Esercizio potenza e tempo
Ciao, non si fosse capito dai miei vari messaggi mi sto avvicinando ad un esame. 
Esercizio: Il motore di un’automobile non eroga potenza quando l’auto è ferma. La potenza cresce linearmente con la velocità fino a raggiungere il valore massimo di 100 kW quando ha una velocità pari a 50 m/s. Considerando l’auto come un punto materiale di massa m=1500 kg e l’attrito dell’aria F=−y V con y=40, calcolare il tempo necessario all’auto per raggiungere la velocità di 100 km/h (27,7m/s) partendo da ferma e la distanza percorsa dall’auto.
Trovo la forza del motore dividendo la potenza massima per la velocità massima, F=2000N, moltiplicando questa per 27,7 m/s dovrei avere la potenza in quel momento, giusto?
Se considero L=T2-T1 (energia cinetica) che è pari all'integrale della potenza nel tempo, come considero che c'è anche l'attrito? Sostituendo l'integrale di FV-yV in dt non saprei se integrare come Vt. Ho provato vari modi di integrale ma tornano risultati strani osservando quanto spazio percorre nel tempo che risulta.
Esercizio: Il motore di un’automobile non eroga potenza quando l’auto è ferma. La potenza cresce linearmente con la velocità fino a raggiungere il valore massimo di 100 kW quando ha una velocità pari a 50 m/s. Considerando l’auto come un punto materiale di massa m=1500 kg e l’attrito dell’aria F=−y V con y=40, calcolare il tempo necessario all’auto per raggiungere la velocità di 100 km/h (27,7m/s) partendo da ferma e la distanza percorsa dall’auto.
Trovo la forza del motore dividendo la potenza massima per la velocità massima, F=2000N, moltiplicando questa per 27,7 m/s dovrei avere la potenza in quel momento, giusto?
Se considero L=T2-T1 (energia cinetica) che è pari all'integrale della potenza nel tempo, come considero che c'è anche l'attrito? Sostituendo l'integrale di FV-yV in dt non saprei se integrare come Vt. Ho provato vari modi di integrale ma tornano risultati strani osservando quanto spazio percorre nel tempo che risulta.
Risposte
Se la potenza cresce linearmente, la forza del motore $F_m$ e' costante e pari a $k=2000N$
Pertanto deve valere"
$F_m+F_a=ma$ ovvero
quindi
$ddotx+y/mdotx-k/m=0$
Ora devi integrare e trovare x(t).
La soluzione generale dell'equazione differenziale e' $x(t)=A+Be^(-y/mt)$
Quella particolare e' $ bar(x) = k/yt$ per cui:
$x(t)=A+Be^(-y/mt)+k/yt$
$dotx=-y/mBe^(-y/mt)+k/y$
Le condizioni iniziali sono $x(0)=0$ e $dotx(0)=0$ da cui si ottiene $A=-[km]/y^2$ e $B=[km]/y^2$
Quindi
$x(t)=-[km]/y^2+[km]/y^2e^(-y/mt)+k/yt$
$dotx(t)=-y/m[km]/y^2e^(-y/mt)+k/y=-k/ye^(-y/mt)+k/y$
con $k=2000$ e $y=40$.
Da questa trovi il tempo che impiega a raggiungere la velocita' e la distanza percorsa
Pertanto deve valere"
$F_m+F_a=ma$ ovvero
quindi
$ddotx+y/mdotx-k/m=0$
Ora devi integrare e trovare x(t).
La soluzione generale dell'equazione differenziale e' $x(t)=A+Be^(-y/mt)$
Quella particolare e' $ bar(x) = k/yt$ per cui:
$x(t)=A+Be^(-y/mt)+k/yt$
$dotx=-y/mBe^(-y/mt)+k/y$
Le condizioni iniziali sono $x(0)=0$ e $dotx(0)=0$ da cui si ottiene $A=-[km]/y^2$ e $B=[km]/y^2$
Quindi
$x(t)=-[km]/y^2+[km]/y^2e^(-y/mt)+k/yt$
$dotx(t)=-y/m[km]/y^2e^(-y/mt)+k/y=-k/ye^(-y/mt)+k/y$
con $k=2000$ e $y=40$.
Da questa trovi il tempo che impiega a raggiungere la velocita' e la distanza percorsa
Grazie mille!
Quindi $ dot(x)(t)=-k/ye^(-y/mt)+k/y $
$ -(ydot(x))/k+1=e^(-y/mt) $ $ t=ln(-(ydot(x))/k+1)/(-y/m)=30,28s $
Non c'era modo secondo te di considerare lavoro come integrale di Fm-yV in dt, o altro, cioè evitare di passare dall'equazione differenziale del moto?
Lo chiedo perché tra gli altri esercizi sulla potenza che sto facendo ne ho uno in cui la macchina compie una curva dopo un rettilineo, quindi seguendo lo stesso procedimento metterei ma=Fm+Ff+Fc (forza motore, freni, centrifuga rispettivamente) ma la centrifuga ha $dot(x)^2$ quindi risolverla diventa piuttosto difficile.
Quindi $ dot(x)(t)=-k/ye^(-y/mt)+k/y $
$ -(ydot(x))/k+1=e^(-y/mt) $ $ t=ln(-(ydot(x))/k+1)/(-y/m)=30,28s $
Non c'era modo secondo te di considerare lavoro come integrale di Fm-yV in dt, o altro, cioè evitare di passare dall'equazione differenziale del moto?
Lo chiedo perché tra gli altri esercizi sulla potenza che sto facendo ne ho uno in cui la macchina compie una curva dopo un rettilineo, quindi seguendo lo stesso procedimento metterei ma=Fm+Ff+Fc (forza motore, freni, centrifuga rispettivamente) ma la centrifuga ha $dot(x)^2$ quindi risolverla diventa piuttosto difficile.
No, non te la sfanghi comunque, purtroppo. Se ragioni in termini di lavoro come integrale di potenza, considersto che il lavoro e' pari alla variazione di energia cinetica, in termini differenziali si scrive:
$dL_1=Pdt=kvdt$ (lavoro motore)
$dL_2=-yvdx$ (lavoro resistente)
$dE_k=mvdv$
Quindi: $kvdt-yvdx=mvdv$
Dividi per dt e ti viene $kv-yv^2=mvddotx$ che diventa, semplificando $v$
$k/m-y/mv=ddotx$, che riaggiustata da':
$ddotx+y/mdotx-k/m=0$
cioe' esattamente la stessa equazione differenziale trovata direttamente per via dinamica (ovviamente!!!).
Non vedo altri modi per risolverlo, ma qui ci sono tanti matematici piu' svegli di me e forse loro vengono fuori con una soluzione semplificata.
L'unica cosa che potrebbe semplificare leggermente il problema, e di partire dalla differenziale $k/m-y/mv=dv$ che e' leggermente piu' semplice, ma altro non mi viene in testa al momento.
Per quanto riguarda l'altro esercizio, la forza centrifuga non dovrebbe compiere lavoro, quindi non dovrebbe apparire, ma forse e' meglio se posti il testo, non mi voglio avventurare senza capire cosa viene richiesto.
$dL_1=Pdt=kvdt$ (lavoro motore)
$dL_2=-yvdx$ (lavoro resistente)
$dE_k=mvdv$
Quindi: $kvdt-yvdx=mvdv$
Dividi per dt e ti viene $kv-yv^2=mvddotx$ che diventa, semplificando $v$
$k/m-y/mv=ddotx$, che riaggiustata da':
$ddotx+y/mdotx-k/m=0$
cioe' esattamente la stessa equazione differenziale trovata direttamente per via dinamica (ovviamente!!!).
Non vedo altri modi per risolverlo, ma qui ci sono tanti matematici piu' svegli di me e forse loro vengono fuori con una soluzione semplificata.
L'unica cosa che potrebbe semplificare leggermente il problema, e di partire dalla differenziale $k/m-y/mv=dv$ che e' leggermente piu' semplice, ma altro non mi viene in testa al momento.
Per quanto riguarda l'altro esercizio, la forza centrifuga non dovrebbe compiere lavoro, quindi non dovrebbe apparire, ma forse e' meglio se posti il testo, non mi voglio avventurare senza capire cosa viene richiesto.
Per il primo la soluzione che mi hai proposto prima va benissimo, ho capito il metodo e non ho problemi a utilizzare l'equazione di moto. E' cercando di risolvere con lo stesso metodo questo secondo problema che ho trovato la nuova difficoltà.
Un’auto di massa M=1250kg parte da ferma, percorre un rettilineo di lunghezza L=250m e poi affronta una curva a raggio costante R=100m. Il motore dell’auto eroga una potenza dipendente linearmente dal modulo della velocità V secondo l’equazione Wm=PmV (Pm=5,75 kW). I freni dell’auto dissipano energia secondo l’equazione Wf=PfV (Pf=7,52 kW). Considerando la componente centripeta dell’accelerazione in curva pari ad a=3,62 m/s^2, calcolare il tempo minimo per percorrere il rettilineo.
Un’auto di massa M=1250kg parte da ferma, percorre un rettilineo di lunghezza L=250m e poi affronta una curva a raggio costante R=100m. Il motore dell’auto eroga una potenza dipendente linearmente dal modulo della velocità V secondo l’equazione Wm=PmV (Pm=5,75 kW). I freni dell’auto dissipano energia secondo l’equazione Wf=PfV (Pf=7,52 kW). Considerando la componente centripeta dell’accelerazione in curva pari ad a=3,62 m/s^2, calcolare il tempo minimo per percorrere il rettilineo.
Non mi torna mica. Dimensionalmente $P_m$ e $P_f$ devono essere delle forze (oppure $[kw]/[m/s]$.
Secondo, i freni dissipano piu' di quanto il motore sia in grado di erogare: quella macchina e' piantata e le pastiglie si stanno scaldando.
Terzo, quello che succede in curva non ti interessa, ti chiede il tempo sul rettilineo e ti dice quanto e' la velocita' sulla cirva, ma non ti dice dove: all'inizio della curva?
Mi sembra che ci sia qualcosa che non va
Secondo, i freni dissipano piu' di quanto il motore sia in grado di erogare: quella macchina e' piantata e le pastiglie si stanno scaldando.
Terzo, quello che succede in curva non ti interessa, ti chiede il tempo sul rettilineo e ti dice quanto e' la velocita' sulla cirva, ma non ti dice dove: all'inizio della curva?
Mi sembra che ci sia qualcosa che non va
Scusa, ho il cervello in fumo.
Per un periodo la macchina accelera, fino a una certa velocita'. In prossimita' della curva comincia a frenare (presumo che i motore non fornisca energia a questo punto) fino a raggiungere la velocita' massima consentita per entrare in curva, che si trova con $v=sqrt(a*r)$.
Quindi
$p_m=mddotx$ da cui ricavi $x(t)$ facilmente (fase di accelerazione)
$p_f=-mddotx$ per la fase di decelerazione.
A questo punto devi "incrociare" le due fasi per far si che dopo 250m la velocita' si sia ridotta a $v=sqrt(a*r)$ e la macchina entri in curva stabilmente.
Un esercizio molto fumoso, secondo me.
Per un periodo la macchina accelera, fino a una certa velocita'. In prossimita' della curva comincia a frenare (presumo che i motore non fornisca energia a questo punto) fino a raggiungere la velocita' massima consentita per entrare in curva, che si trova con $v=sqrt(a*r)$.
Quindi
$p_m=mddotx$ da cui ricavi $x(t)$ facilmente (fase di accelerazione)
$p_f=-mddotx$ per la fase di decelerazione.
A questo punto devi "incrociare" le due fasi per far si che dopo 250m la velocita' si sia ridotta a $v=sqrt(a*r)$ e la macchina entri in curva stabilmente.
Un esercizio molto fumoso, secondo me.
Scusa l'errore di copiatura fra kW e kN. Sicuramente il testo dell'esercizio è spiegato malissimo. Cercherò di legare in qualche modo le due fasi. Grazie mille per l'aiuto 
Si tratta di casi tipici da manuale didattico.
Se la potenza incrementa linearmente con la velocità partendo da zero, si intende che l'integrale soddisfa esattamente l'aumento stabilito dal rapporto quadratico della forza-viva.
Per postulato, questa condizione determinerebbe il mantenimento del modulo accelerazione uniforme.
Nel primo esercizio viene indicata potenza 100kW erogata linearmente da 0 a 50 m/s, quindi un incremento di 2kW ad ogni m/s di variazione di modulo.
Ora, se si intende attribuire (del tutto arbitrariamente) una forza motore costante per tutto il tragitto a 2000N, sommandola al vettore -FyV che invece incrementa insieme al modulo V, l'accelerazione diminuisce man mano che la velocità aumenta, riconducendo al soluzione che ti hanno già suggerito.
Nel secondo esercizio, stabilendo ancora arbitrariamente i valori di forza motore 5750N e forza frenante 7520N costanti, si accelera fino a 38m/s, e poi decelera fino a 19 m/s, in 11,2s.
Non menzionando attriti si tratta di accelerazioni uniformi, quindi le lunghezze si trovano facilmente tramite $v_f^2 - v_i^2 // 2a$.
Ora, immagina graficamente i rapporti per derivarne la relazione:
Sai che la velocità massima consentita per l'accesso in curva è 19m/s.
Sai anche il punto esatto in cui raggiungi 19 m/s con l'accelerazione fornita dal motore a modulo 4,6.
La distanza rimanente, in cui si raggiunge 38 m/s tramite 5750N e successivamente si ritorna a 19 tramite 7520N, è suddivisa simmetricamente dal rapporto tra il modulo e la somma dei due.
In pratica si giunge a 19 m/s dopo 39,2 m.
Da quel punto mancano 210,8 m, di cui $210,8 * 6 / (4,6 + 6)$ per passare da 19 a 38 m/s, e $210,8 * (4,6) / (4,6 + 6)$ per frenare tornando a 19 m/s esattamente in corrispondenza di 250 m.
Per quanto riguarda le conversioni da potenza a forza utilizzate, ho valide ragioni per non essere d'accordo, ma questo è un altro discorso ed andrebbe eventualmente spiegato in uno specifico thread.
Se la potenza incrementa linearmente con la velocità partendo da zero, si intende che l'integrale soddisfa esattamente l'aumento stabilito dal rapporto quadratico della forza-viva.
Per postulato, questa condizione determinerebbe il mantenimento del modulo accelerazione uniforme.
Nel primo esercizio viene indicata potenza 100kW erogata linearmente da 0 a 50 m/s, quindi un incremento di 2kW ad ogni m/s di variazione di modulo.
Ora, se si intende attribuire (del tutto arbitrariamente) una forza motore costante per tutto il tragitto a 2000N, sommandola al vettore -FyV che invece incrementa insieme al modulo V, l'accelerazione diminuisce man mano che la velocità aumenta, riconducendo al soluzione che ti hanno già suggerito.
Nel secondo esercizio, stabilendo ancora arbitrariamente i valori di forza motore 5750N e forza frenante 7520N costanti, si accelera fino a 38m/s, e poi decelera fino a 19 m/s, in 11,2s.
Non menzionando attriti si tratta di accelerazioni uniformi, quindi le lunghezze si trovano facilmente tramite $v_f^2 - v_i^2 // 2a$.
Ora, immagina graficamente i rapporti per derivarne la relazione:
Sai che la velocità massima consentita per l'accesso in curva è 19m/s.
Sai anche il punto esatto in cui raggiungi 19 m/s con l'accelerazione fornita dal motore a modulo 4,6.
La distanza rimanente, in cui si raggiunge 38 m/s tramite 5750N e successivamente si ritorna a 19 tramite 7520N, è suddivisa simmetricamente dal rapporto tra il modulo e la somma dei due.
In pratica si giunge a 19 m/s dopo 39,2 m.
Da quel punto mancano 210,8 m, di cui $210,8 * 6 / (4,6 + 6)$ per passare da 19 a 38 m/s, e $210,8 * (4,6) / (4,6 + 6)$ per frenare tornando a 19 m/s esattamente in corrispondenza di 250 m.
Per quanto riguarda le conversioni da potenza a forza utilizzate, ho valide ragioni per non essere d'accordo, ma questo è un altro discorso ed andrebbe eventualmente spiegato in uno specifico thread.
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