Esercizio relatività
Ciao, è da poco che ho deciso di approcciarmi allo studio della RS. On-line mi sono imbattuto in questo esercizio che mi sta dando parecchi grattacapi:
Dimostra che se $U^{\mu} U_{\mu}$ è una costante allora
$\frac {dU^1dU^2dU^3} {U_0}$
è un invariante relativistico.
Ho provato un po' a giochicchiare con l'algebra, ma non sono giunto a nulla di rilevante. Qualcuno avrebbe qualche suggerimento per incanalarmi sulla giusta strada ?
Grazie.
PS: inoltre sono confuso perché il testo dell'esercizio riporta il denominatore come covariante, mentre in altri testi che ho trovato è riportate come controvariante. E' un errore di stampa ?
Dimostra che se $U^{\mu} U_{\mu}$ è una costante allora
$\frac {dU^1dU^2dU^3} {U_0}$
è un invariante relativistico.
Ho provato un po' a giochicchiare con l'algebra, ma non sono giunto a nulla di rilevante. Qualcuno avrebbe qualche suggerimento per incanalarmi sulla giusta strada ?
Grazie.
PS: inoltre sono confuso perché il testo dell'esercizio riporta il denominatore come covariante, mentre in altri testi che ho trovato è riportate come controvariante. E' un errore di stampa ?
Risposte
Chi è $U^\mu$ ? La quadrivelocità di una particella ? cioè :
$U^\mu = (gammac , gammavecu) $ , scritta per componenti ?
E quindi $U^\mu U_\mu $ è la norma della 4-velocità : $U^\mu U_\mu = (gammac)^2 - (gamma vecu)^2 = c^2$, come puoi vedere direttamente applicando la regola, oppure calcolando per componenti il prodotto tensoriale, con la metrica di Minkowski. Qui la segnatura è $ (+,-,-,-)$ devi “abbassare” le componenti spaziali con la metrica $\eta_(munu) $ per trovare le componenti covarianti .
MA non ha proprio senso la domanda, per me; cioè “se... allora “ ; infatti la quantità $U^\mu U_\mu $ è gia di per se un invariante relativistico , è la norma di un 4-vettore , e potrebbe essere un qualunque 4-vettore nello ST di Minkowski , per esempio un 4-impulso: la norma è invariante , non ci sono “se” e “ma” , l’indice è saturato.
Quindi il problema per me non si pone.
Comunque al denominatore ci andrebbe la $U^0$ . Ma con la segnatura adottata le due componenti co- e controvarianti sono uguali , non cambia il segno, cambia il concetto...
$U^\mu = (gammac , gammavecu) $ , scritta per componenti ?
E quindi $U^\mu U_\mu $ è la norma della 4-velocità : $U^\mu U_\mu = (gammac)^2 - (gamma vecu)^2 = c^2$, come puoi vedere direttamente applicando la regola, oppure calcolando per componenti il prodotto tensoriale, con la metrica di Minkowski. Qui la segnatura è $ (+,-,-,-)$ devi “abbassare” le componenti spaziali con la metrica $\eta_(munu) $ per trovare le componenti covarianti .
MA non ha proprio senso la domanda, per me; cioè “se... allora “ ; infatti la quantità $U^\mu U_\mu $ è gia di per se un invariante relativistico , è la norma di un 4-vettore , e potrebbe essere un qualunque 4-vettore nello ST di Minkowski , per esempio un 4-impulso: la norma è invariante , non ci sono “se” e “ma” , l’indice è saturato.
Quindi il problema per me non si pone.
Comunque al denominatore ci andrebbe la $U^0$ . Ma con la segnatura adottata le due componenti co- e controvarianti sono uguali , non cambia il segno, cambia il concetto...
Ciao Shakle. Per come l'ho intesa io $u$ è un quadrivettore generico. Il problema ti chiede, "se questo quadrivettore ha la proprietà di avere un modulo costante... Allora segue....". Io l'ho intesa così.
Comunque questo esercizio l'ho beccato girovagando su internet mentre cercavo una dimostrazione che $\frac {d^3 p} {p^0}$ è un invariante relativistico (dove con p intendo il quadrimpulso).
Ho trovato una dimostrazione carina dove però si fanno i calcoli in maniera esplicita e controllando che effettivamente era un invariante. Però speravo in qualcosa di più generico così, cercando ancora, mi sono imbattuto in un libro "relativistc hydrodynamics" in cui la dimostrazione veniva lasciata al lettore, affermando che era una diretta conseguenza dell'esercizio di sopra riportato.
Spero di aver fatto chiarezza.
Comunque questo esercizio l'ho beccato girovagando su internet mentre cercavo una dimostrazione che $\frac {d^3 p} {p^0}$ è un invariante relativistico (dove con p intendo il quadrimpulso).
Ho trovato una dimostrazione carina dove però si fanno i calcoli in maniera esplicita e controllando che effettivamente era un invariante. Però speravo in qualcosa di più generico così, cercando ancora, mi sono imbattuto in un libro "relativistc hydrodynamics" in cui la dimostrazione veniva lasciata al lettore, affermando che era una diretta conseguenza dell'esercizio di sopra riportato.
Spero di aver fatto chiarezza.
Ho trovato una dimostrazione carina dove però si fanno i calcoli in maniera esplicita e controllando che effettivamente era un invariante
Faccela vedere, cosí noi ignoranti impariamo qualcosa, dai
!
Dovrebbe star considerando un sistema di riferimento che si muove con velocità $v$ lungo l'asse $x$.
PS: tra l'altro essendo $p^{\mu}p_{\mu}$ la massa (che è una costante ed è pure un invariante, ma correggimi se sbaglio perché ho iniziato a studiare SR da pochi giorni) le ipotesi dell'esercizio che avevo proposto sono rispettate.
PS: tra l'altro essendo $p^{\mu}p_{\mu}$ la massa (che è una costante ed è pure un invariante, ma correggimi se sbaglio perché ho iniziato a studiare SR da pochi giorni) le ipotesi dell'esercizio che avevo proposto sono rispettate.
Si, $p^\mup_\mu$ è la norma del 4-impulso , quindi è uguale alla massa ( al quadrato) a meno del fattore $c$ , ed è invariante, come si vede dalla normalizzazione. Nel foglio che hai allegato, le 18, 19, 20 sono le trasformazioni di Lorentz applicate a $dp^\mu$ , la prima è la trasformazione della componente temporale , le altre tre sono le trasformazioni delle componenti spaziali; il moto è lungo l’asse $x$ , infatti le componenti lungo $y$ e $z$ non cambiano.
Ma non so in quale contesto va inquadrato il risultato.
Ma non so in quale contesto va inquadrato il risultato.
"Shackle":
Ma non so in quale contesto va inquadrato il risultato.
Non capisco. E' un esercizio. Ti chiede di dire se quel differenziale è un invariante relativistico. Se ti chiedi dove ho preso quei calcoli: scrivendo su google "invaraince of $d^3p$ " dopo un pomeriggio ho trovato questo paper su una funzione di distribuzione (meccanica statistica) relativistica
https://arxiv.org/pdf/0707.2499.pdf
Il senso è che se la distanza, intesa come norma del quadrivettore, è invariante allora è invariante anche la sua misura relativa che per intenderci è sostanzialmente il volume tridimensionale o meglio l'elemento infinitesimo relativo (appunto la misura)
@ZerOmega potresti, se hai tempo, approfondire il tuo commento o linkare qualche resource perché non l'ho capito molto. Intanto non capisco bene il significato di "misura relativa" e perché sembra essere definito come la parte spaziale del quadrivettore "normalizzata" secondo la componente temporale (questo è quello che mi sembra). Non capisco il collegamento. Non trovo nemmeno il collegamento (intuitivo) tra l'invarianza del modulo e l'invarianza di questa "misura relativa".
Inoltre già che ci sono, sarei grato se mi aiutaste a chiarire il passaggio (25), (26) e successivi. Sembra che l'autore abbia fatto un prodotto "vettoriale" considerando $dp^x$, $dp^y$ e $dp^z$ ortogonali. E' corretto ?
Inoltre già che ci sono, sarei grato se mi aiutaste a chiarire il passaggio (25), (26) e successivi. Sembra che l'autore abbia fatto un prodotto "vettoriale" considerando $dp^x$, $dp^y$ e $dp^z$ ortogonali. E' corretto ?
Freniamo un momento, ragazzi.
In relatività speciale ( ma anche “localmente” in RG , dove in un riferimento inerziale locale vale la RR ) la norma di un quadrivettore è invariante ; lo spaziotempo è quello piatto di Minkowski, la metrica è $eta_(munu) = diag (1,-1,-1,-1) $ ( coord. cartesiane per lo spazio) . Ci siamo ? Copio e incollo da un vecchio post questo :
Quindi per me l’ipotesi “ se la norma di un 4-vettore è invariante....” non sussiste proprio. La norma di un 4-vettore è invariante, punto e basta!
La questione sollevata da chi ha scritto l’articolo è diversa, credo , ed ha a che fare con la trasformazione della funzione di distribuzione, come spiegato asciuttamente ma chiaramente nelle pagine del Landau- Lifschitz che allego :
Ci siamo fin qui ? Detto nelle mie povere parole, e semplificando al massimo il concetto : dato un volume $V$ in un certo riferimento, che contiene un certo numero di particelle $N$ tutte solidali con V e quindi in quiete rispetto a V , se si osserva il volume da un riferimento in moto relativo rispetto a quello dato esso apparirà contratto nella direzione del moto relativo :
$V’ = V/\gamma$
e il motivo è molto semplice : supponiamo che il volume sia un cubo di lato $L$ , messo con uno spigolo sull’asse $x$ di un OI . Se il cubo è in moto relativo rispetto ad un altro osservatore inerziale O’ nella direzione di $x$ , la lunghezza $L$ dello spigolo risulta contratta rispetto a questo osservatore. Quindi $L’ = L/\gamma$ . Quindi il volume del cubo, rispetto a O’ , risulta contratto per lo stesso fattore $1/\gamma$ . E’ chiaro ?
Ma il numero di particelle contenuto nel cubo è sempre lo stesso , quindi rispetto a O’ la densità delle particelle , intesa come rapporto tra $N$ e il volume, è maggiore per l’OI rispetto al quale il cubo è in moto , essendo il volume più piccolo :
$rho’*V’ = rho*V = N $
Questo vuol dire, in definitiva , il Landau. Insomma, il numero delle particelle non cambia, e quindi è invariante anche la “funzione di distribuzione” nello spazio delle fasi, se proprio vogliamo fare i difficili . Ma lasciamo a Landau il ruolo di “difficile” .
La conservazione del “numero di particelle” per volume dato è alla base del concetto di tensore energia-impulso, e della divergenza tensoriale identicamente nulla di questo tensore.
Ecco che ora sto facendo io il difficile...
In relatività speciale ( ma anche “localmente” in RG , dove in un riferimento inerziale locale vale la RR ) la norma di un quadrivettore è invariante ; lo spaziotempo è quello piatto di Minkowski, la metrica è $eta_(munu) = diag (1,-1,-1,-1) $ ( coord. cartesiane per lo spazio) . Ci siamo ? Copio e incollo da un vecchio post questo :
Faccio un brevissimo cenno a come si fa il prodotto scalare tra due quadrivettori $A^\mu$ e $B^\nu$ nello spaziotempo piatto della RR , dotato della metrica di Minkowski in coordinate pseudo-euclidee $\eta_(\mu\nu) = diag (1,-1,-1,-1)$ (il primo è il componente temporale, gli altri tre sono spaziali).
In componenti, i due quadrivettori sono : $A^\mu = (A^0,A^1,A^2,A^3) $ , e $ B^\nu = (B^0,B^1,B^2,B^3) $ .
Il prodotto scalare si esegue, tenendo presente che il tensore metrico è diagonale e occorre sommare su indici ripetuti di co- e contro- varianza (convenzione di Einstein), con la formula :
$vecA*vecB = \eta _(\mu\nu) A^\muB^\nu = \eta_(00)A^0B^0 + \eta_(11)A^1B^1 + \eta_(22)A^2B^2 + \eta_(33)A^3B^3 = +A^0B^0 - A^1B^1 - A^2B^2 - A^3B^3 $ .
Alla stessa maniera si trova la norma di un quadrivettore dato . La norma in questo modo può risultare positiva, e allora il 4-vettore è di tipo tempo; nulla, e allora il 4-vettore è di tipo luce ; negativa, e allora il 4-vettore è di tipo spazio.
Questo perché la metrica non è euclidea ma pseudo euclidea.
Alcuni adottano la convenzione opposta per la segnatura della metrica.
Quindi per me l’ipotesi “ se la norma di un 4-vettore è invariante....” non sussiste proprio. La norma di un 4-vettore è invariante, punto e basta!
La questione sollevata da chi ha scritto l’articolo è diversa, credo , ed ha a che fare con la trasformazione della funzione di distribuzione, come spiegato asciuttamente ma chiaramente nelle pagine del Landau- Lifschitz che allego :
Ci siamo fin qui ? Detto nelle mie povere parole, e semplificando al massimo il concetto : dato un volume $V$ in un certo riferimento, che contiene un certo numero di particelle $N$ tutte solidali con V e quindi in quiete rispetto a V , se si osserva il volume da un riferimento in moto relativo rispetto a quello dato esso apparirà contratto nella direzione del moto relativo :
$V’ = V/\gamma$
e il motivo è molto semplice : supponiamo che il volume sia un cubo di lato $L$ , messo con uno spigolo sull’asse $x$ di un OI . Se il cubo è in moto relativo rispetto ad un altro osservatore inerziale O’ nella direzione di $x$ , la lunghezza $L$ dello spigolo risulta contratta rispetto a questo osservatore. Quindi $L’ = L/\gamma$ . Quindi il volume del cubo, rispetto a O’ , risulta contratto per lo stesso fattore $1/\gamma$ . E’ chiaro ?
Ma il numero di particelle contenuto nel cubo è sempre lo stesso , quindi rispetto a O’ la densità delle particelle , intesa come rapporto tra $N$ e il volume, è maggiore per l’OI rispetto al quale il cubo è in moto , essendo il volume più piccolo :
$rho’*V’ = rho*V = N $
Questo vuol dire, in definitiva , il Landau. Insomma, il numero delle particelle non cambia, e quindi è invariante anche la “funzione di distribuzione” nello spazio delle fasi, se proprio vogliamo fare i difficili . Ma lasciamo a Landau il ruolo di “difficile” .
La conservazione del “numero di particelle” per volume dato è alla base del concetto di tensore energia-impulso, e della divergenza tensoriale identicamente nulla di questo tensore.
Ecco che ora sto facendo io il difficile...
"Shackle":
“ se la norma di un 4-vettore è invariante....” non sussiste proprio. La norma di un 4-vettore è invariante, punto e basta!
Ovvio. Ma infatti l'esercizio dice "se la norma del quadrivettore è costante" (cosa che me per ha un significato diverso!).
Dopo finisco di leggere il post, adesso non ho troppo tempo. Grazie comunque
Aggiungo quanto segue , circa il calcolo di lunghezze, aree , volumi, in funzione della metrica dello spazio :
Può sembrare ovvio , naturalmente. MA è bene precisare certi concetti , che a volte sfuggono.
Che cosa è un 4-vettore di modulo costante per te?
Può sembrare ovvio , naturalmente. MA è bene precisare certi concetti , che a volte sfuggono.
Che cosa è un 4-vettore di modulo costante per te?
La pagina del Landau è esattamente ciò che intendevo per invarianza della misura di volume, nè più né meno.
"Shackle":
Che cosa è un 4-vettore di modulo costante per te?
Potrei dire una castroneria però se ho un quadrivettore $A$ e ne prendo io modulo
$A^{\mu}A_{\mu} = B$
Allora sono sicuri che B è una grandezza invariante. Tutto via posso avere due casi:
1) B è un numero, tipo 10. In questo caso il suo differenziale fa 0
2) B è una grandezza generica che so solo essere invariante. In questo caso il suo differenziale non deve necessariamente fare 0.
Comunque non ho ancora avuto tempo di leggere le pagine che hai linkato. A breve lo farò
Non preoccuparti di dire castronerie, c’è stata e c’è ancora gente che ne dice tante, e molto gravi. Ma qui si dovrebbe chiacchierare come tra amici, senza preoccuparsi troppo. Quindi vai avanti tranquillo.
LA norma di un 4-vettore è una grandezza fisica, quindi c’è un numero e una unità di misura. Per esempio, la norma di un 4-vettore velocità é semplicemente $c$, e come tutte le velocità ha un valore, un modulo, accompagnato da una unità di misura. La norma di un 4-impulso, ormai dovresti averlo visto da solo, è $mc$ , quindi è una “quantità di moto” , ovvero massa (a meno di $c$) , ovvero energia di quiete, ti pare ? E cosí via.
Che cosa vuoi differenziare ?
LA norma di un 4-vettore è una grandezza fisica, quindi c’è un numero e una unità di misura. Per esempio, la norma di un 4-vettore velocità é semplicemente $c$, e come tutte le velocità ha un valore, un modulo, accompagnato da una unità di misura. La norma di un 4-impulso, ormai dovresti averlo visto da solo, è $mc$ , quindi è una “quantità di moto” , ovvero massa (a meno di $c$) , ovvero energia di quiete, ti pare ? E cosí via.
Che cosa vuoi differenziare ?
Mhm no forse mi sto confondendo... In questo momento mi trovo in accordo con quello che dici, ma allora non capisco la consegna del problema.
Per completezza riporto lo screen dell'esercizio:
tratto da "Relativistic Hydrodynamics" Rezzolla, Zanotti - pag 67.
Allora la premessa è superflua ?
Per completezza riporto lo screen dell'esercizio:
tratto da "Relativistic Hydrodynamics" Rezzolla, Zanotti - pag 67.
Allora la premessa è superflua ?
Mah, che posso dirti... A volte è questione di interpretazione. In Landau mi pare che non ci sia nulla del genere.
A meno che l’autore non pensi invece ad una velocità , o un 4-vettore qualsiasi, variabile col tempo ....potrebbe anche essere cosi , in generale : $U^\alpha = U^\alpha(t)$ . Ma la norma non sarebbe variabile nel tempo perché vale sempre $mc$ nel caso di un 4-impulso.
Se invece interpretiamo : “ visto che la norma è costante...” , segue la tesi. Forse è questa la spiegazione
Ecco perchè sarebbe opportuno conoscere il contesto, come dicevo all’inizio.
SE vuoi esercizi di RR , ce ne sono a bizeffe sul web . Proprio in questo dovevi andare a parare, ora che sei all’inizio?
Ad esempio :
https://www.phas.ubc.ca/~mcmillan/rqpdf ... tivity.pdf
https://www1.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/practice/
https://oyc.yale.edu/sites/default/file ... ions_4.pdf
Quelli di Takeuchi sono abbastanza impegnativi .
A meno che l’autore non pensi invece ad una velocità , o un 4-vettore qualsiasi, variabile col tempo ....potrebbe anche essere cosi , in generale : $U^\alpha = U^\alpha(t)$ . Ma la norma non sarebbe variabile nel tempo perché vale sempre $mc$ nel caso di un 4-impulso.
Se invece interpretiamo : “ visto che la norma è costante...” , segue la tesi. Forse è questa la spiegazione
Ecco perchè sarebbe opportuno conoscere il contesto, come dicevo all’inizio.
SE vuoi esercizi di RR , ce ne sono a bizeffe sul web . Proprio in questo dovevi andare a parare, ora che sei all’inizio?
Ad esempio : https://www.phas.ubc.ca/~mcmillan/rqpdf ... tivity.pdf
https://www1.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/practice/
https://oyc.yale.edu/sites/default/file ... ions_4.pdf
Quelli di Takeuchi sono abbastanza impegnativi .
Grazie Shackle. Per oea stop leggendo nel tempo libero "Manuale di RR" di Maurizio Gasperini. Contiene in totale 18 esercizi che spero di finire prima o poi. A parte la notazione inusuale di prendere come tensore metrico (111-1) non mi sembra male. L'esercizio che ho postato invece non fa parte del libro. L'ho trovato on line per caso.
Eh sì, questo intendevo
"Shakle":
A meno che l’autore non pensi invece ad una velocità , o un 4-vettore qualsiasi, variabile col tempo ....potrebbe anche essere cosi , in generale : Uα=Uα(t) . Ma la norma non sarebbe variabile nel tempo perché vale sempre mc nel caso di un 4-impulso.
Eh sì, questo intendevo
Il libro di Gasperini è molto buono. Ce ne sono altri sul web , basta cercare . Per esempio le dispense di Harris , ma anche di molti autori italiani : Colferai, Boschetto, Casalbuoni...e tantissimi altri. Nei link che ti ho dato ci sono pure delle note, di Shankar e di Takeuchi .
si, ho capito che cosa intendevi. Ma una particella di massa $m$ , qualunque sia la sua velocità , ha sempre lo stesso modulo del 4-impulso $mc$ . Quindi non so che dirti . Ho fatto questa foto :
dal libro "Una formula cambia il mondo “ di Harald Fritsch , dove l’autore immagina un colloquio tra Newton, Einstein e un tale Haller ( l’autore stesso), in cui Einstein spiega la relatività ristretta a Newton...
Nella foto, tutti i vettori che partono dall’origine e vanno a finire sull’iperbole invariante che interseca l’asse dei tempi hanno la stessa lunghezza nella geometria iperbolica del piano di Minkowski , che con le unità di misura ivi riportate vale $1s$ .
Ma si potrebbe indicare, sull’asse verticale , il componente temporale del 4-impulso $gammamc$ , di conseguenza sull’asse orizzontale si dovrebbe riportare il componente spaziale $gammamv$ . LA “norma” (al quadrato) , con la regola di calcolo valida in geometria iperbolica , vale sempre :$ (gammamc)^2 - (gammamv)^2 = (mc)^2 $ , quindi il punto origine del ramo di iperbole sull’asse verticale è sempre $mc$.
Da qui non si scappa. Quindi non mi spiego l’arcano. Leggi comunque le pagine di Landau, che non mi pare contengano “ se ....allora” .
Eh sì, questo intendevo
si, ho capito che cosa intendevi. Ma una particella di massa $m$ , qualunque sia la sua velocità , ha sempre lo stesso modulo del 4-impulso $mc$ . Quindi non so che dirti . Ho fatto questa foto :
dal libro "Una formula cambia il mondo “ di Harald Fritsch , dove l’autore immagina un colloquio tra Newton, Einstein e un tale Haller ( l’autore stesso), in cui Einstein spiega la relatività ristretta a Newton...
Nella foto, tutti i vettori che partono dall’origine e vanno a finire sull’iperbole invariante che interseca l’asse dei tempi hanno la stessa lunghezza nella geometria iperbolica del piano di Minkowski , che con le unità di misura ivi riportate vale $1s$ .
Ma si potrebbe indicare, sull’asse verticale , il componente temporale del 4-impulso $gammamc$ , di conseguenza sull’asse orizzontale si dovrebbe riportare il componente spaziale $gammamv$ . LA “norma” (al quadrato) , con la regola di calcolo valida in geometria iperbolica , vale sempre :$ (gammamc)^2 - (gammamv)^2 = (mc)^2 $ , quindi il punto origine del ramo di iperbole sull’asse verticale è sempre $mc$.
Da qui non si scappa. Quindi non mi spiego l’arcano. Leggi comunque le pagine di Landau, che non mi pare contengano “ se ....allora” .
Si ho capito cosa dici. Forse l'autore voleva semplicemente dare una dimostrazione generale valida per qualsiasi grandezza con quelle caratteristiche. Comunque grazie per tutto il materiale, avrò un bel da fare nei prossimo futuro
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