Esercizio risolto dinamica.

[Antonio_80]

Ho il seguente esercizio:

Nel punto 3) si arriva a scrivere l'equazione del moto, quando dice che L'equazione di moto (46.3) si integra facilmente, e scrive che:

$theta(t) = (2g)/(11R)t^2 + dot(theta)(0)t + theta(0)$

Vedendola così mi sembra proprio essere l'equazione del moto con accelerazione costante lungo l'asse delle ordinate, vero?
Quello che non sto capendo è come ci arriva a questa equazione? Il testo dice che integrando la $ddot(theta) = (4g)/(11R)$ si arriva a scrivere questa $theta(t) = (2g)/(11R)t^2 + dot(theta)(0)t + theta(0)$

Ma come fa questa integrazione
Vorrei sapere per favore quali sono i passaggi che fa per arrivare a questa equazione


Edit: Ho spostato il punto 4) nell'ultimo messaggio, per dare un ordine.

[Sk_Anonymous]

"Antonio_80":
…………..
$ theta(t) = (2g)/(11R)t^2 + dot(theta)(0)t + theta(0) $

Vedendola così mi sembra proprio essere l'equazione del moto con accelerazione costante lungo l'asse delle ordinate, vero?
Quello che non sto capendo è come ci arriva a questa equazione? Il testo dice che integrando la $ ddot(theta) = (4g)/(11R) $ si arriva a scrivere questa $ theta(t) = (2g)/(11R)t^2 + dot(theta)(0)t + theta(0) $

Ma come fa questa integrazione
Vorrei sapere per favore quali sono i passaggi che fa per arrivare a questa equazione

Questa è l'unica cosa che non ti è chiara di tutto l'esercizio ? Il resto è tutto ok ? Presumo sia così .

Allora , innanzitutto, si tratta dell'equazione del moto con accelerazione angolare costante lungo l'asse x , non delle ordinate.
Come ci si arriva ?

Facciamo un ragionamento analogo sul moto rettilineo uniformemente accelerato, cioè che avviene con $a = (dv)/(dt) = (d^2s)/(dt^2) = "cost" $ .
Per trovare la velocità , data l'accelerazione costante, come fai? integri l'equazione $dv = adt$ , la quale, se la velocità è $v_0$ al tempo $t_0$ ed è $v$ al tempo $t$ , dà come risultato :

$v - v_0 = a(t-t_0) = a*\Deltat$ . PErciò : $v(t) = v_0 + a*\Deltat$ --------(1)

(nota che quando scriviamo $t$ in effetti dovremmo scrivere $\Deltat$ , perché stiamo considerando un intervallo di tempo. Ma di solito scriviamo solo $t$ , perché si suppone che l'istante iniziale sia $t_0 = 0 $ )

Una volta ottenuta la velocità in funzione del tempo , per determinare lo spazio e cioè la $x$ come facciamo? Facciamo alla stessa maniera di prima. Siccome : $v = (dx)/(dt) $ , possiamo scrivere l'equazione differenziale[nota]Qui se arriva qualche matematico mi fucila sul campo per l'eccessiva disinvoltura: scusate, matematici![/nota] :

$ dx = v*dt$ .

E quindi integriamo tra $x_0$ ed $x$ il primo membro , e integriamo corrispondentemente il secondo membro tra $t_0$ e $t$, , tenendo conto della (1) e ottenendo :

$x - x_0 = v_0*\Deltat + 1/2a*\Deltat^2 $ .

Questo nel moto rettilineo uniformemente accelerato, noti lo spazio iniziale $x_0$ e la velocità iniziale $v_0$ .

Bè , nel moto circolare uniformemente accelerato, è la stessa musica. Ripeti il ragionamento mettendo in conto l'angolo $\theta(t)$ , la velocità angolare e l'accelerazione angolare. E arrivi alla conclusione.

EDIT : nel pubblicare la risposta, vedo che hai aggiunto dell'altro, che prima non c'era, cioè la soluzione del punto 4 .
Allora, la risposta data finora si riferisce alla prima domanda : come si arriva alla formula del moto circolare unif. accelerato.

Per favore, quando posti dovresti essere completo in quello che chiedi.

[Antonio_80]

Ok, nav., perdonami, allora adesso ripropongo la domanda sul punto 4), editando il primo messaggio.


Poi continua con il risolvere il punto 4)

capisco il grafico delle reazioni, ma quello che non comprendo è perchè comincia usando l'equazione della quantità di moto seguente
$Q = mRdot(theta) hat(i)$ (del disco)

E per quale motivo poi fa la sua derivata?

$dot(Q) = mRddot(theta) hat(i)$

In Fisica 1 ho risolto esercizi del genere, ma impostavo equazioni con semplici sistemi basati sulle forze e le reazioni, non mi è mai capitato di utilizzare la quantità di moto, ma che ragionamento è stato fatto in questo esercizio

P.S. Per la spiegazione della prima domanda ti ringrazio, sei stato chiarissimo, grazie mille!

[Sk_Anonymous]

Le forze le hai capite? Bene. Il calcolo del modulo della tensione nel filo, che il libro chiama $\Psi$ , è chiaro ? Bene .

Sul disco, di massa $m$, agiscono:

1) forze verticali , cioè il peso $mvecg$ e il componente verticale della reazione della guida $vecV_H$ , che si fanno equilibrio. E questo è facile.

2) forze orizzontali , che sono due : la tensione $vec\Psi$ dovuta al filo e il componente orizzontale della reazione della guida $vecH_H$ , che occorre determinare.
Le forze orizzontali causano variazione della quantità di moto del disco nella direzione orizzontale. Infatti lo dice la prima equazione della dinamica : il risultante delle forze esterne causa variazione della q.d.m. del corpo a cui sono applicate. Il corpo da questo punto di vista si muove come se tutta la massa $m$ fosse concentrata nel CM, che ha velocità $vecv_C$ , quindi la qdm vale :

$vecQ = mvecv_C$

e percio, derivando $vecQ$ rispetto al tempo si trova l'accelerazione del CM del disco (moltiplicata per la massa, ovvio) : $dotvecQ = mdotvecv_c = mveca_c $ .

per la prima eq. cardinale , questa deve essere uguale a $vec\Psi + vecH_H$ . Proiettando tutto sull'asse $x$ , e tenendo presente la condizione di rotolamento puro : $a_c = ddot\theta*R$ , si ha la formula :

$mRddot\theta = \Psi + H_H $ che riporta il libro .

[Antonio_80]

Nav., ti ringrazio di cuore! Adesso è tutto chiaro!