Esercizio RG [Curvatura Cilindro]
Ciao a tutti,
ho iniziato poco fa a studiare Relatività Generale sul Misner: Gravitation.
Il primo esercizio che incontro è questo:
Io ho risolto (anche se in modo sbagliato) dicendo che la curvatura è data da:
$R=k_1k_2$ ($k_1$ e $k_2$ sono le curvature principali)
La sezione orizzontale è una circonferenza e quindi ha curvatura $k_1$, mentre la sezione verticale è una retta e quindi la curvatura è $k_2=0$
Quindi $R=0*k_1=0$
Però la mia dimostrazione (ma non so nemmeno se sia giusta) non rispetta la richiesta dell'esercizio, che chiede esplicitamente di mostrare che la curvatura è $0$ dimostrando che le geodetiche della superficie non "soffrono" di nessuna deviazione...
Vi ringrazio in anticipo, scusate se questa domanda è un po scema ma sono alle prime armi
abbiate pietà!
Buon natale a tutti quanti
EDIT: Ripensandoci un attimo potrei dire che sviluppando il cilindro su un piano, non cambia la distanza $\xi$ tra le geodediche, che sono parallele tra di loro.
Ciò significa che dalla seguente equazione:
$(d^2\xi)/(ds^2)+R\xi=0$
Si deduce subito che $R=0$ poichè solo per questo valore l'eguaglianza è verificata!
E' giusto secondo voi il mio ragionamento?
ho iniziato poco fa a studiare Relatività Generale sul Misner: Gravitation.
Il primo esercizio che incontro è questo:
Show that the Gaussian curvature $R$ of the surface of a cylinder is zero by showing that geodesics on the surface (unroll!!) suffer no geodesics deviation.
Io ho risolto (anche se in modo sbagliato) dicendo che la curvatura è data da:
$R=k_1k_2$ ($k_1$ e $k_2$ sono le curvature principali)
La sezione orizzontale è una circonferenza e quindi ha curvatura $k_1$, mentre la sezione verticale è una retta e quindi la curvatura è $k_2=0$
Quindi $R=0*k_1=0$
Però la mia dimostrazione (ma non so nemmeno se sia giusta) non rispetta la richiesta dell'esercizio, che chiede esplicitamente di mostrare che la curvatura è $0$ dimostrando che le geodetiche della superficie non "soffrono" di nessuna deviazione...
Vi ringrazio in anticipo, scusate se questa domanda è un po scema ma sono alle prime armi
abbiate pietà!Buon natale a tutti quanti
EDIT: Ripensandoci un attimo potrei dire che sviluppando il cilindro su un piano, non cambia la distanza $\xi$ tra le geodediche, che sono parallele tra di loro.
Ciò significa che dalla seguente equazione:
$(d^2\xi)/(ds^2)+R\xi=0$
Si deduce subito che $R=0$ poichè solo per questo valore l'eguaglianza è verificata!
E' giusto secondo voi il mio ragionamento?
Risposte
Secondo me è ok. Cono e cilindro hanno curvatura nulla...
Perfetto grazie mille.
Giustissimo grimx, come ha già detto Arrigo. Bravo!
Se "unroll" il cilindro, cioè lo sviluppi sul piano, sai che le geodetiche del piano sono segmenti di retta.
Se disegni quindi due segmenti sul piano, anche inclinati rispetto ai lati del cilindro ma paralleli tra loro, e poi riformi il cilindro, i due segmenti diventano sulla superficie del cilindro due pezzi di eliche cilindriche, giusto? Queste sono "linee geodetiche" della superficie cilindrica, e non perdono il parallelismo che avevano sul piano.
Perciò, la deviazione geodetica tra loro è nulla.
Si potrebbe fare pure un calcolo analitico, ma dovresti calcolare tutti i simboli di Christoffel, per poi calcolare le componenti del tensore di curvatura di Riemann…un lavoraccio inutile! Queste sono tutte nulle!
Piuttosto….se non sbaglio hai detto in un post precedente che sei un ragazzo di 15 anni…ma…ho letto male, hai scritto male…o sei un genio della Fisica e della Matematica
???
Il libro "Gravitation" è molto tosto, anche per fisici esperti…e tu studi la RG lí sopra !?!?!
C'è qualcosa di più semplice in giro.
Se "unroll" il cilindro, cioè lo sviluppi sul piano, sai che le geodetiche del piano sono segmenti di retta.
Se disegni quindi due segmenti sul piano, anche inclinati rispetto ai lati del cilindro ma paralleli tra loro, e poi riformi il cilindro, i due segmenti diventano sulla superficie del cilindro due pezzi di eliche cilindriche, giusto? Queste sono "linee geodetiche" della superficie cilindrica, e non perdono il parallelismo che avevano sul piano.
Perciò, la deviazione geodetica tra loro è nulla.
Si potrebbe fare pure un calcolo analitico, ma dovresti calcolare tutti i simboli di Christoffel, per poi calcolare le componenti del tensore di curvatura di Riemann…un lavoraccio inutile! Queste sono tutte nulle!
Piuttosto….se non sbaglio hai detto in un post precedente che sei un ragazzo di 15 anni…ma…ho letto male, hai scritto male…o sei un genio della Fisica e della Matematica
??? Il libro "Gravitation" è molto tosto, anche per fisici esperti…e tu studi la RG lí sopra !?!?!
C'è qualcosa di più semplice in giro.
Sì, grimx è un fenomeno !!! Direi più unico che raro ed è giusto che sia di dominio pubblico. Se poi l'Italia fosse un paese serio, grimx sarebbe già tenuto in considerazione dalle istituzioni scientifiche.
@navigatore: grazie.mille per la risposta, come sempre illuminante!
@anonymous_af8479: esageri! Non sono nessuno io! Ti ringrazio comunque! Buone feste a tutti
@anonymous_af8479: esageri! Non sono nessuno io! Ti ringrazio comunque! Buone feste a tutti
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