Esercizio sistema di due cariche

[giampy2202]

Salve a tutti!
Ho dei problemi a risolvere il seguente esercizio.

"E' dato un sistema di due cariche $+q$ e $-q$ che distano $a$ con $C$ il punto medio tra le cariche.
Ad un certo punto un punto $q_0$ di massa $m_0$ posto in $A$ a distanza $r$ da $C$ ($r->infty$), si muove con energia cinetica $K_i$ lungo una direzione che forma un angolo $theta$ con la congiungente delle cariche.
Trovare la velocità $v$ di $q_0$ in funzione dell'angolo $theta$ a $r/2$.
Inoltre calcolare $v$ per $theta=pi/2$ e $theta=0$."

Ho pensato di utilizzare la seguente equazione $ K_i = 1/2m_0v^2 + E_(pot) $ e di calcolare l'energia potenzia elettrostatica a $r/2$:
Non capisco però come ricavare la velocità $v$ in funzione di $theta$.

Potete aiutarmi?
Grazie a tutti in anticipo

[Lampo1089]

Ciao!
Prova a scrivere il potenziale elettrostatico generato dalle cariche +Q e -Q . A quel punto dovrebbe essere chiaro perché la velocità è una funzione dell'angolo $theta$

[giampy2202]

"Lampo1089":Ciao!
Prova a scrivere il potenziale elettrostatico generato dalle cariche +Q e -Q . A quel punto dovrebbe essere chiaro perché la velocità è una funzione dell'angolo $theta$

Il potenziale dovrebbe essere $q/(4piepsilon_0r)$ per entrambe le cariche (cambia solo il segno).
Non riesco a capire a che deve corrispondere $r$ però. Ho capito che è in funzione dell’angolo $theta$, ma non riesco a trovare l’espressione

[Lampo1089]

Intendevo, in realtà, il potenziale generato dalle due cariche in un generico punto dello spazio, e poi approssimare usando l ipotesi di r molto grande.
Il valore specifico di r non è importante (certo, il risultato ne dipende), ma è invece vitale l'ipotesi che la carica q0 sia a grande distanza dalla coppia q -q.

Una parola come suggerimento: dipolo elettrico

[giampy2202]

"Lampo1089":Intendevo, in realtà, il potenziale generato dalle due cariche in un generico punto dello spazio, e poi approssimare usando l ipotesi di r molto grande.
Il valore specifico di r non è importante (certo, il risultato ne dipende), ma è invece vitale l'ipotesi che la carica q0 sia a grande distanza dalla coppia q -q.

Una parola come suggerimento: dipolo elettrico

Allora, il potenziale totale è dato dalla somma del potenziale generato dalla carica $+q$ e dalla carica $-q$, quindi: $ phi (r)= phi^+ + phi^(-) = q/(4piepsilon_0)(1/r^+ - 1/r^-) = q/(4piepsilon_0)((r^(-)- r^+)/(r^+r^-)) $ , dove $r^+, r^-$ sono le distanze di $q_0$ dalla due cariche.
Essendo $r$ tendente all'infinito, posso fare le seguenti approssimazioni (sempre se ho fatto bene il disegno):
$r^+=r^(-)=r$ e $r^(-) - r^(+) = acostheta$

In questo modo il potenziale è uguale a $ (q*acostheta)/(4piepsilon_0r^2) $ , che effettivamente dipende da $theta$.

E' corretto come svolgimento? Poi come proseguo?

[Lampo1089]

Il potenziale mi torna. Avevi abbozzato qualcosa inizialmente, come continueresti?

[giampy2202]

"Lampo1089":Il potenziale mi torna. Avevi abbozzato qualcosa inizialmente, come continueresti?

Sicuramente devo calcolare l’energia potenziale elettrostatica a $r/2$.
L’equazione che lega il potenziale con l’energia potenziale dovrebbe essere $E_(pot)(r)=qphi(r)$.
Quindi nel mio caso dovre avere:
$E_(pot)(r/2)=qphi(r/2) = (q^2acostheta)/(piepsilon_0r^2)$
Poi sfruttando l’equazione che ho scritto nel primo messaggio dovrei riuscire ad ottenere $v$.
È corretto?

[Lampo1089]

No, la formula è sbagliata: perché non consideri l'energia potenziale iniziale? e poi perché moltiplichi per $q$ per trovare l'energia potenziale della carica $q_0$?

[giampy2202]

"Lampo1089":No, la formula è sbagliata: perché non consideri l'energia potenziale iniziale? e poi perché moltiplichi per $q$ per trovare l'energia potenziale della carica $q_0$?

Ok, allora la formula corretta dovrebbe essere $ K_i + E_(pot)(r) = 1/2m_0v^2 + E_(pot)(r/2) $ e
$E_(pot)(r) = q_0phi(r) = (q_0 q acostheta)/(4piepsilon_0r^2)$
$E_(pot)(r/2) = q_0phi(r) = (q_0 q acostheta)/(piepsilon_0r^2)$