Esercizio su corpo rigido (sbarra verticale su piano orizzontale senza attrito)
Salve, sono nuovo sul forum e vorrei chiedere a voi questa difficoltà che ho riscontrato in questo caso di corpo rigido.
Mi trovo nella situazione di una sbarra di massa M e lunghezza L posta verticalmente su un piano orizzontale senza attrito (per cui il caso più impossibile secondo il quale il Centro di Massa cade verticalmente). Ad un tratto si sbliancia e cade con l' azione della forza di gravità verso destra in modo da descrivere un angolo da % pi/2 a %0 . Il centro di massa compie un moto verticale lungo la normale al piano passante per il cm mentre il piano offre una reazione vincolare alla sbarra nel punto di estremità che si sposta lateralmente verso sinistra man mano che cade. Mi servirebbe analizzare la velocità angolare della sbarra prima di cadere sul pavimento.
Ho pensato di partire dalla seconda equazione cardinale del momento e poi con il teorema energia lavoro.
L' energia cinetica rotazionale della sbarra come posso scriverla? mi è sorto un dubbio perchè ho pensato il moto rotazionale attorno al CM della sbarra e quindi l' energia è data da
$ K $ = $ 1/2MVcm+1/2 Icmomega^2 $ (ovvero energia di traslazione del cm + rotazionale rispetto al cm)
Nel caso in cui volessi considerare come polo quello dove agisce il vincolo... come posso scrivere l' energia cinetica??
considerando solo la rotazione e quindi per il teorema degli assi paralleli $ 1/2 Izomega ^2 $
dove Iz è l' asse passare per il punto d' appoggio piano-sbarra e quindi
$ 1/2 Izomega ^2 $= $ 1/2(Icm+Ml/2)omega ^2 $ ??
Devo calcolare la velocità angolare istante prima di toccare terreno
Successivamente avevo pensato alla variazione dell' energia cinetica e al lavoro come integrale del momento delle forze esterne in $ dvartheta $. e nel primo caso dell asse passante per il CM, il momento della forza peso è nullo mentre quello della reazione $N$ no; nel secondo caso considerando come Polo il punto dove è applicata $N$ allora il momento della $N$ è nullo mentre quello della forza peso è dato da $ rxx mg $
grazie a tutti in anticipo
Mi trovo nella situazione di una sbarra di massa M e lunghezza L posta verticalmente su un piano orizzontale senza attrito (per cui il caso più impossibile secondo il quale il Centro di Massa cade verticalmente). Ad un tratto si sbliancia e cade con l' azione della forza di gravità verso destra in modo da descrivere un angolo da % pi/2 a %0 . Il centro di massa compie un moto verticale lungo la normale al piano passante per il cm mentre il piano offre una reazione vincolare alla sbarra nel punto di estremità che si sposta lateralmente verso sinistra man mano che cade. Mi servirebbe analizzare la velocità angolare della sbarra prima di cadere sul pavimento.
Ho pensato di partire dalla seconda equazione cardinale del momento e poi con il teorema energia lavoro.
L' energia cinetica rotazionale della sbarra come posso scriverla? mi è sorto un dubbio perchè ho pensato il moto rotazionale attorno al CM della sbarra e quindi l' energia è data da
$ K $ = $ 1/2MVcm+1/2 Icmomega^2 $ (ovvero energia di traslazione del cm + rotazionale rispetto al cm)
Nel caso in cui volessi considerare come polo quello dove agisce il vincolo... come posso scrivere l' energia cinetica??
considerando solo la rotazione e quindi per il teorema degli assi paralleli $ 1/2 Izomega ^2 $
dove Iz è l' asse passare per il punto d' appoggio piano-sbarra e quindi
$ 1/2 Izomega ^2 $= $ 1/2(Icm+Ml/2)omega ^2 $ ??
Devo calcolare la velocità angolare istante prima di toccare terreno
Successivamente avevo pensato alla variazione dell' energia cinetica e al lavoro come integrale del momento delle forze esterne in $ dvartheta $. e nel primo caso dell asse passante per il CM, il momento della forza peso è nullo mentre quello della reazione $N$ no; nel secondo caso considerando come Polo il punto dove è applicata $N$ allora il momento della $N$ è nullo mentre quello della forza peso è dato da $ rxx mg $
grazie a tutti in anticipo
Risposte
No, no aspetta. Per prima cosa il lavoro è svolto da una forza, non da un momento, in questo caso le forze che agiscono sono la forza peso e la reazione vincolare del piano. La forza peso compie lavoro mentre la reazione vincolare no, perché? perché lo spostamento della sbarretta nel punto in cui agisce la reazione vincolare è perpendicolare alla reazione vincolare stessa, quindi il prodotto scalare tra forza e spostamento è nullo e l'energia del sistema si conserva.
Seconda cosa: In questo caso non puoi applicare la seconda equazione cardinale nel punto in cui agisce la forza vincolare (anzi puoi, ma diventa molto più complicato) perché quel punto NON è fermo, quindi la seconda cardinale si applica al centro di massa.
Quindi veniamo alla soluzione dell'esercizio. Non c'è bisogno di applicare le equazioni cardinali, basta usare il teorema dell'energia cinetica ricordano che la reazione vincolare non compie lavoro.
Chiama $theta$ l'angolo tra la sbarra e il piano formato nel punto di contatto tra sbarra e piano. Sia y_G la quota verticale del centro di massa della sbarra, si ha:
$y_G=L/2sintheta$
Per trovare la velocità verticale $dot(y)_G$ del cdm si deriva la sua posizione rispetto al tempo:
$dot(y)_G=L/2cos(theta)dot(theta)$
L'energia cinetica della sbarra è data dalla energia cinetica di traslazione del cdm più l'energia di rotazione attorno al cdm:
$K=1/2Mdot(y)_G^2+1/2I_Gdot(theta)^2$
Sostituendo $dot(y)_G$ con l'espressione trovata prima e uguagliando il tutto al lavoro fatto dalla forza peso si trova la velocità angolare con cui arriva a terra.
Seconda cosa: In questo caso non puoi applicare la seconda equazione cardinale nel punto in cui agisce la forza vincolare (anzi puoi, ma diventa molto più complicato) perché quel punto NON è fermo, quindi la seconda cardinale si applica al centro di massa.
Quindi veniamo alla soluzione dell'esercizio. Non c'è bisogno di applicare le equazioni cardinali, basta usare il teorema dell'energia cinetica ricordano che la reazione vincolare non compie lavoro.
Chiama $theta$ l'angolo tra la sbarra e il piano formato nel punto di contatto tra sbarra e piano. Sia y_G la quota verticale del centro di massa della sbarra, si ha:
$y_G=L/2sintheta$
Per trovare la velocità verticale $dot(y)_G$ del cdm si deriva la sua posizione rispetto al tempo:
$dot(y)_G=L/2cos(theta)dot(theta)$
L'energia cinetica della sbarra è data dalla energia cinetica di traslazione del cdm più l'energia di rotazione attorno al cdm:
$K=1/2Mdot(y)_G^2+1/2I_Gdot(theta)^2$
Sostituendo $dot(y)_G$ con l'espressione trovata prima e uguagliando il tutto al lavoro fatto dalla forza peso si trova la velocità angolare con cui arriva a terra.
Grazie mille per la risposta 
Non sono convinto riguardo la prima affermazione (per il resto dovrebbe essere giusto era come avevo pensato io di considerare la rotazione attorno al centro di massa della sbarra)... in quanto il lavoro fatto dalla forza mi permette di percorrere un tratto infinitesimo dx stessa cosa vale per il momento per cui
$ W= \(\int_(pi/2)^0\M(ext)dTheta ) $
dove con M(ext) intendo i momenti delle forze esterne rispetto al polo scelto
Non sono convinto riguardo la prima affermazione (per il resto dovrebbe essere giusto era come avevo pensato io di considerare la rotazione attorno al centro di massa della sbarra)... in quanto il lavoro fatto dalla forza mi permette di percorrere un tratto infinitesimo dx stessa cosa vale per il momento per cui$ W= \(\int_(pi/2)^0\M(ext)dTheta ) $
dove con M(ext) intendo i momenti delle forze esterne rispetto al polo scelto
"Vulplasir":
No, no aspetta. Per prima cosa il lavoro è svolto da una forza, non da un momento, in questo caso le forze che agiscono sono la forza peso e la reazione vincolare del piano. La forza peso compie lavoro mentre la reazione vincolare no, perché? perché lo spostamento della sbarretta nel punto in cui agisce la reazione vincolare è perpendicolare alla reazione vincolare stessa, quindi il prodotto scalare tra forza e spostamento è nullo e l'energia del sistema si conserva.
Seconda cosa: In questo caso non puoi applicare la seconda equazione cardinale nel punto in cui agisce la forza vincolare (anzi puoi, ma diventa molto più complicato) perché quel punto NON è fermo, quindi la seconda cardinale si applica al centro di massa.
Quindi veniamo alla soluzione dell'esercizio. Non c'è bisogno di applicare le equazioni cardinali, basta usare il teorema dell'energia cinetica ricordano che la reazione vincolare non compie lavoro.
Chiama $theta$ l'angolo tra la sbarra e il piano formato nel punto di contatto tra sbarra e piano. Sia y_G la quota verticale del centro di massa della sbarra, si ha:
$y_G=L/2sintheta$
Per trovare la velocità verticale $dot(y)_G$ del cdm si deriva la sua posizione rispetto al tempo:
$dot(y)_G=L/2cos(theta)dot(theta)$
L'energia cinetica della sbarra è data dalla energia cinetica di traslazione del cdm più l'energia di rotazione attorno al cdm:
$K=1/2Mdot(y)_G^2+1/2I_Gdot(theta)^2$
Sostituendo $dot(y)_G$ con l'espressione trovata prima e uguagliando il tutto al lavoro fatto dalla forza peso si trova la velocità angolare con cui arriva a terra.
Il lavoro fatto dal momento esterno sul corpo che ruota è dato dall' integrale che ho scritto sopra poichè
$ K= 1/2 Izomega ^2 $ in forma infinitesimale sarà $ partial W=partial K $
$ dW=dK=I_zomega domega =I_z (d/dtTheta)alpha dt=I_zalpha dTheta $
$ dW=MdTheta $ integriamo tra la posizione angolare iniziale e quella finale per cui
$ W= int_(Theta _0)^Theta MdTheta $
No, la definizione di lavoro è una e una sola e riguarda la forza:
$dW=vec(F)*dvec(r)$
Se questa forza ha un momento rispetto a un certo polo, allora si ha $dvec(r)=dvec(theta)xxvec(r)$ e sostituendo si ha:
$dW=vec(F)*(dvec(theta)xxvec(r))$
Utilizzando le proprietà del prodotto triplo si ha:
$dW=(vec(r)xxvec(F))*dvec(theta)$
Quindi:
$dW=vec(M)*dvec(theta)$
Come vedi dal lavoro fatto dalla forza abbiamo ricavato il lavoro fatto dal momento, abbiamo usato solo UGUAGLIANZE e quindi i due lavori sono equivalenti , pertanto se il lavoro fatto dalla forza è nullo allora è nullo anche quello fatto dal momento.
$dW=vec(F)*dvec(r)$
Se questa forza ha un momento rispetto a un certo polo, allora si ha $dvec(r)=dvec(theta)xxvec(r)$ e sostituendo si ha:
$dW=vec(F)*(dvec(theta)xxvec(r))$
Utilizzando le proprietà del prodotto triplo si ha:
$dW=(vec(r)xxvec(F))*dvec(theta)$
Quindi:
$dW=vec(M)*dvec(theta)$
Come vedi dal lavoro fatto dalla forza abbiamo ricavato il lavoro fatto dal momento, abbiamo usato solo UGUAGLIANZE e quindi i due lavori sono equivalenti , pertanto se il lavoro fatto dalla forza è nullo allora è nullo anche quello fatto dal momento.
Quando devi determinare i lavori fatti, devi considerare le forze non i momenti, se no ti complichi inutilmente la vita. I momenti si considerano per esempio quando c'è una coppia che fa ruotare un disco, e quindi si integra la coppia in $d theta$, mentre in tutti gli altri casi si considerano solo le forze.
Grazie mille per l aiuto! Adesso mi è chiaro
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