Esercizio Riflessione Totale
ho problemi con un esercizio di riflessione totale, il cui testo è il seguente:
"Un raggio luminoso incide sulla base di un cilindro circolare retto di materiale trasparente con indice di rifrazione nv, l’indice di rifrazione del mezzo esterno (aria) sia 1. Affinché il raggio venga trasmesso lungo il cilindro (per qualunque angolo di incidenza sulla base) subendo riflessione totale sulla parete
laterale, si determini:
(a) il valore minimo di nv
..."
il link della consegna è il seguente (Problema 37):
http://personalpages.to.infn.it/~nardi/ ... O-15-5.pdf
nell'ultima pagina del link sono dati anche i risultati, e il punto a del problema ha come soluzione la radice di $sqrt(2)$
io ho provato a eguagliare l'angolo critico a quello in cui avviene riflessione totale, tenendo come incognita l'indice di rifrazione del materiale, solo che a un certo punto mi trovo una uguaglianza con sia da una parte che dall'altra tale indice a denominatore, risultando semplificabile.
Sbaglio sicuramente io qualcosa, ma dopo ore di scervellamento non ho ancora capito come fare.
Vi ringrazio per l'attenzione.
"Un raggio luminoso incide sulla base di un cilindro circolare retto di materiale trasparente con indice di rifrazione nv, l’indice di rifrazione del mezzo esterno (aria) sia 1. Affinché il raggio venga trasmesso lungo il cilindro (per qualunque angolo di incidenza sulla base) subendo riflessione totale sulla parete
laterale, si determini:
(a) il valore minimo di nv
..."
il link della consegna è il seguente (Problema 37):
http://personalpages.to.infn.it/~nardi/ ... O-15-5.pdf
nell'ultima pagina del link sono dati anche i risultati, e il punto a del problema ha come soluzione la radice di $sqrt(2)$
io ho provato a eguagliare l'angolo critico a quello in cui avviene riflessione totale, tenendo come incognita l'indice di rifrazione del materiale, solo che a un certo punto mi trovo una uguaglianza con sia da una parte che dall'altra tale indice a denominatore, risultando semplificabile.
Sbaglio sicuramente io qualcosa, ma dopo ore di scervellamento non ho ancora capito come fare.
Vi ringrazio per l'attenzione.
Risposte
Ciao, non ho capito bene il tuo procedimento (a proposito, il problema parla di riflessione totale, non rifrazione 
)
Comunque, l'esercizio ti chiede di determinare l'indice di rifrazione $n_v$ del cilindro in modo che i raggi trasmessi attraverso la base, una volta giunti sulla parete laterale, subiscano sempre riflessione totale, indipendentemente dall'angolo di incidenza.
In primo luogo, ti conviene osservare che al variare del l'angolo di incidenza $gamma_1$ sulla base del cilindro, varia anche l'angolo di trasmissione $gamma_2$ attraverso la base del cilindro, e perciò infine varia anche l'angolo di incidenza $gamma_3$ sulla parete laterale del cilindro.
A questo punto per risolvere il problema devi:
- determinare l'intervallo di valori in cui può variare $gamma_3$
- imporre che il valore di minimo di $gamma_3$ nell'intervallo, corrisponda all'angolo limite nel passaggio cilindro-aria
(in questo modo, $gamma_3$ risulterà sempre maggiore dell'angolo limite, e avrai sempre riflessione totale sulla parete laterale, come richiesto)
Risolvi l'equazione rispetto a $n_v$ e hai concluso
Un suggerimento: osserva che $gamma_3= \frac {pi} {2} - gamma_2$
)Comunque, l'esercizio ti chiede di determinare l'indice di rifrazione $n_v$ del cilindro in modo che i raggi trasmessi attraverso la base, una volta giunti sulla parete laterale, subiscano sempre riflessione totale, indipendentemente dall'angolo di incidenza.
In primo luogo, ti conviene osservare che al variare del l'angolo di incidenza $gamma_1$ sulla base del cilindro, varia anche l'angolo di trasmissione $gamma_2$ attraverso la base del cilindro, e perciò infine varia anche l'angolo di incidenza $gamma_3$ sulla parete laterale del cilindro.
A questo punto per risolvere il problema devi:
- determinare l'intervallo di valori in cui può variare $gamma_3$
- imporre che il valore di minimo di $gamma_3$ nell'intervallo, corrisponda all'angolo limite nel passaggio cilindro-aria
(in questo modo, $gamma_3$ risulterà sempre maggiore dell'angolo limite, e avrai sempre riflessione totale sulla parete laterale, come richiesto)
Risolvi l'equazione rispetto a $n_v$ e hai concluso
Un suggerimento: osserva che $gamma_3= \frac {pi} {2} - gamma_2$
ti ringrazio per la risposta e mi scuso per l'errore nel titolo (lo correggo subito).
Ho provato a seguire i tuoi consigli:
dall'equazione $γ_3 = π/2 - γ_2$ cerco di ricavarne il seno: $sinγ_3 = sin(π/2-γ_2)$.
Ora, detto $γ_L$ angolo limite, $sinγ_3 = sinγ_L$, per il problema. Poichè $sinγ_L = 1/n_v$ lo sarà anche $γ_3$.
$γ_2$ invece è dato dalla formula $frac{sinγ_1}{sinγ_2} = n_v$ da cui $γ_2 = sin^(-1)(sinγ_1/n_v)$.
Quindi l'equazione finale sarà $1/n_v = sin(π/2-sin^(-1)(sinγ_1/n_v))$.
E' corretto?
Ho provato a seguire i tuoi consigli:
dall'equazione $γ_3 = π/2 - γ_2$ cerco di ricavarne il seno: $sinγ_3 = sin(π/2-γ_2)$.
Ora, detto $γ_L$ angolo limite, $sinγ_3 = sinγ_L$, per il problema. Poichè $sinγ_L = 1/n_v$ lo sarà anche $γ_3$.
$γ_2$ invece è dato dalla formula $frac{sinγ_1}{sinγ_2} = n_v$ da cui $γ_2 = sin^(-1)(sinγ_1/n_v)$.
Quindi l'equazione finale sarà $1/n_v = sin(π/2-sin^(-1)(sinγ_1/n_v))$.
E' corretto?
Ottimo, ci sei quasi, c'è da fare solo una leggera modifica
Con questa equazione:
hai imposto che il seno di $gamma_3$ sia uguale al seno del l'angolo limite $gamma_L$
In realtà, la condizione va imposta considerando il valore minimo di $gamma_3$
Visto che $gamma_3 = π/2-sin^(-1)(sinγ_1/n_v)$ e che $0 < sin gamma_1 < 1$
il valore minimo di $gamma_3$ sarà $π/2-sin^(-1)(1/n_v)$
Così l'equazione diventa $ 1/n_v = sin(π/2-sin^(-1)(1/n_v)) $
Continua pure
Con questa equazione:
"brox_93":
Quindi l'equazione finale sarà $ 1/n_v = sin(π/2-sin^(-1)(sinγ_1/n_v)) $.
hai imposto che il seno di $gamma_3$ sia uguale al seno del l'angolo limite $gamma_L$
In realtà, la condizione va imposta considerando il valore minimo di $gamma_3$
Visto che $gamma_3 = π/2-sin^(-1)(sinγ_1/n_v)$ e che $0 < sin gamma_1 < 1$
il valore minimo di $gamma_3$ sarà $π/2-sin^(-1)(1/n_v)$
Così l'equazione diventa $ 1/n_v = sin(π/2-sin^(-1)(1/n_v)) $
Continua pure
ah ok, quindi ora grazie alla trigonometria so che:
$sin(π/2 - γ) = cos γ$ quindi avrò $cossin^(-1)(1/n_v) = sqrt(1- 1/n_v^2)$ quindi $1/n_v = sqrt(1- 1/n_v^2)$ elevando entrambi i membri dell'equazione ho $1/n_v^2=1-1/n_v^2$ quindi $n_v=sqrt(2)$.
Davvero mille grazie v3ct0r
. Senza il tuo aiuto non ne sarei mai uscito. Dammi il tuo indirizzo che vengo a baciarti 
.
$sin(π/2 - γ) = cos γ$ quindi avrò $cossin^(-1)(1/n_v) = sqrt(1- 1/n_v^2)$ quindi $1/n_v = sqrt(1- 1/n_v^2)$ elevando entrambi i membri dell'equazione ho $1/n_v^2=1-1/n_v^2$ quindi $n_v=sqrt(2)$.
Davvero mille grazie v3ct0r
. Senza il tuo aiuto non ne sarei mai uscito. Dammi il tuo indirizzo che vengo a baciarti .
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