Esercizio Quantità di Moto
Salve a tutti! E' la prima volta che scrivo su questo forum. Avrei bisogno di una mano su come svolgere questo esercizio:
Un ragazzo di 50kg sale su un carrello di 12kg, posto su un piano orizzontale privo di attrito, portando con sé 100 pietre di 0,1 kg. Egli lancia le pietre orizzontalmente dalla parte posteriore del carrello, una alla volta, con la velocità di 10 m/s rispetto ad esso. Quante pietre dovrà lanciare il ragazzo affinché il carrello raggiunga la velocità di 0,62 m/s ?
Io ho fatto così:
Dati:
$ v = 10m/s $
$ c = 12 kg $
$ r = 50kg $
$ m = 0.1kg $
$ N = 100 $
La quantità di moto del sistema iniziale è 0 quindi:
$ 0 = (c + r + (N - 1)m)V + mv $
Allora:
$ V = -(m/(c+r+(N-1)m))v $
Chiamo $ M $ la massa del sistema dopo ogni lancio:
$ M=c+r+(N-n)m = P-nm $
Quindi dopo il secondo lancio (Assumendo come verso positivo quello in cui si lancia il mattone) avrò:
$ (P-m)(-V)=(P-2m)V1+m(v-V) $
Poi non so come continuare... Grazie in anticipo a chi mi darà una mano!
Un ragazzo di 50kg sale su un carrello di 12kg, posto su un piano orizzontale privo di attrito, portando con sé 100 pietre di 0,1 kg. Egli lancia le pietre orizzontalmente dalla parte posteriore del carrello, una alla volta, con la velocità di 10 m/s rispetto ad esso. Quante pietre dovrà lanciare il ragazzo affinché il carrello raggiunga la velocità di 0,62 m/s ?
Io ho fatto così:
Dati:
$ v = 10m/s $
$ c = 12 kg $
$ r = 50kg $
$ m = 0.1kg $
$ N = 100 $
La quantità di moto del sistema iniziale è 0 quindi:
$ 0 = (c + r + (N - 1)m)V + mv $
Allora:
$ V = -(m/(c+r+(N-1)m))v $
Chiamo $ M $ la massa del sistema dopo ogni lancio:
$ M=c+r+(N-n)m = P-nm $
Quindi dopo il secondo lancio (Assumendo come verso positivo quello in cui si lancia il mattone) avrò:
$ (P-m)(-V)=(P-2m)V1+m(v-V) $
Poi non so come continuare... Grazie in anticipo a chi mi darà una mano!
Risposte
All'istante in cui il carrello raggiunge la velocità di $0,62 m/s$ per il principio della conservazione della quantità di moto dovrà essere $(c+r+m*n)*0,62+(100-n)mv=0$ dove $n$ è il numero di pietre rimaste sul carrello.
Risolvi questa equazione nell'icognita $n$ e sei a posto.
Cordialmente, Alex
Risolvi questa equazione nell'icognita $n$ e sei a posto.
Cordialmente, Alex
Grazie della risposta.
Anche io ero giunto al tuo stesso risultato ma poi mi sono accorto che quello che avevo scritto va bene se il ragazzo lanciasse le pietre nello stesso istante. Ma il ragazzo lancia le pietre una alla volta. Quindi la mia domande è questa: è la stessa cosa lanciare tutte le pietre nello stesso istante e lanciare una pietra alla volta? Se sì, perché?
Grazie in anticipo, Francesco
Anche io ero giunto al tuo stesso risultato ma poi mi sono accorto che quello che avevo scritto va bene se il ragazzo lanciasse le pietre nello stesso istante. Ma il ragazzo lancia le pietre una alla volta. Quindi la mia domande è questa: è la stessa cosa lanciare tutte le pietre nello stesso istante e lanciare una pietra alla volta? Se sì, perché?
Grazie in anticipo, Francesco
Scusa, ma avevo letto che le lancia "una volta sola" e non "una alla volta" ... 
.
No, non è lo stesso.
Anche perchè la velocità di lancio delle pietre è relativa al carrello non al sistema di riferimento (relativamente al quale la quantità di moto inziale è zero).
Quindi ogni volta che lancia una pietra la variazione della quantità di moto del carrello è diversa (quanto meno rispetto al sistema di riferimento).
Mi pare complicato ...
.No, non è lo stesso.
Anche perchè la velocità di lancio delle pietre è relativa al carrello non al sistema di riferimento (relativamente al quale la quantità di moto inziale è zero).
Quindi ogni volta che lancia una pietra la variazione della quantità di moto del carrello è diversa (quanto meno rispetto al sistema di riferimento).
Mi pare complicato ...
classico caso di sistema a massa variabile
$M_0=(50+12+10)kg=72kg$ massa iniziale
$V_R=10m/s$ velocità del sistema rispetto alla pietra lanciata
$V_f=0,62m/s$ velocità finale del carrello
per la conservazione della quantità di moto totale(somma algebrica della quantità di moto del sistema e della pietra lanciata),si ha
$M(dV)/(dt)+(dM)/(dt)V_R=0$
$-(dM)/M=(dV)/V_R$
$ -int_(0)^(t) (dM)/M=1/V_Rint_(0)^(t) dV $
$ln(M_0/M)=V/V_R$
$V=V_Rln(M_0/M)$
risolviamo l'equazione $V_f=V_Rln(M_0/M)$ rispetto all'incognita $M$
vi risparmio i passaggi;la soluzione è
$M=M_0e^(-V_f/V_R)$
M è circa uguale a 67,67 Kg
$(72-67,67)/(0,1)=43,3$
al $44°$ sasso viene raggiunto l'obiettivo
consiglierei al ragazzo di farsi dare una spinta
$M_0=(50+12+10)kg=72kg$ massa iniziale
$V_R=10m/s$ velocità del sistema rispetto alla pietra lanciata
$V_f=0,62m/s$ velocità finale del carrello
per la conservazione della quantità di moto totale(somma algebrica della quantità di moto del sistema e della pietra lanciata),si ha
$M(dV)/(dt)+(dM)/(dt)V_R=0$
$-(dM)/M=(dV)/V_R$
$ -int_(0)^(t) (dM)/M=1/V_Rint_(0)^(t) dV $
$ln(M_0/M)=V/V_R$
$V=V_Rln(M_0/M)$
risolviamo l'equazione $V_f=V_Rln(M_0/M)$ rispetto all'incognita $M$
vi risparmio i passaggi;la soluzione è
$M=M_0e^(-V_f/V_R)$
M è circa uguale a 67,67 Kg
$(72-67,67)/(0,1)=43,3$
al $44°$ sasso viene raggiunto l'obiettivo
consiglierei al ragazzo di farsi dare una spinta
Scusatemi, ma ditemi dove sbaglio ...
Il ragazzo sul carrello ogni volta che lancia una pietra vede diminuire la sua quantità di moto di $1$ (dato che $m_p*v_p=10*0.1=1$.
Quindi la variazione della quantità di moto del ragazzo, del carrello e del carico sarà $-1$ e poi $-2$ e poi $-3$ e così via ...
Al raggiungimento della velocità di $-0.62 m/s$ la variazione della quantità di moto sarà pari a $-n$, dove $n$ è il numero delle pietre lanciate; ma la variazione della quantità di moto del carrello col suo carico è pari anche a $q_f-q_i=-0.62*(50+12+(100-n)*0.1)-0$.
Uguagliando e semplificando otteniamo $-38,44-6.2+0.062*n=-n => -44.64=-n(1+0.062) => n=44.64/1.062=42.0339$
Cordialmente, Alex
Il ragazzo sul carrello ogni volta che lancia una pietra vede diminuire la sua quantità di moto di $1$ (dato che $m_p*v_p=10*0.1=1$.
Quindi la variazione della quantità di moto del ragazzo, del carrello e del carico sarà $-1$ e poi $-2$ e poi $-3$ e così via ...
Al raggiungimento della velocità di $-0.62 m/s$ la variazione della quantità di moto sarà pari a $-n$, dove $n$ è il numero delle pietre lanciate; ma la variazione della quantità di moto del carrello col suo carico è pari anche a $q_f-q_i=-0.62*(50+12+(100-n)*0.1)-0$.
Uguagliando e semplificando otteniamo $-38,44-6.2+0.062*n=-n => -44.64=-n(1+0.062) => n=44.64/1.062=42.0339$
Cordialmente, Alex
Credo che l'errore sia nel fatto che 10 m/s è la velocità che il sasso prende nel sistema di riferimento del carrello, che però è un sistema accelerato, quindi la velocità di 10 m/s viene raggiunta con il contributo dell'impulso del ragazzo e dell'impulso della forza apparente agente sul sasso. Mentre in un sistema inerziale fermo a terra inizialmente sasso e ragazzo hanno la stessa velocità, poi l'impulso del ragazzo fa variare la quantità di moto del sasso fino a farlo arrivare ad una velocità tale che la sua differenza vettoriale con la velocità presa dal carrello sia 10 m/s, ma questo vuol dire che la differenza con al velocità iniziale del carrello e del ragazzo non è 10 m/s
Il carrello non è accelerato. Prima del lancio ha una velocità costante, dopo il lancio ne ha un'altra ma sempre costante.
Dato che non ci sono forze esterne che agiscono sul sistema, la quantità di moto si conserva; e quindi se la velocità del sasso è costante non si capisce perché dovrebbe variare quella del carrello (tra un lancio e l'altro intendo, NON nel momento del lancio che è assimilabile all'inverso di un urto totalmente anelastico, analogo ad un'esplosione).
Sicuramente la velocità del sasso è diversa da $10 m/s$ per un osservatore terrestre fisso, ma il mio ragionamento non coinvolge questo elemento.
Cordialmente, Alex
Dato che non ci sono forze esterne che agiscono sul sistema, la quantità di moto si conserva; e quindi se la velocità del sasso è costante non si capisce perché dovrebbe variare quella del carrello (tra un lancio e l'altro intendo, NON nel momento del lancio che è assimilabile all'inverso di un urto totalmente anelastico, analogo ad un'esplosione).
Sicuramente la velocità del sasso è diversa da $10 m/s$ per un osservatore terrestre fisso, ma il mio ragionamento non coinvolge questo elemento.
Cordialmente, Alex
Può darsi che mi sbagli, ma, indipendentemente dal fatto che il carrello sia accelerato o meno, come hai scritto anche tu il carrello "Prima del lancio ha una velocità costante, dopo il lancio ne ha un'altra ma sempre costante". A dover dare 10 m/s è la differenza vettoriale tra la velocità del sasso dopo il lancio e la velocità del carrello dopo il lancio (per un osservatore fermo a terra). La variazione della quantità di moto del sasso invece è data dal prodotto della massa del sasso per la variazione di velocità dello stesso. Questa variazione di velocità è data dalla differenza vettoriale tra la velocità del sasso dopo il lancio e la velocità del sasso prima del lancio. Quest'ultima non è la stessa velocità che ha il carrello dopo il lancio, quindi la variazione di velocità del sasso è minore di 10 m/s, e la variazione di quantità di moto del sasso risulta minore di 1. Per la conservazione della quantità di moto la variazione di quantità di moto del carrello deve risultare uguale alla variazione di quantità di moto del sasso, e dunque dev'essere anch'essa minore di 1.
@step98
Premesso che penso di aver capito l'errore che ho fatto, quello che tu dici è corretto ma il ragionamento mio era diverso; ho provato a risolvere il problema "evitando" le diverse velocità che il carrello assume dopo ogni lancio.
E mi spiego:
Ho affermato che la variazione della quantità di moto "vista" dal ragazzo sul carrello dopo ogni lancio è uguale a $-1$, e quindi dopo $n$ lanci la variazione della quantità di moto sarà pari a $-n$.
Questo è corretto.
Altrettanto corretta è l'affermazione che la variazione della quantità di moto del carrello col suo carico, vista da un osservatore fisso è $p_f$ $-$ $p_1=(M_c+M_r+(100-n)*m)*v_f$ $-$ $0=(50+12+(100-n)*0.1)*(-0.62)$
Fino qui tutto giusto.
L'errore sta nell'averle considerate come equivalenti, mentre NON lo sono.
Io le ho considerate uguali perché partivo dal presupposto che due sistemi inerziali (in moto relativo costante fra loro)vedranno velocità diverse dello stesso oggetto , ma vedranno la stessa variazione di velocità e quindi la stessa variazione della quantità di moto.
Peccato che il moto tra i due sistemi (carrello ed osservatore fisso) pur essendo costante per la gran parte del tempo, non sia costante dall'inizio alla fine dell'esperimento.
Spero di essermi fatto capire ...
Cordialmente, Alex
Premesso che penso di aver capito l'errore che ho fatto, quello che tu dici è corretto ma il ragionamento mio era diverso; ho provato a risolvere il problema "evitando" le diverse velocità che il carrello assume dopo ogni lancio.
E mi spiego:
Ho affermato che la variazione della quantità di moto "vista" dal ragazzo sul carrello dopo ogni lancio è uguale a $-1$, e quindi dopo $n$ lanci la variazione della quantità di moto sarà pari a $-n$.
Questo è corretto.
Altrettanto corretta è l'affermazione che la variazione della quantità di moto del carrello col suo carico, vista da un osservatore fisso è $p_f$ $-$ $p_1=(M_c+M_r+(100-n)*m)*v_f$ $-$ $0=(50+12+(100-n)*0.1)*(-0.62)$
Fino qui tutto giusto.
L'errore sta nell'averle considerate come equivalenti, mentre NON lo sono.
Io le ho considerate uguali perché partivo dal presupposto che due sistemi inerziali (in moto relativo costante fra loro)vedranno velocità diverse dello stesso oggetto , ma vedranno la stessa variazione di velocità e quindi la stessa variazione della quantità di moto.
Peccato che il moto tra i due sistemi (carrello ed osservatore fisso) pur essendo costante per la gran parte del tempo, non sia costante dall'inizio alla fine dell'esperimento.
Spero di essermi fatto capire ...
Cordialmente, Alex
Peccato che il moto tra i due sistemi (carrello ed osservatore fisso) pur essendo costante per la gran parte del tempo, non sia costante dall'inizio alla fine dell'esperimento.
Forse mi sono espresso male, ma era proprio ciò che intendevo dire quando affermavo che il carrello non era un riferimento inerziale.
"step98":Peccato che il moto tra i due sistemi (carrello ed osservatore fisso) pur essendo costante per la gran parte del tempo, non sia costante dall'inizio alla fine dell'esperimento.
Forse mi sono espresso male, ma era proprio ciò che intendevo dire quando affermavo che il carrello non era un riferimento inerziale.
Beh, adesso l'hai espresso in modo chiaro
Ma prima si capiva (o meglio, io capivo) che consideravi il carrello sempre accelerato (mentre lo è a intermittenza, se così si può dire ... e quindi è un riferimento inerziale a intermittenza
)Quello che (probabilmente) mi "sviava" era proprio il fatto che le quantità di moto le calcoli a velocità costanti.
Voglio aggiungere solo una cosa curiosa; quando ho letto la soluzione di raf85, mi è tornato in mente un capitolo che avevo letto sulla propulsione dei razzi. L'equazione citata da raf85, di fatto, rappresenta una situazione in cui abbiamo una variazione continua di massa o quanto meno a step infinitesimali, mentre nel nostro caso la situazione è più discreta.
Ho fatto quindi una simulazione in Excel per vedere la differenza tra il risultato di quell'equazione e quello di un calcolo step by step; bene, i risultati sono praticamente uguali: al $43°$ sasso la velocità è $0.615 m/s$ e al $44°$ sasso è $0.63 m/s$
Cordialmente, Alex
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