Esercizio sollecitazione meccanica
Vorrei sapere se ho capito bene il ragionamento per la risoluzione del seguente problema.
Tre cariche puntiformi positive uguali sono disposte ai vertici di un triangolo equilatero di lato $d = 10 cm$. Una carica vale $2q$, posta sull'asse $y$, e le altre due valgono rispettivamente $-q$, poste entrambe sull'asse $x$, e sapendo che $q = 1.0 * 10^(-6) C$. Sappiamo che il momento di dipolo del sistema vale $\vec p = \hat j * sqrt(3) * 10^(-7)$. Supponiamo ora che il tutto si comporti come un sistema rigido. Nella posizione $y_0 = 1.0 m$, viene posta una carica positiva puntiforme $Q = 10 * 10^(-6) C$. Calcolare la sollecitazione meccanica cui è sottoposto il sistema. Utilizzare l'approssimazione di dipolo.
Ora scrivo prima il mio procedimento è poi quello del libro.
Parto utilizzando l'approssimazione di dipolo, che è quello che l'esercizio ha chiesto. Quindi:
$V_0 = 1/(4 \pi \epsilon_0) (\vec p * \vec r)/r^3 = 1/(4 \pi \epsilon_0) p/r^2$
Per avere $r$ bisogna tener conto del triangolo formato dalle cariche e della distanza $y_0$, quindi ho scritto:
$r = y_0 - (d/2 * sin(60°)) = y_0 - (d/2 (sqrt(3))/2)$
Dopo aver trovato $V_0$, mi trovo il campo elettrico $\vec E_0 = - \vec (grad) V_0 = - (\partial V_0)/(\partial r)$.
A questo punto posso calcolarmi sia la forza esercitata che il momento della forza esercitata dal dipolo, e cioè:
$\vec F = \vec (grad) (\vec E * \vec p) = (\partial (\vec E_0 * \vec p))/(\partial r)$.
$\vec M = \vec p \times \vec E_0 = 0$
Il momento è $0$ perché il momento di dipolo ed il campo elettrico sono antiparalleli.
A questo punto pensavo di averlo finito e quindi ho visto sul libro se avevo fatto bene. Il libro, però, ha fatto tutta un'altra cosa.
Ha calcolato il campo elettrico direttamente come:
$\vec E_0 = (- \hat j)/(4 \pi \epsilon_0) q/y_0^2$
E poi si è calcolato direttamente
$\vec F = \hat j * (\partial)/(\partial y_0) (- 1/(4 \pi \epsilon_0) (q p)/y^2)_{- \bar y} = - \hat j (q p)/(4 \pi \epsilon_0) 2/(\bar y^3)$
$|\vec M| = |\vec p \times \vec E_0| = 0$.
Quello che chiedo è: Il mio procedimento è corretto? Se no, perché?
Tre cariche puntiformi positive uguali sono disposte ai vertici di un triangolo equilatero di lato $d = 10 cm$. Una carica vale $2q$, posta sull'asse $y$, e le altre due valgono rispettivamente $-q$, poste entrambe sull'asse $x$, e sapendo che $q = 1.0 * 10^(-6) C$. Sappiamo che il momento di dipolo del sistema vale $\vec p = \hat j * sqrt(3) * 10^(-7)$. Supponiamo ora che il tutto si comporti come un sistema rigido. Nella posizione $y_0 = 1.0 m$, viene posta una carica positiva puntiforme $Q = 10 * 10^(-6) C$. Calcolare la sollecitazione meccanica cui è sottoposto il sistema. Utilizzare l'approssimazione di dipolo.
Ora scrivo prima il mio procedimento è poi quello del libro.
Parto utilizzando l'approssimazione di dipolo, che è quello che l'esercizio ha chiesto. Quindi:
$V_0 = 1/(4 \pi \epsilon_0) (\vec p * \vec r)/r^3 = 1/(4 \pi \epsilon_0) p/r^2$
Per avere $r$ bisogna tener conto del triangolo formato dalle cariche e della distanza $y_0$, quindi ho scritto:
$r = y_0 - (d/2 * sin(60°)) = y_0 - (d/2 (sqrt(3))/2)$
Dopo aver trovato $V_0$, mi trovo il campo elettrico $\vec E_0 = - \vec (grad) V_0 = - (\partial V_0)/(\partial r)$.
A questo punto posso calcolarmi sia la forza esercitata che il momento della forza esercitata dal dipolo, e cioè:
$\vec F = \vec (grad) (\vec E * \vec p) = (\partial (\vec E_0 * \vec p))/(\partial r)$.
$\vec M = \vec p \times \vec E_0 = 0$
Il momento è $0$ perché il momento di dipolo ed il campo elettrico sono antiparalleli.
A questo punto pensavo di averlo finito e quindi ho visto sul libro se avevo fatto bene. Il libro, però, ha fatto tutta un'altra cosa.
Ha calcolato il campo elettrico direttamente come:
$\vec E_0 = (- \hat j)/(4 \pi \epsilon_0) q/y_0^2$
E poi si è calcolato direttamente
$\vec F = \hat j * (\partial)/(\partial y_0) (- 1/(4 \pi \epsilon_0) (q p)/y^2)_{- \bar y} = - \hat j (q p)/(4 \pi \epsilon_0) 2/(\bar y^3)$
$|\vec M| = |\vec p \times \vec E_0| = 0$.
Quello che chiedo è: Il mio procedimento è corretto? Se no, perché?
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