Esercizio relatività, diverse soluzioni
Ciao a tutti sono alle prese con un esercizio, che ho svolto, ma in modo molto diverso da come è svolto sul libro, sono però sicuro di non aver sbagliato, ecco l'esercizio e la mia soluzione:
Un muone decade in $t_0=2.2 \mus$, trovare la velocità minima che consente al muone di percorrere $L_0=100 km$
allora per un sistema di referimento a riposo rispetto al muone vale $t=\gamma t_0$ e $L_0=\betac\gamma t_0=\betact$, da cui
ponendo praticamente $t=t$ si ha $1/(sqrt(1-\beta^2))t_0= L_0/(\beta c)$, che risolta rispetto a $\beta$ ci permette di calcolare la velocità.
L'approccio del libro è totalmente differente e impone a prescindere che la velocità del muone sia mooolto prossima a $c$, ma se c'è un errore nel mio ragionamento vi sarei grato se me lo faceste notare.
Un muone decade in $t_0=2.2 \mus$, trovare la velocità minima che consente al muone di percorrere $L_0=100 km$
allora per un sistema di referimento a riposo rispetto al muone vale $t=\gamma t_0$ e $L_0=\betac\gamma t_0=\betact$, da cui
ponendo praticamente $t=t$ si ha $1/(sqrt(1-\beta^2))t_0= L_0/(\beta c)$, che risolta rispetto a $\beta$ ci permette di calcolare la velocità.
L'approccio del libro è totalmente differente e impone a prescindere che la velocità del muone sia mooolto prossima a $c$, ma se c'è un errore nel mio ragionamento vi sarei grato se me lo faceste notare.
Risposte
"angeloferrari":
Un muone decade in $t_0=2.2 \mus$, trovare la velocità minima che consente al muone di percorrere $L_0=100 km$
allora per un sistema di referimento a riposo rispetto al muone vale $t=\gamma t_0$ e $L_0=\betac\gamma t_0=\betact$,
Chiariamo : il tempo assegnato $t_0$ è il tempo proprio di vita del muone, mentre $L_0 = 100 km$ è la distanza misurata dall'osservatore terrestre. Quindi $t = \gammat_0$ è il tempo coordinato.
Non puoi dire quello che ho evidenziato in rosso. LA vita del muone è $t = \gammat_0$ nel riferimento coordinato, nel quale il muone è in moto, non è in quiete !
L'osservatore terrestre dice che il muone percorre la distanza "di quiete" $L_0$ nel tempo coordinato $t = \gammat_0$ (cioè, nel tempo del proprio orologio) con una velocità : [size=150]$v = L_0/t = L_0/(\gammat_0)$[/size] . Da qui si ricava che :
[size=150]$\gamma*v = L_0/t_0$[/size] , dove il secondo membro è noto.
Elevando al quadrato si ha : [size=150]$v^2/(1-(v/c)^2) = (L_0/t_0)^2$[/size]
e con vari passaggi algebrici si trova : [size=150]$v^2 =(L_0/t_0)^2/(1 + 1/c^2(L_0/t_0)^2) $[/size]
Sostituendo i numeri dati, io trovo : $ v^2 = 8.9994*10^(10) ((km)/s)^2 $
e quindi : $v = 2.9999 * 10^5 (km)/s$ , che è un valore molto prossimo a $c$ .
Risulta : $\gamma = 122. 475$. (NB : ho modificato un po' il calcolo, perché era impreciso e dava un valore di $\gamma$ troppo basso)
In altro modo, si può fare considerando l'intervallo spaziotemporale invariante tra i due eventi :
A = emissione del muone
B = decadimento del muone
e scrivendo l'intervallo nei due riferimenti, quello del muone e quello del laboratorio terrestre.
Come fa il tuo libro ?
"navigatore":
[quote="angeloferrari"]
Un muone decade in $ t_0=2.2 \mus $, trovare la velocità minima che consente al muone di percorrere $ L_0=100 km $
allora per un sistema di referimento a riposo rispetto al muone vale $ t=\gamma t_0 $ e $ L_0=\betac\gamma t_0=\betact $,
Chiariamo : il tempo assegnato $ t_0 $ è il tempo proprio di vita del muone, mentre $ L_0 = 100 km $ è la distanza misurata dall'osservatore terrestre. Quindi $ t = \gammat_0 $ è il tempo coordinato.
Non puoi dire quello che ho evidenziato in rosso. LA vita del muone è $ t = \gammat_0 $ nel riferimento coordinato, nel quale il muone è in moto, non è in quiete ! [/quote]
Grazie per la precisazione, spero sia stato solo un errore dialettico da parte mia e non una incomprensione.
L'osservatore terrestre dice che il muone percorre la distanza "di quiete" $ L_0 $ nel tempo coordinato $ t = \gammat_0 $ (cioè, nel tempo del proprio orologio) con una velocità : [size=150]$ v = L_0/t = L_0/(\gammat_0) $[/size] . Da qui si ricava che :
[size=150]$ \gamma*v = L_0/t_0 $[/size] , dove il secondo membro è noto.
Elevando al quadrato si ha : [size=150]$ v^2/(1-(v/c)^2) = (L_0/t_0)^2 $[/size]
e con vari passaggi algebrici si trova : [size=150]$ v^2 =(L_0/t_0)^2/(1 + 1/c^2(L_0/t_0)^2) $[/size]
Sostituendo i numeri dati, io trovo : $ v^2 = 8.961*10^(10) ((km)/s)^2 $
e quindi : $ v = 2.99 * 10^5 (km)/s $ , che è un valore molto prossimo a $ c $ .
Risulta : $ \gamma = 12. 257 $.
In altro modo, si può fare considerando l'intervallo spaziotemporale invariante tra i due eventi :
A = emissione del muone
B = decadimento del muone
e scrivendo l'intervallo nei due riferimenti, quello del muone e quello del laboratorio terrestre.
Grazie per la soluzione, che mi sembra più semplice della mia e hai anche calcolato i valori, resta la mia domanda, la mia è valida? se no dove è la falla?
Come fa il tuo libro ?
Cito più o meno testuale: Se il muone viaggia a una velocità molto prossima a $c$ il tempo occorrente per raggiungere la Terra dall'alta atmosfera(i $100 km$) sarà:
$\Deltat=L_0=/c=(100 km)/(3,00*10^8 m/s)= 333 \mus$
Nel sistema di riferimento della terra il muone deve sopravvivere per almeno $333 \mus$. troviamo così la velocità capace di dilatare la vita media dal suo proprio valore proprio $\Deltat_0$
$333 \mus= (2.2 \mu s)/sqrt(1-u^2/c^2)$ e risolvendo rispetto a $u^2$
Credo che siano equivalenti dato che dalla mia uguaglianza di partenza si arriva facilmente alla tua di partenza. Aspetto una tua opinione sulla soluzione del libro. 
LA tua soluzione e la mia non sono differenti, sono la stessa soluzione: basta che vai avanti nei passaggi e te ne accorgi.
LA soluzione del libro non mi piace. È troppo disinvolta, secondo me, e non evidenzia nel modo dovuto le differenze tra i due riferimenti, quello del muone e quello del laboratorio.
A proposito, il muone dal suo punto di vista percorre nel tempo proprio di $2.2*10^-6 s $ e con velocità $v = 2.9999*10^5 (km)/s$ uno spazio di soli $2.2*2.9999*10^-1 km = 0.6599 km = 660 m$ circa prima di decadere.
Questo valore dovrebbe essere uguale a $L_0 / \gamma = (100 km)/(122. 475) = 0.816 km = 816 m $ , ma ne differisce un po' per inevitabili approssimazioni di calcolo : quando $v$ è molto prossima a $c$ , è molto difficile calcolare esattamente il valore di $\gamma$ . Si possono commettere errori anche per un fattore $10$ e più .
Meglio calcolare la distanza percorsa come prodotto della velocità per il tempo proprio.
LA soluzione del libro non mi piace. È troppo disinvolta, secondo me, e non evidenzia nel modo dovuto le differenze tra i due riferimenti, quello del muone e quello del laboratorio.
A proposito, il muone dal suo punto di vista percorre nel tempo proprio di $2.2*10^-6 s $ e con velocità $v = 2.9999*10^5 (km)/s$ uno spazio di soli $2.2*2.9999*10^-1 km = 0.6599 km = 660 m$ circa prima di decadere.
Questo valore dovrebbe essere uguale a $L_0 / \gamma = (100 km)/(122. 475) = 0.816 km = 816 m $ , ma ne differisce un po' per inevitabili approssimazioni di calcolo : quando $v$ è molto prossima a $c$ , è molto difficile calcolare esattamente il valore di $\gamma$ . Si possono commettere errori anche per un fattore $10$ e più .
Meglio calcolare la distanza percorsa come prodotto della velocità per il tempo proprio.
Grazie mille anche per l'ultimo punto, che era tra l'altro richiesto come seconda parte dell'esercizio dall'esercizio.
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