faussone]

Che la velocità angolare minima sia zero mi pare ovvio.
Sulla massima occorre tener presente che la condizione più penalizzante è quando la massa si trova nel punto più basso perché forza centrifuga e peso "spingono" dalla stessa parte.

Lì deve valere:

$A_s-m omega^2 l - mg =0$

[chrischris]

però perchè se considero il punto nel tratto + alto (è il mio caso A-2) analizzato nel mio primo post) ottengo un [tex]\omega_{max}[/tex] più grande?
ovvero io intuitivamente capisco che la massa viene "spinta" di + a muoversi se è in basso, come dici tu, ma come mai se analizzo il caso in cui la massa è in alto, ottengo una velociotà angolare + alta?

[Faussone]

Infatti nel punto più alto ottieni una velocità potenzialmente più alta, ma il punto è che è troppo alta: infatti se poi la sbarra continua a girare a quella velocità angolare quando passa per il punto più basso la forza di attrito non riuscirebbe a bilanciare peso e forza centrifuga. Proprio per quello si deve considerare la situazione di sbarra in basso che è quella più penalizzante!