Esercizio principio di sovrapposizione

[ludwigZero]

Voglio tentar di capire cosa non vada nel mio ragionamento in questo esercizio (che è ben diverso dallo svolgimento del libro...)

testo:

Due cariche puntiformi positive uguali sono separate da una distanza 2a. Sul piano ortogonale alla congiungente le due cariche e passante per il centro C della congiungente stessa, determinare il luogo dei punti in cui il campo elettrico è massimo.

$q_1$ sta in $r_1 = (x_1, y_1, z_1) = (-a,0,0)$
$q_2$ sta in $r_2 = (x_2, y_2, z_2) = (a,0, 0)$

$OP = a tg \theta $ $r_2 = (x_3, y_3, z_3) = (0,a tg \theta,0)$

$|r_3 - r_1| = ((x_3 - x_1)^2 + (y_3 -y_1)^2 +(z_3 - z_1)^2)^(1/2) = |a| sqrt(1+tg^2 \theta) = \delta$

$|r_3 - r_2| = ((x_3 - x_2)^2 + (y_3 -y_2)^2 +(z_3 - z_2)^2)^(1/2) = |a| sqrt(1+tg^2 \theta)$


$E = E_1 + E_2 = 1/(4 \pi \epsilon_0) Q/(|r_3 - r_1|)^3 (r_3 - r_1) + 1/(4 \pi \epsilon_0) Q/(|r_3 - r_2|)^3 (r_3 - r_1)$

$E = E_1 + E_2 = 1/(4 \pi \epsilon_0) Q/\delta^3 (a,a tg \theta,0)*(i,j,k) + 1/(4 \pi \epsilon_0) Q/\delta^3 (-a,a tg \theta,0)*(i,j,k)$

sull'asse x, si annullano per simmetria
sull'asse z, non c'è carica...
rimane tutto sull'asse y (come mi aspettavo)

$E = 1/(4 \pi \epsilon_0) Q/(|a| sqrt(1+tg^2 \theta))^3 2a* tg \theta j$

per trovar il massimo dovrei far la derivata lungo $j$ rispetto a \theta e porla uguale a 0, in quanto $a$ è un parametro mobile, ma è da \theta che insomma dipende la lunghezza di applicazione su $q_3$
ora se io dovessi far approssimazione a \theta piccoli e dunque
$sin \theta == tan \theta$

posso affermare che è max per $\theta = 45°$? quindi verrebbe
$OP = a/sqrt(2)

ho trovato 2\3 svolgimenti ''diversi'' apparentemente cercando su internet e nessun oche sia uguale al mio, quindi penso che c'è qualche errore nel mio sicuro xD
potete dirmi dove ho sbagliato?
grazie

[Quinzio]

Scusa, ma come fai a dire per per angoli piccoli fai l'approssimazione $sin\theta=tan\theta$ e poi concludi che $\theta =45°$ ??
Sembri uno dei miei colleghi ingegneri che nel controllo motore devono valutare la tangente di un angolo e la approssimano con l'angolo, e poi si scopre che l'angolo arriva fino a 20°. Aiuto.

C'è qualcosa che stride, non trovi ?

Io direi di fare così:

la forza elettrostatica è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, quindi scriviamo

$F_1=1/(a^2+r^2)$

è il teorema di Pitagora. Ci sarebbe ovviamente una costante di mezzo ma ce ne freghiamo, visto che cerchiamo un massimo, quindi non ci importa quanto grande è questo massimo.

Poi dobbiamo tenere solo la componente orizzontale della forza. Con un po' di similitudine fra triangoli abbiamo che la componente orizzontale è

$F=F_1(r)/(\sqrt(a^2+r^2))=(r)/((a^2+r^2)^(3/2))$

quindi deriviamo...

$F'= ((a^2+r^2)^(3/2)-3r^2(\sqrt(a^2+r^2)))/((a^2+r^2)^3)=(a^2-2r^2)/((a^2+r^2)^(5/2))$

Ora $F'=0$ per $r=a/\sqrt2$ e abbiamo finito.