Esercizio Pulsazione Moto Armonico
Ciao ragazzi, mi servirebbe una mano sul terzo punto del secondo esercizio:
Vi scrivo le soluzioni (in grassetto quelle del terzo punto):
Allora anzitutto non mi trovo con la velocità angolare massima, in quanto non capisco perché nell'equazione della conservazione dell'energia meccanica il prof non moltiplica l'energie cinetiche del corpo M e della carrucola per 1/2.
Io infatti ho impostato così:
$MgR = 1/2 ((6MR^2)/2)omega^2 + 1/2 M omega^2 R^2 + Mg (R/2)+ 1/2k(R/2)^2$
Facendo così mi trovo $omega = sqrt(g/(8R))$
Inoltre non capisco come abbia fatto a trovare la pulsazione dall'equazione di moto...
Grazie mille!
Vi scrivo le soluzioni (in grassetto quelle del terzo punto):
Allora anzitutto non mi trovo con la velocità angolare massima, in quanto non capisco perché nell'equazione della conservazione dell'energia meccanica il prof non moltiplica l'energie cinetiche del corpo M e della carrucola per 1/2.
Io infatti ho impostato così:
$MgR = 1/2 ((6MR^2)/2)omega^2 + 1/2 M omega^2 R^2 + Mg (R/2)+ 1/2k(R/2)^2$
Facendo così mi trovo $omega = sqrt(g/(8R))$
Inoltre non capisco come abbia fatto a trovare la pulsazione dall'equazione di moto...
Grazie mille!
Risposte
Anche se non è specificato, immagino che la fune sia perfettamente aderente alla carrucola fissa.
Credo di si, quindi? In che modo trova la pulsazione?
Non ho guardato la soluzione. Orientando un asse verticale verso il basso con origine coincidente con la posizione iniziale del corpo puntiforme:
Insomma, utilizzando le altre tre equazioni, si tratta di esprimere $T_1$ nella prima in funzione di $x$:
$\{(M(d^2x)/(dt^2)=Mg-T_1),(3MR^2(d^2\theta)/(dt^2)=T_1R-T_2R),(T_2=kx),(x=R\theta):}$
Insomma, utilizzando le altre tre equazioni, si tratta di esprimere $T_1$ nella prima in funzione di $x$:
$[T_1=3M(d^2x)/(dt^2)+kx] rarr [4M(d^2x)/(dt^2)+kx=Mg] rarr [\omega=1/2sqrt(k/M)]$
Ok, quindi praticamente ti sei ricondotto all'equazione del moto armonico e di conseguenza hai ricavato la pulsazione , giusto?
Soltanto una cosa non mi è chiara, l'equazione del moto armonico è in generale:
$ (d^2 x)/(dt^2) + omega x = 0$
In questo caso invece a secondo membro non si ha un termine nullo ma un valore( Mg). Quest'ultimo non va dunque considerato?
Ti ringrazio!
Soltanto una cosa non mi è chiara, l'equazione del moto armonico è in generale:
$ (d^2 x)/(dt^2) + omega x = 0$
In questo caso invece a secondo membro non si ha un termine nullo ma un valore( Mg). Quest'ultimo non va dunque considerato?
Ti ringrazio!
"BigDummy":
... ti sei ricondotto all'equazione del moto armonico e di conseguenza hai ricavato la pulsazione ...
Certamente.
"BigDummy":
... a secondo membro non si ha un termine nullo ...
Quel termine costante comporta solamente uno spostamento della posizione di equilibrio. Insomma, l'ascissa del centro di oscillazione, invece di essere $[x=0]$, è:
$[4M(d^2x)/(dt^2)+kx=Mg] ^^ [(d^2x)/(dt^2)=0] rarr [x=(Mg)/k]$
Ma con posizione di equilibrio si intende il centro dell'oscillazione oppure è una cosa diversa?
Se fosse la prima , la posizione di equilibrio non dovrebbe essere R/2 ?(visto che so che all'inizio la molla non è deformata e alla fine è deformata di R)
Inoltre perché per il calcolo della pulsazione perché hai utilizzato questa $rarr [4M(d^2x)/(dt^2)+kx=Mg]$, piuttosto che quest'altra
$ rarr [T_1=3M(d^2x)/(dt^2)+kx]$ ?
Se fosse la prima , la posizione di equilibrio non dovrebbe essere R/2 ?(visto che so che all'inizio la molla non è deformata e alla fine è deformata di R)
Inoltre perché per il calcolo della pulsazione perché hai utilizzato questa $rarr [4M(d^2x)/(dt^2)+kx=Mg]$, piuttosto che quest'altra
$ rarr [T_1=3M(d^2x)/(dt^2)+kx]$ ?
"BigDummy":
Ma con posizione di equilibrio si intende il centro dell'oscillazione ...
Premesso che la posizione di equilibrio è anche il centro dell'oscillazione, se il corpo puntiforme arriva con velocità nulla a toccare il terreno, per la conservazione dell'energia meccanica:
$[MgR=1/2kR^2] rarr [(Mg)/k=R/2]$
"BigDummy":
... perché hai utilizzato questa ... piuttosto che quest'altra ...
Perché nell'equazione differenziale sottostante:
$T_1=3M(d^2x)/(dt^2)+kx$
la tensione $T_1$ è incognita e può essere determinata solo dopo aver integrato l'equazione del moto.
Chiarissimo, grazie mille!
Ti rompo ancora un po' le scatole se permetti.
Da questo sistema di equazioni:
Avrei potuto ricavarmi la velocità angolare massima?(magari dalla pulsazione che ho trovato)
Oppure devo per forza fare il ragionamento sulla conservazione dell'energia meccanica?(che fa il prof nelle soluzioni)
Ti rompo ancora un po' le scatole se permetti.
Da questo sistema di equazioni:
$\{(M(d^2x)/(dt^2)=Mg-T_1),(3MR^2(d^2\theta)/(dt^2)=T_1R-T_2R),(T_2=kx),(x=R\theta):}$
Avrei potuto ricavarmi la velocità angolare massima?(magari dalla pulsazione che ho trovato)
Oppure devo per forza fare il ragionamento sulla conservazione dell'energia meccanica?(che fa il prof nelle soluzioni)
Dopo aver risolto l'equazione differenziale con le opportune condizioni iniziali:
puoi determinare $T_1$, $T_2$ e $\theta$ in funzione del tempo. In particolare, per quanto riguarda la velocità angolare:
Se sei interessato alla velocità angolare massima:
$[4M(d^2x)/(dt^2)+kx=Mg] ^^ [x(0)=0] ^^ [(dx)/(dt)(0)=0] rarr$
$rarr [x(t)=-(Mg)/kcos(1/2sqrt(k/M)t)+(Mg)/k]$
puoi determinare $T_1$, $T_2$ e $\theta$ in funzione del tempo. In particolare, per quanto riguarda la velocità angolare:
$[\theta(t)=-(Mg)/(kR)cos(1/2sqrt(k/M)t)+(Mg)/(kR)] rarr [(d\theta)/(dt)(t)=1/2g/Rsqrt(M/k)sin(1/2sqrt(k/M)t)]$
Se sei interessato alla velocità angolare massima:
$[t=\pisqrt(M/k)] rarr [((d\theta)/(dt))_(max)=1/2g/Rsqrt(M/k)=sqrt(g/(8R))]$
Grazie mille!!
Ultima cosa , sapresti dirmi o linkarmi del materiale online che spieghi bene come risolvere l'equazione differenziale del moto armonico?
Intanto cerco qualcosa io online (o qui sul forum)..
Ti ringrazio ancora!
Ultima cosa , sapresti dirmi o linkarmi del materiale online che spieghi bene come risolvere l'equazione differenziale del moto armonico?
Intanto cerco qualcosa io online (o qui sul forum)..
Ti ringrazio ancora!
A proposito, hai trovato qualcosa?
No, sto cercando qualcosa di chiaro...
Anche perché se imparo a risolvere l'equazione del moto armonico nei diversi casi , praticamente so tutto quello che mi potrebbe venir chiesto agli esami, no? Pulsazione, velocità angolare ecc..
Potrei utilizzarla quando non mi vengono in mente ragionamenti come quello che ha fatto il professore per trovare $omega$.
Sbaglio?
Anche perché se imparo a risolvere l'equazione del moto armonico nei diversi casi , praticamente so tutto quello che mi potrebbe venir chiesto agli esami, no? Pulsazione, velocità angolare ecc..
Potrei utilizzarla quando non mi vengono in mente ragionamenti come quello che ha fatto il professore per trovare $omega$.
Sbaglio?
La soluzione delle equazioni differenziali la trovi ben trattata su internet (**** mi sembra che sia abbastanza buono).
Ma per quel che serve a te, l'equazione differenziale del moto armonico ha pochissimi casi pratici in fisica.
Normalmente si trova nella forma
$ddotx+k/mx=F(t)$
Con F(t) una funzione del tempo che puo essere costante (molte volte degenera in $F(t)=0$), sinusoidale (e' il caso degli oscillatori armonici eccitati). Raramente trovi altre forme.
In tutti questi casi, la soluzione generale dell'equazione e' sempre la stessa $x=Acos(omegat+phi)$, con $A$ e $phi$ dipendenti dalle condizioni iniziali.
Per quanto riguarda la soluzione particolare, essa dipende ovviamente da F(t). Ad esempio, se F(t)=C, la soluzione particolare e' anche essa una costante (chiamamola $beta$, quindi la soluzione dell'equazione sara' la somma di soluzione generale e di soluzione particolare
$x=Acos(omegat+phi)+beta$.
$beta$ si determina derivando la soluzione qui sopra e sostituendo in $ddotx+k/mx=F(t)$
E' meglio che tu ti riguardi bene, su ****, le equazioni differenziali, perche' gran parte della Fisica e' basata sulla risoluzione di queste. Non si puo', in un post di questo forum, esaurire un argomento cosi vasto.
L'esercizio resta comunque basilare, perche' le equazioni differenziali non hanno un metodo meccanico di risoluzione (come per esempio succede per le equazioni di secondo grado), ma molto e' dovuto all'intuito di chi risolve, uan capacita' che si acquista solo con la pratica.
Ma per quel che serve a te, l'equazione differenziale del moto armonico ha pochissimi casi pratici in fisica.
Normalmente si trova nella forma
$ddotx+k/mx=F(t)$
Con F(t) una funzione del tempo che puo essere costante (molte volte degenera in $F(t)=0$), sinusoidale (e' il caso degli oscillatori armonici eccitati). Raramente trovi altre forme.
In tutti questi casi, la soluzione generale dell'equazione e' sempre la stessa $x=Acos(omegat+phi)$, con $A$ e $phi$ dipendenti dalle condizioni iniziali.
Per quanto riguarda la soluzione particolare, essa dipende ovviamente da F(t). Ad esempio, se F(t)=C, la soluzione particolare e' anche essa una costante (chiamamola $beta$, quindi la soluzione dell'equazione sara' la somma di soluzione generale e di soluzione particolare
$x=Acos(omegat+phi)+beta$.
$beta$ si determina derivando la soluzione qui sopra e sostituendo in $ddotx+k/mx=F(t)$
E' meglio che tu ti riguardi bene, su ****, le equazioni differenziali, perche' gran parte della Fisica e' basata sulla risoluzione di queste. Non si puo', in un post di questo forum, esaurire un argomento cosi vasto.
L'esercizio resta comunque basilare, perche' le equazioni differenziali non hanno un metodo meccanico di risoluzione (come per esempio succede per le equazioni di secondo grado), ma molto e' dovuto all'intuito di chi risolve, uan capacita' che si acquista solo con la pratica.
Va bene , grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo