Esercizio Relatività su contrazione lunghezze e composizione velocità
Salve,
purtroppo non sono sicuro su come procedere sul seguente esercizio di relatività:
Per un osservatore a Terra, una flotta di astronavi è disposta in una formazione di lunghezza D = 109 m e si muovono con velocità $ v\_1 $ = 0.8 c. L’astronave messaggera deve portare una comunicazione fondamentale dal fondo della flotta al fronte e si muove, sempre per un osservatore a Terra, con velocità $ v\_2 $ = 0.95 c. Determinare il tempo che impiega la nave messaggera a raggiungere il fronte della flotta, secondo un osservatore a Terra, secondo il comandante della flotta e secondo il comandante della nave messaggera.
Per quanto riguarda l'osservatore a Terra ho fatto così:
v = velocità del messaggero rispetto al comandante nel sistema di riferimento Terra
$ v = v\_2-v\_1=0,15c $
$ t=D/v=22s $
Per quanto riguarda "l'osservatore comandante":
per la contrazione delle lunghezze:
$ x'=D/gamma =D/sqrt(1-(v\_1/c)^2)=5,99*10^8m $
per la composizione delle velocità:
u = velocità del messaggero rispetto al comandante nel sistema di riferimento del comandante
$ u=(v\_2-v\_1)/(1-(v\_1*v\_2)/c^2)=0,63c $
$ t'=(x')/u=9,5s $
Non sono troppo sicuro di aver fatto giusto il procedimento e non riesco a trovare la legge di composizione delle velocità per l'ultimo osservatore. Qualcuno riuscirebbe a darmi qualche suggerimento?
Grazie mille in anticipo per le risposte.
purtroppo non sono sicuro su come procedere sul seguente esercizio di relatività:
Per un osservatore a Terra, una flotta di astronavi è disposta in una formazione di lunghezza D = 109 m e si muovono con velocità $ v\_1 $ = 0.8 c. L’astronave messaggera deve portare una comunicazione fondamentale dal fondo della flotta al fronte e si muove, sempre per un osservatore a Terra, con velocità $ v\_2 $ = 0.95 c. Determinare il tempo che impiega la nave messaggera a raggiungere il fronte della flotta, secondo un osservatore a Terra, secondo il comandante della flotta e secondo il comandante della nave messaggera.
Per quanto riguarda l'osservatore a Terra ho fatto così:
v = velocità del messaggero rispetto al comandante nel sistema di riferimento Terra
$ v = v\_2-v\_1=0,15c $
$ t=D/v=22s $
Per quanto riguarda "l'osservatore comandante":
per la contrazione delle lunghezze:
$ x'=D/gamma =D/sqrt(1-(v\_1/c)^2)=5,99*10^8m $
per la composizione delle velocità:
u = velocità del messaggero rispetto al comandante nel sistema di riferimento del comandante
$ u=(v\_2-v\_1)/(1-(v\_1*v\_2)/c^2)=0,63c $
$ t'=(x')/u=9,5s $
Non sono troppo sicuro di aver fatto giusto il procedimento e non riesco a trovare la legge di composizione delle velocità per l'ultimo osservatore. Qualcuno riuscirebbe a darmi qualche suggerimento?
Grazie mille in anticipo per le risposte.
Risposte
Ah ok, quindi l'unica differenza tra il punto 2) e il punto 3) sarebbe solo la distanza $ x''= D/(gamma ') $ , con:
$ gamma '=1/(sqrt(1-(v\_2/c)^2) $
corretto?
$ gamma '=1/(sqrt(1-(v\_2/c)^2) $
corretto?
Ho cancellato la precedente risposta, bisogna ripensarci meglio.
Ecco la risposta corretta.
Il primo punto è giusto: rispetto all’osservatore a terra, basta dividere la D per la differenza tra $v_m$ e $v_c$ , ma i dati e/o i risultati mi sembrano errati, verifica quei 22s...
Per il secondo punto, devi dapprima fare la composizione relativistica delle velocità, e sia $ u$ la velocità così composta. A questo valore di u corrisponde un certo fattore $gamma(u)$ di Lorentz. Con questo fattore trovi la lunghezza contratta $D_c=D/\gamma$ ; e quindi il tempo della nave M per arrivare a C è dato dal rapporto $D_c/u$.
Per il terzo punto, basta considerare che i moti sono relativi, quindi la velocità relativa tra M e C è la stessa in modulo, cioè il modulo di $u$ , cambia solo il verso. Ma non cambia il fattore $ gamma$ e quindi la lunghezza contratta . Il tempo è uguale.
Ecco la risposta corretta.
Il primo punto è giusto: rispetto all’osservatore a terra, basta dividere la D per la differenza tra $v_m$ e $v_c$ , ma i dati e/o i risultati mi sembrano errati, verifica quei 22s...
Per il secondo punto, devi dapprima fare la composizione relativistica delle velocità, e sia $ u$ la velocità così composta. A questo valore di u corrisponde un certo fattore $gamma(u)$ di Lorentz. Con questo fattore trovi la lunghezza contratta $D_c=D/\gamma$ ; e quindi il tempo della nave M per arrivare a C è dato dal rapporto $D_c/u$.
Per il terzo punto, basta considerare che i moti sono relativi, quindi la velocità relativa tra M e C è la stessa in modulo, cioè il modulo di $u$ , cambia solo il verso. Ma non cambia il fattore $ gamma$ e quindi la lunghezza contratta . Il tempo è uguale.
Ho cancellato la prima risposta, hai notato? L’ultima è quella buona. Il tuo messaggio delle 22:44 è comparso dopo, i moderatori devono controllare prima di pubblicare i messaggi dei neo iscritti.
Sisi ho visto, grazie mille per il consiglio.
Si effettivamente volevo rispondere al tuo primo messaggio ma è stato approvata quando lo avevi già cancellato
Si effettivamente volevo rispondere al tuo primo messaggio ma è stato approvata quando lo avevi già cancellato
Per i dati ho visto ora che ho messo $ D=109m $ quando in realtà era $ D=10^9m $
Volevo ben dire! Comunque l’importante è aver capito i ragionamenti che stanno dietro alla soluzione. 
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