Esercizio SNS ammissione 4 anno potenziale vettore etc.
Ragazzi fra i vari esercizi proposti dalla normale ho trovato questo di elettromagnetismo e volevo una mano a risolverlo: allego il testo, è l'esercizio 5!
Ringrazio in anticipo chi dedicherà cortesemente tempo a questo problema!
Ringrazio in anticipo chi dedicherà cortesemente tempo a questo problema!
Risposte
Per il punto 1, esprimendo i campi elettrico e magnetico in funzione dei potenziali e sostituendoli nella quarta equazione di Maxwell, si ricava un'equazione che lega $\vec{A}$ e $\phi$ a $\vec{j}$:
In gauge di Lorentz si ha
e l'equazione si riduce a
A questo punto viene il difficile.. tu hai provato a risolverla? So che non è esplicitamente richiesto, ma è una curiosità personale. Mi piacerebbe provarci, però non ne sono assolutamente in grado. Supponendo che $A_z$ e $j_z$ ammettano trasformata di Fourier si ha:
(ed analogamente per $j_z$). Sostituendo nell'equazione, la derivata seconda rispetto al tempo "abbassa" un -$\omega^2$ e definendo il rapporto $\omega/c=k$ l'equazione può essere riscritta come:
A questo punto si potrebbe usare una funzione di Green, ma non sono in grado di determinarla... (qualche hint?)
Finita la parentesi riguardo la risoluzione dell'equazione, per il punto 2, quel che mi viene in mente ora (ed è molto poco) è che la condizione su $\omega$ e $k$ determini per $A_z$ la forma:
$$A_z = A_0 e^{-c|x|}$$
con $c>0$.. insomma, qualcosa che faccia apparire un esponenziale decrescente. Mi spiace, ma questo è quel po' che sono riuscito a cavare finora. Tu sei andato più avanti? Hai trovato qualcosa?
$\vec{E} = -\nabla\phi-(\del\vec{A})/(\delt) $
$\vec{B} = \nabla\times\vec{A}$
$ \nabla^2\vec{A}-1/c^2 (\del^2\vec{A})/(\delt^2) = -\mu_0\vec{j}+\nabla(\nabla\cdot\vec{A}+1/c^2(\del\phi)/(\delt)) $
$\vec{B} = \nabla\times\vec{A}$
$ \nabla^2\vec{A}-1/c^2 (\del^2\vec{A})/(\delt^2) = -\mu_0\vec{j}+\nabla(\nabla\cdot\vec{A}+1/c^2(\del\phi)/(\delt)) $
In gauge di Lorentz si ha
$\nabla\cdot\vec{A}+1/c^2(\del\phi)/(\delt)=0$
e l'equazione si riduce a
$ \nabla^2\vec{A}-1/c^2 (\del^2\vec{A})/(\delt^2) = -\mu_0\vec{j}$
A questo punto viene il difficile.. tu hai provato a risolverla? So che non è esplicitamente richiesto, ma è una curiosità personale. Mi piacerebbe provarci, però non ne sono assolutamente in grado. Supponendo che $A_z$ e $j_z$ ammettano trasformata di Fourier si ha:
$A_z(\vec{x},t) = 1/(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty}d\omega A_z(\vec{x},\omega)e^(-i\omegat)$
(ed analogamente per $j_z$). Sostituendo nell'equazione, la derivata seconda rispetto al tempo "abbassa" un -$\omega^2$ e definendo il rapporto $\omega/c=k$ l'equazione può essere riscritta come:
$(\nabla^2+k^2)A_z(\vec{x},\omega)=-\mu_0j_z(\vec{x},\omega)$
A questo punto si potrebbe usare una funzione di Green, ma non sono in grado di determinarla... (qualche hint?)
Finita la parentesi riguardo la risoluzione dell'equazione, per il punto 2, quel che mi viene in mente ora (ed è molto poco) è che la condizione su $\omega$ e $k$ determini per $A_z$ la forma:
$$A_z = A_0 e^{-c|x|}$$
con $c>0$.. insomma, qualcosa che faccia apparire un esponenziale decrescente. Mi spiace, ma questo è quel po' che sono riuscito a cavare finora. Tu sei andato più avanti? Hai trovato qualcosa?
Mi sono bloccato esattamente al tuo stesso punto! Risolvere l'integrale mi è sembrato folle e stavo cercando di ricavare qualcosa facendo qualche ipotesi sulla forma dell'onda o qualcosa del genere ma devo lavorarci ancora purtroppo! Grazie cmq se hai qualche idea continuiamo a discuterne 
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