Esercizio Piano inclinato
Ciao a tutti...potreste dirmi il risultato di questo esercizio per sapere se lo svolgo correttamente:un corpo di massa 0.1 kg a velocità iniziale 10m/s diretta parallelamente al piano inclinato di 30° a che altezza il il corpo si ferma e inverte il moto se il coefficente di attrito dinamico è 0.1? il piano inclinato è di questo tipo(con il corpo messo però all inizio della salita): 
Risposte
M basta sapere se è possibile che risulti circa 40m...a me sembra impossibile a occhio, pero I calcoli m dicono cosi.
Teorema dell'energia cinetica
$deltaK=W$
dove $deltak$ è la variazione di energia cinetica e $W$ il lavoro totale effettuato da tutte le forze
l'energia cinetica è massima nel punto di partenza è nulla nel punto in cui si ferma. In questo tratto di piano inclinato, che chiamiamo l (o h sin(30) ) , agiscono sia la componente trasversale del peso che la forza di attrito. Possiamo allora scrivere che:
W= - mg l - kmg cos(30) l = - mg h sin 30 - k mg h sin(30)cos(30)
questo devi porlo uguale a 1/2 m v(iniziale)^2 e ricavare h
$deltaK=W$
dove $deltak$ è la variazione di energia cinetica e $W$ il lavoro totale effettuato da tutte le forze
l'energia cinetica è massima nel punto di partenza è nulla nel punto in cui si ferma. In questo tratto di piano inclinato, che chiamiamo l (o h sin(30) ) , agiscono sia la componente trasversale del peso che la forza di attrito. Possiamo allora scrivere che:
W= - mg l - kmg cos(30) l = - mg h sin 30 - k mg h sin(30)cos(30)
questo devi porlo uguale a 1/2 m v(iniziale)^2 e ricavare h
Dunque, assegniamo due posizioni: posizione 1 di partenza, posizione 2 di arrivo.
Nella posizione 1, è assente sia l'energia gravitazionale che quella elastica. Calcoliamo quella cinetica.
$ K = (1/2)(0,1)(100) = 5 J $
Nella posizione 2, è assente l'energia cinetica (il corpo è fermo, è arrivato in cima), quella elastica ma è presenta quella potenziale gravitazionale. Calcoliamola:
$ Ug = (0,1)(9,81)(h) = 0,981h $
Per il principio di conservazione dell'energia meccanica, $ Em1 = Em2 $. Ma c'è l'attrito e bisogna considerare la parte dell'energia meccanica che si perde per l'attrito.
Per calcolare la forza di attrito, troviamo le forze che agiscono perpendicolarmente al piano inclinato, ovvero la componente del peso, che chiamiamo Pperp.
$ Pperp = Psin60° = 0,84 N $
Calcoliamo la forza di attrito.
$ Fa = (0,1)(0,84) = 0,08 $
A questo punto ho un dubbio: dobbiamo trovare il lavoro della forza di attrito, ma non dovremmo anche calcolare il lavoro speso dalla componente del peso, però quella parallela al piano? Perché anche quella forza tira verso il basso.
In ogni caso, continuiamo così, trovando il lavoro speso dall'attrito:
$ L = (0,08)s $
Ma $ s = h/sin30° $
Sostituendo ed eguagliando le energie meccaniche...
$ 5 = 0,16h $ da cui $ h = 31, 25 $
Perdona il mio dubbio, ma sono un semplice studente di terzo liceo, potrei anche avere detto cavolate... ^^
Nella posizione 1, è assente sia l'energia gravitazionale che quella elastica. Calcoliamo quella cinetica.
$ K = (1/2)(0,1)(100) = 5 J $
Nella posizione 2, è assente l'energia cinetica (il corpo è fermo, è arrivato in cima), quella elastica ma è presenta quella potenziale gravitazionale. Calcoliamola:
$ Ug = (0,1)(9,81)(h) = 0,981h $
Per il principio di conservazione dell'energia meccanica, $ Em1 = Em2 $. Ma c'è l'attrito e bisogna considerare la parte dell'energia meccanica che si perde per l'attrito.
Per calcolare la forza di attrito, troviamo le forze che agiscono perpendicolarmente al piano inclinato, ovvero la componente del peso, che chiamiamo Pperp.
$ Pperp = Psin60° = 0,84 N $
Calcoliamo la forza di attrito.
$ Fa = (0,1)(0,84) = 0,08 $
A questo punto ho un dubbio: dobbiamo trovare il lavoro della forza di attrito, ma non dovremmo anche calcolare il lavoro speso dalla componente del peso, però quella parallela al piano? Perché anche quella forza tira verso il basso.
In ogni caso, continuiamo così, trovando il lavoro speso dall'attrito:
$ L = (0,08)s $
Ma $ s = h/sin30° $
Sostituendo ed eguagliando le energie meccaniche...
$ 5 = 0,16h $ da cui $ h = 31, 25 $
Perdona il mio dubbio, ma sono un semplice studente di terzo liceo, potrei anche avere detto cavolate... ^^
"bugman":
Teorema dell'energia cinetica
$deltaK=W$
dove $deltak$ è la variazione di energia cinetica e $W$ il lavoro totale effettuato da tutte le forze
l'energia cinetica è massima nel punto di partenza è nulla nel punto in cui si ferma. In questo tratto di piano inclinato, che chiamiamo l (o h sin(30) ) , agiscono sia la componente trasversale del peso che la forza di attrito. Possiamo allora scrivere che:
W= - mg l - kmg cos(30) l = - mg h sin 30 - k mg h sin(30)cos(30)
questo devi porlo uguale a 1/2 m v(iniziale)^2 e ricavare h
Bugman, hai ben enunciato il principio da applicare, però poi hai un pò pasticciato nelle formule.
L'energia cinetica iniziale è : $ E_k = 1/2*m*v^2 $ , quella finale è zero, per cui la variazione di energia cinetica è :
$\deltaE_k = - 1/2*m*v^2$ ( cioè, diminuisce fino a zero)
Questa variazione deve uguagliare il lavoro di tutte le forze agenti. Analizziamo le forze agenti.
Il peso $mg$ ha una componente normale al piano, che vale : $N = mg*cos30°$ . Perciò la forza di attrito, che si oppone la moto , ha modulo : $ F_r = \mu_d*N = \mu_d*mg*cos30°$
Il peso ha poi una componente parallela al piano, che ha modulo: $ T = mg*sen30°$ , ed è diretta anch'essa in verso contrario al moto.
Le due forze $F_r$ e $T$ compiono lavoro negativo, nello spostamento di $m$ per un tratto lungo $l$ del piano, fino all'arresto. Se il punto di arresto ha altezza $h$ sull'orizzontale, si ha : $h = l*sen30°$ , perciò : $l = h/(sen30°) $ .
Calcoliamo il lavoro negativo eseguito dalle due forze : $ W = - ( F_r + T) * l = -(F_r + T)*h/(sen30°) = -\mu_d*mg*cos30°* h/(sen30°) - mgh = -mgh(1 + \mu_d/(tg30°)) $
Uguagliamo questo lavoro alla variazione di energia cinetica, e semplifichiamo $m$, ottenendo alla fine :
$ v^2/2 = gh(1 + \mu_d/(tg30°)) $ , da cui si può ricavare l'altezza : $ h = 4.344 m $
Per Bruce Moore : sì, devi tener conto anche del lavoro (negativo) della componente del peso parallela al piano.
ragazzi io ho provato a farlo in un altro modo, mi potete dire se è sbagliato e perchè?
Io ho ho pensato che la velocità del punto materiale è descritta dalla legge $v = v_0 + vec a t$ dove l'accelerazione del corpo in questo caso non sarebbe la componente x del peso? Quindi ho pensato che $v = v_0 - g/2 \t$ (l'asse delle x è diretto lungo il piano verso il moto del corpo)
Ho imposto la velocità uguale a zero, perchè è il punto in cui si ferma istantaneamente prima di invertire il moto, e quindi il punto in cui raggiunge l'altezza massima, e mi sono ricavato il tempo $t = 2 v_0 / g$
Che ho messo nella legge oraria del corpo $x (t) = v_0 \t - g/4 \t = 2 h -> v_0 (2 v_0 / g) - g/4 (2 v_0 / g)^2 = 2 h $
Da cui $h = (v_0^2 / (2g)) \sim 5.09 \bb m$ (EDIT)
Cosa ne pensate?
Io ho ho pensato che la velocità del punto materiale è descritta dalla legge $v = v_0 + vec a t$ dove l'accelerazione del corpo in questo caso non sarebbe la componente x del peso? Quindi ho pensato che $v = v_0 - g/2 \t$ (l'asse delle x è diretto lungo il piano verso il moto del corpo)
Ho imposto la velocità uguale a zero, perchè è il punto in cui si ferma istantaneamente prima di invertire il moto, e quindi il punto in cui raggiunge l'altezza massima, e mi sono ricavato il tempo $t = 2 v_0 / g$
Che ho messo nella legge oraria del corpo $x (t) = v_0 \t - g/4 \t = 2 h -> v_0 (2 v_0 / g) - g/4 (2 v_0 / g)^2 = 2 h $
Da cui $h = (v_0^2 / (2g)) \sim 5.09 \bb m$ (EDIT)
Cosa ne pensate?
"smaug":
..............
Da cui $h = (v_0^2 / g) \sim 5.09 \bb m$
Cosa ne pensate?
a parte il fatto che l'ultima formuletta dovrebbe essere : $h = 1/2 (v_0^2 / g) $ , (ma comunque il valore calcolato di $5.09m$ sarebbe esatto, ti è sfuggito di scrivere $1/2$ ma poi lo hai messo al calcolo), ti faccio presente che hai ignorato completamente l'attrito.
LA formula : $h = 1/2 (v_0^2 / g) $ è quella che ti dà l'altezza a cui arriva un grave, lanciato con vel iniziale $v_0$ , in verticale, in assenza di forze di attrito.
"navigatore":
ti faccio presente che hai ignorato completamente l'attrito.
Hai ragione! Quindi si può risolvere col teorema del lavoro e dell'energia cinetica, come hai fatto...
Si può anche risolvere con la 2° eq della Dinamica $F=ma$ , considerando il moto unif decelerato sul piano inclinato.
Ma Per scrivere la $F$, devi tener conto di "tutte" le forze agenti, compreso quella d'attrito, proiettate sul piano inclinato, e la accelerazione sarà la componente tangenziale di $g$. E' più lungo, penso, non l'ho fatto.
Ma Per scrivere la $F$, devi tener conto di "tutte" le forze agenti, compreso quella d'attrito, proiettate sul piano inclinato, e la accelerazione sarà la componente tangenziale di $g$. E' più lungo, penso, non l'ho fatto.
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