Esercizio su allungamento e compressione di una molla tramite una biglia con massa incognita
Ragazzi buon giorno a tutti... insisto a provare a comprendere gli esercizi sull'applicazione del teorema di conservazione dell'energia, ma a volte i testi degli esercizi sono impliciti ed evidentemente non riesco a capirli.
il testo dell'esercizio è il seguente:
"Una pesante biglia di acciaio viene appesa a una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l. All'equilibrio si misura un allungamento x0 = 6,5 cm. La stessa molla viene poi fissata verticalmente al terreno. Da un'altezza H= 1m, misurata dall'estremo libero della molla, si lascia quindi cadere la stessa biglia sopra l'estremo libero della molla. Trascurando l'attrito dell'aria e la massa della molla, calcola la compressione massima che la molla subisce".
Io ho ragionato che, nel secondo caso, l'energia potenziale gravitazionale si converte tutta in energia potenziale elastica, quindi:
$mgH = 1/2kx^2$
Non conosciamo k né m, quindi devo esprimere l'equazione in funzione di k:
$k = 2mgH/x^2$
H = 1m, quindi questa equazione si riduce semplicemente a: $k = 2mg/x^2$
Per il secondo caso non posso fare altro, quindi comincio a lavorare al primo caso.
Nel primo caso, quando la biglia è attaccata alla molla e produce l'allungamento x0 = 6,5 cm, la energia potenziale gravitazionale è:
$U= mgh$ ma h in questo caso è la lunghezza della molla l + la deformazione x0 = 6,5 cm, quindi diventa:
$U = mg(l+x0)$
Anche in questo caso, la deformazione della molla mi permette di porre:
$mg(l+x0) = 1/2k(x0)^2$
e ricavando k trovo:
$k = 2mg(l+x0)/(x0)^2$
Se eguaglio le due equazioni in k mi resta:
$x^2 = (x0)^2/(l+x0)$
Da qui non posso più andare avanti perché non conosco l.
Allora dove sbaglio?
il testo dell'esercizio è il seguente:
"Una pesante biglia di acciaio viene appesa a una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l. All'equilibrio si misura un allungamento x0 = 6,5 cm. La stessa molla viene poi fissata verticalmente al terreno. Da un'altezza H= 1m, misurata dall'estremo libero della molla, si lascia quindi cadere la stessa biglia sopra l'estremo libero della molla. Trascurando l'attrito dell'aria e la massa della molla, calcola la compressione massima che la molla subisce".
Io ho ragionato che, nel secondo caso, l'energia potenziale gravitazionale si converte tutta in energia potenziale elastica, quindi:
$mgH = 1/2kx^2$
Non conosciamo k né m, quindi devo esprimere l'equazione in funzione di k:
$k = 2mgH/x^2$
H = 1m, quindi questa equazione si riduce semplicemente a: $k = 2mg/x^2$
Per il secondo caso non posso fare altro, quindi comincio a lavorare al primo caso.
Nel primo caso, quando la biglia è attaccata alla molla e produce l'allungamento x0 = 6,5 cm, la energia potenziale gravitazionale è:
$U= mgh$ ma h in questo caso è la lunghezza della molla l + la deformazione x0 = 6,5 cm, quindi diventa:
$U = mg(l+x0)$
Anche in questo caso, la deformazione della molla mi permette di porre:
$mg(l+x0) = 1/2k(x0)^2$
e ricavando k trovo:
$k = 2mg(l+x0)/(x0)^2$
Se eguaglio le due equazioni in k mi resta:
$x^2 = (x0)^2/(l+x0)$
Da qui non posso più andare avanti perché non conosco l.
Allora dove sbaglio?
Risposte
La costante della molla è un dato dell'esercizio. La massa la calcoli dall allungamento della molla quando ce la appendi. Il resto è banale conservazione di energia.
[ot]
Guarda chi si rivede.... Bentornato!
[/ot]
"professorkappa":
La costante della molla è un dato dell'esercizio. La massa la calcoli dall allungamento della molla quando ce la appendi. Il resto è banale conservazione di energia.
Guarda chi si rivede.... Bentornato!
[/ot]
Il testo dell'esercizio è quello che, correttamente, ho riportato. E no. Non c'è la costante, altrimenti l'avrei già risolto.
Stai fraintendendo il problema.
Leggi bene: "Una pesante biglia di acciaio viene appesa a una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l".
Questi sono dati noti del problema, anche se non numerici.
Da qui ricavi la massa della biglia, dato che ti dice che la molla si stende di 6.5cm quando appedi la biglia. Nota la massa, k ed l e l'altezza H da cui cade la biglia, trovi la compressione massima con la conservazione dell'energia
Leggi bene: "Una pesante biglia di acciaio viene appesa a una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l".
Questi sono dati noti del problema, anche se non numerici.
Da qui ricavi la massa della biglia, dato che ti dice che la molla si stende di 6.5cm quando appedi la biglia. Nota la massa, k ed l e l'altezza H da cui cade la biglia, trovi la compressione massima con la conservazione dell'energia
Mi scusi, professorkappa, forse sono io che non riesco a spiegarmi: in base a come svolgo io il mio tentativo, ho espresso l'equazione del primo caso e l'equazione del secondo caso in k, così da eguagliare i secondi membri ed escludere k dal calcolo.
Se faccio la stessa cosa esprimendo in funzione di m, arrivo comunque alla stessa formula finale, cioè quella che esprime $x^2$
Il mio problema, e con il suo suggerimento comunque non lo risolvo, è che non c'è un dato numerico per k. Certo, se trovassi k potrei muovermi diversamente (cioè come suggerisce lei), ma k la troverei da forza peso su deformazione, e non ho la forza peso perchè non ho la massa.
Quindi non vedo sinceramente come usare il suo suggerimento, comunque gradito
Se faccio la stessa cosa esprimendo in funzione di m, arrivo comunque alla stessa formula finale, cioè quella che esprime $x^2$
Il mio problema, e con il suo suggerimento comunque non lo risolvo, è che non c'è un dato numerico per k. Certo, se trovassi k potrei muovermi diversamente (cioè come suggerisce lei), ma k la troverei da forza peso su deformazione, e non ho la forza peso perchè non ho la massa.
Quindi non vedo sinceramente come usare il suo suggerimento, comunque gradito
Dal primo punto:
$mg=kDeltax$ da cui
Per il secono punto, messo il livello zero dell'energia potenziale ad altezza L a molla scarica, prima del lancio, l'energia potenziale é:
$mg(H-L)$
Dopo il lancio
$-mgDelta_c+1/2kDelta_c^2$ con $Delta_c$ compressione max della molla
Imponendo l'eguaglianza e ricordando la prima espressione
$-kDeltaxDelta_c+1/2kDelta_c^2=kDeltax(H-L)$
Il k si semplifica e se il risultato che hai dell'esercizio é numerico, manca evidentemente la lunghezza L a riposo.
La soluzione che hai proposto tu é comunque errata
$mg=kDeltax$ da cui
Per il secono punto, messo il livello zero dell'energia potenziale ad altezza L a molla scarica, prima del lancio, l'energia potenziale é:
$mg(H-L)$
Dopo il lancio
$-mgDelta_c+1/2kDelta_c^2$ con $Delta_c$ compressione max della molla
Imponendo l'eguaglianza e ricordando la prima espressione
$-kDeltaxDelta_c+1/2kDelta_c^2=kDeltax(H-L)$
Il k si semplifica e se il risultato che hai dell'esercizio é numerico, manca evidentemente la lunghezza L a riposo.
La soluzione che hai proposto tu é comunque errata
Errato o meno (buono a sapersi che lo sia), concordiamo sul fatto che manca un dato? A me il confronto serve per capire soprattutto se ho ragionato male io o se c'è, effettivamente, un errore di fondo. Ma mi ripeto, il testo che ho riportato non omette nulla. Al massimo posto l'immagine più tardi.
Se hai siluzione numerica, manca un dato
Sì, soluzione numerica... la compressione finale della molla è 0,43m 
e allora ora calcola $L_0$
No, non si trova comunque... rimango convinto manchi un dato. Purtroppo non lo vedo proprio... ci sto combattendo da 3 giorni e devo rinunciare. Mi arrendo!
Intendevo dire, risolvi questo esercizio:
Una pesante biglia di acciaio viene appesa a una molla di costante elastica k e lunghezza iniziale $L_0$. All'equilibrio si misura un allungamento x0 = 6,5 cm. La stessa molla viene poi fissata verticalmente al terreno. Da un'altezza H= 1m, misurata dall'estremo libero della molla scarica, si lascia quindi cadere la stessa biglia sopra l'estremo libero della molla e si registra un accorciamento massimo della molla di 0.43m. Trascurando l'attrito dell'aria e la massa della molla, calcolare la lunghezza $L_0 della molla a riposo.
Questo lo puoi risolvere numericamente, i dati ci sono tutti.
Una pesante biglia di acciaio viene appesa a una molla di costante elastica k e lunghezza iniziale $L_0$. All'equilibrio si misura un allungamento x0 = 6,5 cm. La stessa molla viene poi fissata verticalmente al terreno. Da un'altezza H= 1m, misurata dall'estremo libero della molla scarica, si lascia quindi cadere la stessa biglia sopra l'estremo libero della molla e si registra un accorciamento massimo della molla di 0.43m. Trascurando l'attrito dell'aria e la massa della molla, calcolare la lunghezza $L_0 della molla a riposo.
Questo lo puoi risolvere numericamente, i dati ci sono tutti.
Mi è appena capitato di risolverlo. Non manca un dato. Se imposti il bilancio energetico vedrai che è tutto divisibile per k, che quindi si semplifica. Il problema è quindi indipendente da k
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