Esercizio su densità lineare di carica
Salve a tutti,
dopo la presentazione veloce in presentazioni vi sottopongo un problema di elettrostatica per il mio esame di fisica 2, dovrebbe essere una cosa semplice ma io non capisco perché la mia soluzione non funziona:
problema:
UN filo di lunghezza 2l, parallelo all'asse x, possiede una carica q distribuita uniformemente su tutta la sua lunghezza. Calcolare il campo elettrostatico E nei punti dell'asse del filo (asse y). Dedurre l'espressione del campo anche per un filo infinitamente lungo e uniformemente carico.
mia soluzione:
[fcd="disegno1"][FIDOCAD]
LI 85 5 85 75 0
LI 50 40 125 40 0
TY 130 35 4 3 0 0 0 * x
TY 85 5 4 3 0 0 0 * y
LI 95 40 95 40 0
LI 95 40 70 40 0
LI 70 40 70 40 0
LI 70 40 95 40 0
LI 70 40 95 40 1
LI 95 40 70 40 2
LI 100 40 90 40 2
TY 100 45 4 3 0 0 2 * +L
TY 65 45 4 3 0 0 2 * -L
TY 95 40 2 2 0 0 2 * dx
LI 95 40 85 25 4
TY 85 25 4 3 0 0 7 * P(0,y)[/fcd]
considero un pezzetto infinitesimo del filo $ dq = lambda * dx $ con $ lambda $ densità lineare di carica
e dunque $ E = 1/(4pi epsilon) int_(2l)^() lambda/r^2 dx $ e prendo $ r = sqrt(y^2 + x^2) $ (r è la distanza da P del pezzetto dx del filo in cui l'ascissa è fissata in questo caso e x è la variabile d'integrazione)
di qui scrivo $ E(0,y) = lambda/(4pi epsilon) int_(2l)^() dx/(y^2 + x^2) $ perché lambda è costante (carico uniformemente) ed integro su tutto il filo (da -L a +L con il campo E orizzontale che si annulla, quindi considero da subito solo sull'asse y) $ = [(1/y)*arctg(x/y)]_(0)^(l) * 2lambda/(4piepsilon) = lambda/(2ypiepsilon) * arctg(l/y) $ che non coincide con la soluzione del libro.
Spero qualcuno mi sappia dire perché questa non va bene..
dopo la presentazione veloce in presentazioni vi sottopongo un problema di elettrostatica per il mio esame di fisica 2, dovrebbe essere una cosa semplice ma io non capisco perché la mia soluzione non funziona:
problema:
UN filo di lunghezza 2l, parallelo all'asse x, possiede una carica q distribuita uniformemente su tutta la sua lunghezza. Calcolare il campo elettrostatico E nei punti dell'asse del filo (asse y). Dedurre l'espressione del campo anche per un filo infinitamente lungo e uniformemente carico.
mia soluzione:
[fcd="disegno1"][FIDOCAD]
LI 85 5 85 75 0
LI 50 40 125 40 0
TY 130 35 4 3 0 0 0 * x
TY 85 5 4 3 0 0 0 * y
LI 95 40 95 40 0
LI 95 40 70 40 0
LI 70 40 70 40 0
LI 70 40 95 40 0
LI 70 40 95 40 1
LI 95 40 70 40 2
LI 100 40 90 40 2
TY 100 45 4 3 0 0 2 * +L
TY 65 45 4 3 0 0 2 * -L
TY 95 40 2 2 0 0 2 * dx
LI 95 40 85 25 4
TY 85 25 4 3 0 0 7 * P(0,y)[/fcd]
considero un pezzetto infinitesimo del filo $ dq = lambda * dx $ con $ lambda $ densità lineare di carica
e dunque $ E = 1/(4pi epsilon) int_(2l)^() lambda/r^2 dx $ e prendo $ r = sqrt(y^2 + x^2) $ (r è la distanza da P del pezzetto dx del filo in cui l'ascissa è fissata in questo caso e x è la variabile d'integrazione)
di qui scrivo $ E(0,y) = lambda/(4pi epsilon) int_(2l)^() dx/(y^2 + x^2) $ perché lambda è costante (carico uniformemente) ed integro su tutto il filo (da -L a +L con il campo E orizzontale che si annulla, quindi considero da subito solo sull'asse y) $ = [(1/y)*arctg(x/y)]_(0)^(l) * 2lambda/(4piepsilon) = lambda/(2ypiepsilon) * arctg(l/y) $ che non coincide con la soluzione del libro.
Spero qualcuno mi sappia dire perché questa non va bene..
Risposte
prima di tutto ,secondo me, si dovrebbe dire quale sia l'ordinata del punto medio del filo
poi,non dimenticare che il campo elettrico è un vettore e quindi il modulo della somma non coincide con la somma dei moduli
poi,non dimenticare che il campo elettrico è un vettore e quindi il modulo della somma non coincide con la somma dei moduli
ho arricchito la descrizione del problema, spero si capisca adesso
ok,allora il filo sta proprio sull'asse x
a questo punto,prendi 2 punti del filo equidistanti dall'origine e un punto dell'asse y,disegna i vettori campo elettrico generati dai 2 punti e vedi un po' se ti viene qualche idea
a questo punto,prendi 2 punti del filo equidistanti dall'origine e un punto dell'asse y,disegna i vettori campo elettrico generati dai 2 punti e vedi un po' se ti viene qualche idea
le componenti x dei vettori del campo elettrico nel punto p si annullano mentre si sommano le componenti dell'y. COme faccio a generalizzare ciò da -L a +L?
prima di tutto,puoi integrare da $0$ a $l$ e moltiplicare tutto per $2$
poi puoi osservare che se il punto del filo ha ascissa $x$,la componente $E_y$ del campo elettrico è $Ecostheta$ con $costheta=y/sqrt(x^2+y^2)$ ed $E$ calcolato con la formula che sai
poi puoi osservare che se il punto del filo ha ascissa $x$,la componente $E_y$ del campo elettrico è $Ecostheta$ con $costheta=y/sqrt(x^2+y^2)$ ed $E$ calcolato con la formula che sai
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