Esercizio su forze conservati e non conservative
Vorrei risolvere questo esercizio, ma ho esaurito le idee:
Una forza che agisce su una particella che si muove sul piano xy è data da $ vec(F) = (2y hat(i) +x^2hat(j))N $ dove x e y sono espressi in metri. La particella si muove dall'origine alla posizione finale di coordinate x = 5.00 m e y= 5.00 m (vedi figura). Calcolare il lavoro compiuto da $ vec(F) $ lungo (a) OAC, (b) OBC (c) OC. (d) $ vec(F) è conservativa o non conservativa? Spiegare.
Al di là del fatto che guardando l'intero paragrafo a cui fa riferimento l'esercizio non si trova uno straccio di indizio sulla soluzione, io ho provato a risolverlo ricordando che il lavoro è il prodotto scalare del vettore forza con il vettore spostamento. Per il caso a ho applicato a x e y il valore di 5 ottenendo: $ (10hat(i)+25hat(j))cdot (5hat(i)+5hat(j))=10cdot5+25cdot5=50+125=175 $
Peccato che il risultato dato dal libro sia 575.
è evidente che non ho notato qualcosa, chi mi aiuta a vederlo?
Una forza che agisce su una particella che si muove sul piano xy è data da $ vec(F) = (2y hat(i) +x^2hat(j))N $ dove x e y sono espressi in metri. La particella si muove dall'origine alla posizione finale di coordinate x = 5.00 m e y= 5.00 m (vedi figura). Calcolare il lavoro compiuto da $ vec(F) $ lungo (a) OAC, (b) OBC (c) OC. (d) $ vec(F) è conservativa o non conservativa? Spiegare.
Al di là del fatto che guardando l'intero paragrafo a cui fa riferimento l'esercizio non si trova uno straccio di indizio sulla soluzione, io ho provato a risolverlo ricordando che il lavoro è il prodotto scalare del vettore forza con il vettore spostamento. Per il caso a ho applicato a x e y il valore di 5 ottenendo: $ (10hat(i)+25hat(j))cdot (5hat(i)+5hat(j))=10cdot5+25cdot5=50+125=175 $
Peccato che il risultato dato dal libro sia 575.
è evidente che non ho notato qualcosa, chi mi aiuta a vederlo?
Risposte
Scusate mi sono accorto adesso che il risultato che guardavo era relativo allo stesso esercizio del capitolo precedente. Il risultato corretto è 125 che è pari alla sola componente $ hat(j) $ che mi fa sospettare...
Potrei sbagliare ma la vedrei così:
Lavoro lungo OAC
$$L_{OAC} = L_{OA} + L_{AC}$$ $$L_{OA} = \left(0\hat{i} + 25\hat{j}\right)\cdot\left(5\hat{i} + 0\hat{j}\right) = 0$$ $$L_{AC} = \left(10\hat{i} + 25\hat{j}\right)\cdot\left(0\hat{i} + 5\hat{j}\right) = 125J$$
Lavoro lungo OBC
$$L_{OBC} = L_{OB} + L_{BC}$$ $$L_{OB} = \left(10\hat{i} + 0\hat{j}\right)\cdot\left(0\hat{i} + 5\hat{j}\right) = 0$$ $$L_{BC} = \left(10\hat{i} + 25\hat{j}\right)\cdot\left(5\hat{i} + 0\hat{j}\right) = 50J$$
Lavoro lungo OC
$$L_{OC} = \left(10\hat{i} + 25\hat{j}\right)\cdot\left(5\hat{i} + 5\hat{j}\right) = 175J$$
In ogni caso ti consiglio di attendere qualche altro parere perchè non sono sicuro al 100%.
Lavoro lungo OAC
$$L_{OAC} = L_{OA} + L_{AC}$$ $$L_{OA} = \left(0\hat{i} + 25\hat{j}\right)\cdot\left(5\hat{i} + 0\hat{j}\right) = 0$$ $$L_{AC} = \left(10\hat{i} + 25\hat{j}\right)\cdot\left(0\hat{i} + 5\hat{j}\right) = 125J$$
Lavoro lungo OBC
$$L_{OBC} = L_{OB} + L_{BC}$$ $$L_{OB} = \left(10\hat{i} + 0\hat{j}\right)\cdot\left(0\hat{i} + 5\hat{j}\right) = 0$$ $$L_{BC} = \left(10\hat{i} + 25\hat{j}\right)\cdot\left(5\hat{i} + 0\hat{j}\right) = 50J$$
Lavoro lungo OC
$$L_{OC} = \left(10\hat{i} + 25\hat{j}\right)\cdot\left(5\hat{i} + 5\hat{j}\right) = 175J$$
In ogni caso ti consiglio di attendere qualche altro parere perchè non sono sicuro al 100%.
Ho provato a rifarlo ma non mi è venuto, non avevo notato che da AC la forza era calcolata usando x=5, y=5.
Quindi cerco di ricapitolare il ragionamento del solo primo passaggio:
da O ad A abbiamo un vettore spostamento che ha x=5 e y=0 (si muove in orizzontale) poichè il punto finale è x=5 e y=0 la forza che è basata su x e y la calcolo con questi due valori. Il lavoro risulta quindi 0.
da A a C abbiamo un vettore spostamento x=0 e y=5 (si muove in verticale) ma il punto finale questa volta è x=5 e y=5 per cui la forza la calcolo con questi due valori.
Poichè lo spostamento che viene effettuato influenza il lavoro svolto siamo di fronta a froze non conservative
Quindi cerco di ricapitolare il ragionamento del solo primo passaggio:
da O ad A abbiamo un vettore spostamento che ha x=5 e y=0 (si muove in orizzontale) poichè il punto finale è x=5 e y=0 la forza che è basata su x e y la calcolo con questi due valori. Il lavoro risulta quindi 0.
da A a C abbiamo un vettore spostamento x=0 e y=5 (si muove in verticale) ma il punto finale questa volta è x=5 e y=5 per cui la forza la calcolo con questi due valori.
Poichè lo spostamento che viene effettuato influenza il lavoro svolto siamo di fronta a froze non conservative
Ho notato solo ora che per lo spostamento OC il risultato è 66,7 che quindi non torna. a e b invece sono corretti.
Credo di esserci arrivato, grazie ad un altro esercizio.
La forza in oggetto è una forza dinamica, quindi occorre calcolare il lavoro svolto da un forza dinamica ossia:
$ W_"tot" = int_(x_i)^(x_f)F_xdx $
Nel nostro caso abbiamo $ W_"tot" = int_(0)^(5)2ydy+int_(0)^(5)x^2dx=5^2-0^2+1/3cdot5^3-1/3cdot0^3=25+41.bar(6)~=66.7 $
Se questa è la strada giusto allora bisognerebbe fare lo stesso procedimento per le altre due forze e la supposizione fatta da me prima è sbagliata.
Qualcuno riesce a confermare?
La forza in oggetto è una forza dinamica, quindi occorre calcolare il lavoro svolto da un forza dinamica ossia:
$ W_"tot" = int_(x_i)^(x_f)F_xdx $
Nel nostro caso abbiamo $ W_"tot" = int_(0)^(5)2ydy+int_(0)^(5)x^2dx=5^2-0^2+1/3cdot5^3-1/3cdot0^3=25+41.bar(6)~=66.7 $
Se questa è la strada giusto allora bisognerebbe fare lo stesso procedimento per le altre due forze e la supposizione fatta da me prima è sbagliata.
Qualcuno riesce a confermare?
Ah beh probabilmente hai ragione. Io avevo inteso quelle $x, y$ nella forza come le coordinate del punto di arrivo. In effetti non aveva molto senso ma dopotutto l'esercizio poteva anche essere un po' arbitrario... Comunque è molto molto probabile che sia da vedere così come hai scritto tu.
Confermo che va usata la definizione generale di lavoro (quella con l'integrale) .
La soluzione del problema la si trova qui:
Calculate the work done in parallelogram? | Yahoo Answers
Calculate the work done in parallelogram? | Yahoo Answers
E' un thread di quasi due anni fa!
"minomic":
E' un thread di quasi due anni fa!
E' un thread di quasi due anni fa senza soluzione.
"rambodrahmani":
[quote="minomic"]E' un thread di quasi due anni fa!
E' un thread di quasi due anni fa senza soluzione.[/quote]
Beh allora spero che chi aveva postato la domanda non sia rimasto tutto questo tempo ad aspettare...
In ogni caso, questo è pur sempre un esempio di necroposting...
Ciao.
"minomic":
[quote="rambodrahmani"][quote="minomic"]E' un thread di quasi due anni fa!
E' un thread di quasi due anni fa senza soluzione.[/quote]
Beh allora spero che chi aveva postato la domanda non sia rimasto tutto questo tempo ad aspettare...
In ogni caso, questo è pur sempre un esempio di necroposting...
Ciao.[/quote]
Non è questione di necroposting. Si tratta di aumentare/migliorare il contenuto informativo del forum.
Dal punto di vista logico si potrebbe anche eliminare l'intero thread se vogliamo esser proprio fiscali dato che non serve a niente nella sua interezza senza una soluzione alla fine.
È evidente che l'intensità della forza, ovvero il modulo, è variabile in funzione di $x$ e di $y$ , ma anche le singole componenti sono funzioni delle coordinate, e quindi la direzione di $vecF$ , per cui è da praticare la strada indicata da mathbells : integrare il lavoro elementare lungo i vari cammini.
"navigatore":
[...] per cui è da praticare la strada indicata da mathbells : integrare il lavoro elementare lungo i vari cammini.
Ma infatti secondo me la soluzione c'era già. Comunque ovviamente tutti i contributi sono benvenuti!
Ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo