Esercizio Piano Inclinato
L'esercizio è il seguente:
Una cassa di $40 kg$ viene trainata verso l'alto su un piano inclinato scabro alla velocità costante di $4 m/s$ da una corda parallela al piano. L'angolo tra il piano inclinato e l'orizzontale è di $30°$. Il coefficiente di attrito dinamico tra la cassa ed il piano è $0.20$. Ad un certo punto del tragitto la corda si spezza istantaneamente. Calcolare:
a) l'intensità della forza esercitata dalla corda prima della rottura;
b) lo spazio percorso dalla cassa dopo la rottura della corda fino al suo arresto;
c) il tempo necessario affinché la cassa si fermi;
d) quale dovrebbe essere il coefficiente di attrito statico minimo affinché la cassa, una volta fermatasi, non ridiscenda lungo il piano inclinato.
Il punto a) l'ho fatto ed è il seguente:
$\{(-T + F_d + P_x = 0),(N - P_y = 0):}$
facendo i calcoli mi trovo il risultato del libro che è $T = 264.5 N$
Il punto b) e c) invece non mi trovo.
Dovrei avere una cosa del genere:
$\{(v_x = v_0 + g * sin\theta * t),(x = x_0 + v_0 * t + 1/2 * g * sin\theta * t^2):}$
e quindi
$\{(0 = 4 + 9.81 * 0.5 * t),(x = 0 + 4 * t + 1/2 * 9.81 * 0.5 * t^2):}$
però non mi trovo con i risultati. ($x = 1.21 m$ e $t = 0.61 s$)
Cosa mi manca? A me sembra che ho tutto per calcolarmi la distanza percorsa ed il tempo.
Una cassa di $40 kg$ viene trainata verso l'alto su un piano inclinato scabro alla velocità costante di $4 m/s$ da una corda parallela al piano. L'angolo tra il piano inclinato e l'orizzontale è di $30°$. Il coefficiente di attrito dinamico tra la cassa ed il piano è $0.20$. Ad un certo punto del tragitto la corda si spezza istantaneamente. Calcolare:
a) l'intensità della forza esercitata dalla corda prima della rottura;
b) lo spazio percorso dalla cassa dopo la rottura della corda fino al suo arresto;
c) il tempo necessario affinché la cassa si fermi;
d) quale dovrebbe essere il coefficiente di attrito statico minimo affinché la cassa, una volta fermatasi, non ridiscenda lungo il piano inclinato.
Il punto a) l'ho fatto ed è il seguente:
$\{(-T + F_d + P_x = 0),(N - P_y = 0):}$
facendo i calcoli mi trovo il risultato del libro che è $T = 264.5 N$
Il punto b) e c) invece non mi trovo.
Dovrei avere una cosa del genere:
$\{(v_x = v_0 + g * sin\theta * t),(x = x_0 + v_0 * t + 1/2 * g * sin\theta * t^2):}$
e quindi
$\{(0 = 4 + 9.81 * 0.5 * t),(x = 0 + 4 * t + 1/2 * 9.81 * 0.5 * t^2):}$
però non mi trovo con i risultati. ($x = 1.21 m$ e $t = 0.61 s$)
Cosa mi manca? A me sembra che ho tutto per calcolarmi la distanza percorsa ed il tempo.
Risposte
Prendiamo come riferimento il sistema che hai scritto
Per quello che riguarda la prima formula ci sono un paio di cose da correggere:
1)La velocità iniziale è rivolta verso la cima del piano inclinato, mentre l'accelerazione di gravità agisce nel verso opposto, ossia in basso. Pertanto la formula andrebbe riscritta come $v_x = v_0 - g * sin\theta * t$.
La cosa risulta ovvia se pensi anche che la velocità finale, posta uguale a zero (come richiede il problema), non potrà mai essere tale, cioè annullarsi, se l'accelerazione è positiva.
2)Dobbiamo considerare che anche la forza d'attrito provoca una decelerazione, ma di quanto?
Se la forza d'attrito è pari a $F_A=mg*c_A$, dove $c_A$ è il coeff. d'attrito e per la seconda legge della dinamica $F=ma$, uguagliando $F_A$ ed $F$ otteniamo che:
$mg*c_A=ma rArr a=g*c_A$
Pertanto la decelerazione complessiva del corpo sarà $gsen\theta+gc_A=g(sen\theta+c_A)$
____________________________________________
Se correggiamo l'equazione di partenza con le considerazioni fatte otteniamo:
$v_x = v_0 - g *( sin\theta+c_A)* t$
E sostituendo i valori:
$0=4-9.81(0.5+0.2)t rArr t=4/(9.81*0.7)=0.58s$
Il risultato non combacia quello della soluzione, però è molto vicino, quindi forse la differenza sta solo nelle approssimazioni fatte da chi ti ha fornito il risultato.
__________________________________
Ora prova a correggere la seconda equazione, quella dello spazio, in base alle considerazioni fatte. Ricorda che l'accelerazione è negativa, considera anche quella dovuta all'attrito e sostituisci il tempo che abbiamo ottenuto. A me viene $x=1.17 m $ come risultato, altrettanto simile alla soluzione del problema.
Se hai qualche problema fammi sapere
"Kernul":
$ \{(v_x = v_0 + g * sin\theta * t),(x = x_0 + v_0 * t + 1/2 * g * sin\theta * t^2):} $
Per quello che riguarda la prima formula ci sono un paio di cose da correggere:
1)La velocità iniziale è rivolta verso la cima del piano inclinato, mentre l'accelerazione di gravità agisce nel verso opposto, ossia in basso. Pertanto la formula andrebbe riscritta come $v_x = v_0 - g * sin\theta * t$.
La cosa risulta ovvia se pensi anche che la velocità finale, posta uguale a zero (come richiede il problema), non potrà mai essere tale, cioè annullarsi, se l'accelerazione è positiva.
2)Dobbiamo considerare che anche la forza d'attrito provoca una decelerazione, ma di quanto?
Se la forza d'attrito è pari a $F_A=mg*c_A$, dove $c_A$ è il coeff. d'attrito e per la seconda legge della dinamica $F=ma$, uguagliando $F_A$ ed $F$ otteniamo che:
$mg*c_A=ma rArr a=g*c_A$
Pertanto la decelerazione complessiva del corpo sarà $gsen\theta+gc_A=g(sen\theta+c_A)$
____________________________________________
Se correggiamo l'equazione di partenza con le considerazioni fatte otteniamo:
$v_x = v_0 - g *( sin\theta+c_A)* t$
E sostituendo i valori:
$0=4-9.81(0.5+0.2)t rArr t=4/(9.81*0.7)=0.58s$
Il risultato non combacia quello della soluzione, però è molto vicino, quindi forse la differenza sta solo nelle approssimazioni fatte da chi ti ha fornito il risultato.
__________________________________
Ora prova a correggere la seconda equazione, quella dello spazio, in base alle considerazioni fatte. Ricorda che l'accelerazione è negativa, considera anche quella dovuta all'attrito e sostituisci il tempo che abbiamo ottenuto. A me viene $x=1.17 m $ come risultato, altrettanto simile alla soluzione del problema.
Se hai qualche problema fammi sapere
Grazie mille! Non avevo fatto caso ai segni e mi ero dimenticato che anche quando va in discesa c'è attrito.
Il punto d) era facile. Basta fare:
$\mu_s = F_s / N = P_x / N = 0.576$ e mi trovo con il risultato del libro.
Grazie ancora!
Il punto d) era facile. Basta fare:
$\mu_s = F_s / N = P_x / N = 0.576$ e mi trovo con il risultato del libro.
Grazie ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo